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2019年 12月 の投稿一覧

年末年始休講のお知らせ

「休み」の文字の絵

ヒーローズ植田一本松校は、以下の期間お休みとなります。

 

年末年始の休校

12月29日(日)~1月5日(日)

  • この期間は自習もご利用できません。
  • この期間に対する授業の振り替えは不要です。
    (年間48週になるように、あらかじめ調整されております)
  • 詳細は年間カレンダーまたは冬期講習日程表をご覧ください。

 

休校中のご連絡・お問合せ

生徒・保護者様からのご連絡

振替などのご連絡はアプリComiruをご活用ください。
なお、ご返信は1月6日(月)以降になります。
ご了承ください。

新規お問合せ

このサイトの「お問い合わせ」フォームをご利用ください。
なお、ご返信は1月6日(月)以降になります。
ご了承くださいませ。

体験・見学のご予約

学習相談や体験授業のご予約には面談が必要です。
ご予約はこのサイトの「体験・見学予約」からできます。
ご利用ください。

中学3年生

休み明けの1月6日(月)から学年末テスト対策の続きです。
休校中は学校課題の見直しを優先して進めておきましょう。
それが終わってから配布したプリントに進みましょう。

なお、時事問題の対策プリントはテスト直前に配布します。

 

それでは良いお年を!

1月6日に、また元気にお会いしましょう。

中学生や高校生が混乱する関係代名詞をはじめから丁寧に解説

関係代名詞!英語の語順を根本から解説

塾長です。

中3英語の最後の砦と言えば「関係代名詞」。名前からして難しそうです。まさに「英文法のラスボス」的な存在感です。

ということで今回は中学3年生~大学受験生を対象に、関係代名詞を攻略します。

関係代名詞を攻略するまでの道のり

その道のりは決して安易ではありません。英語の語順をちゃんと理解した真の勇者でなければ関係代名詞の攻略ができないからです。

まず、スライム攻略のレベルが「主語」「述語」そして「修飾語」の理解です。日本語の文法としても理解しておく必要があります。

つぎに「1語の修飾語」を攻略します。これは日本語の語順と大差ありません。スライムの仲間レベルです。

つぎに「2語以上の修飾語」を攻略します。これは中ボスのレベルです。何種類かあります。前置詞を使う水系、不定詞の炎系、現在分詞の土系、過去分詞の電気系など、それぞれに攻略が必要です。

そして最後がラスボスの「関係代名詞」です。この攻略の前に賢者の祠に寄りましょう。そこで「2語以上の修飾語」で得た経験値を使って「後置修飾」という上位スキルを獲得しましょう。このスキルがあれば、頭がスッキリしてMPの消費を抑えられます。

とまぁ、教科書どおりの順序で攻略すれば、こんな感じです。しかし、それはめんどうなので今回は全体像を眺めながら説明します。マップやルーラを使うイメージですね。

  1. 主語、述語、修飾語
  2. 英文全体の語順
  3. 前置修飾(1語の修飾語)
  4. 後置修飾(2語以上の修飾語)
  5. 関係代名詞

このような流れで説明していきます。ゲーム的な脚色は、もうしないです。
なお、解りやすさのために、肯定文(否定や疑問でない形の文)だけについて説明します。

(復習)主語、述語、修飾語

小学3年生から習う日本語の文法と言えば、主語、述語、そして修飾語。

あれ、いきなり何で国語?

と思うかもしれませんが、何を学ぶにも、これが基礎だからです。
もちろん、これが分かっている人は次の項目へ飛んでださい。

しかし、あなどってはいけません!
基礎だからこそ重要!!

国語や英語に限らず、勉強が苦手な人は、これが分かっていない場合が過半数です。

もっと言えば、大学受験生でも、例えば英語のマーク模試で200点中40点未満しか取れないようであれば、主語、述語、修飾語が分かっていない可能性が高いでしょう。

ということで復習します。

主語と述語

英語でも日本語でも、まず主語述語が最も重要です。文の意味のほとんどを決めます。

述語には2種類あるので、小学校では主語+述語の覚え方を2パターン教わりました。ここでは仮に「熟語A」「熟語B」と呼ぶことにします。具体的には次の2通りを見てください。熟語は赤色で示しています。

述語Aのパターン

主語誰は何は) + 述語何だどんなだ

私は 学生です
I am a student.

あなたは 元気です。
You are fine.

熟語Aの文は「主語述語」の関係になっています。

学生
I a student

あなた 元気
You fine

熟語Aの英文では、動詞の役割が ”=”(イコール)になることを覚えておきましょう。

述語Bのパターン

主語誰が何が) + 述語どうする

太郎くんが 走ります。
Taro runs.

雨が 降ります。
It rains.

熟語Bの文では「主語=述語」の関係になりません。動詞自身が述語になります。

英語でも日本語でも、たいていは主語の後ろに述語が来ます。
※ただし例文「雨が降ります。」のように日本語と英語で主語の取り方が異なるものもあります。

そして英作文では、熟語Aと熟語Bの違いが分からないと困ることになります。

そこで問題です。

述語Aと熟語Bの違いは何で決まるのでしょうか?

英語の述語は動詞で決まる!

細かいことは置いておくとして、だいたい英語の80%については、次のように考えればOKです。

  • 熟語A: be動詞 を使う文のとき(be動詞が ”=” の意味になる)
  • 熟語B: 一般動詞 を使う文のとき(一般動詞が熟語になる)

上で見て来た例文を眺めて、そうなっていることを実感してください。

もちろん例外もたくさんあります。
しかし最初はざっくりと理解する方がストレスが少ないです。大きな目線で「英語ってこんな感じの語順なんだ」と全体像をとらえた方が見通しが良いです。とりあえず今の時点では細かいことは置いておきましょう。

be動詞と一般動詞

念のためにbe動詞一般動詞の復習をしておきます。

というのは、学校の先生の中には文法の説明を一切しない方がいらっしゃるからです。これは英語の教育方針によるでしょう。英語の理想的な教育は「1日じゅう英語漬け」です。それならば確かに文法の説明は重要ではありません。しかし現実は9教科+部活+趣味のバランスを取りながら、限られた時間の中で英語を学習します。現実的に考えれば、文法を学んて公式的に覚えた方が近道だというのが塾長の考え方です。なので説明します。

  • be動詞 : am, are, is, was, were, そして原形の be
  • 一般動詞: 上記以外の動詞

イコール動詞!?

ちなみに、be動詞みたいな一般動詞もあります。つまり主語と述語の間のイコール部分になるような一般動詞があります。
肯定文の時に、be動詞と一般動詞を置き換えても文の意味があまり変わらないのが、その特徴です。例えば次の例文の一般動詞 look がそれです。

You look happy.
You are happy.

この2つの文は、一般動詞の look とbe動詞の are を入れ替えても、意味が大きく変わりません。

このような一般動詞では、be動詞と同じように熟語は述語Aになります。そして熟語Aの文の特徴は「主語述語」でした。つまり動詞の意味が「イコール」なのです。
そのため、be動詞やSVC文型の一般動詞を1つにまとめて、「イコール動詞」と呼ぶ先生もいらっしゃるようです。これは上手いネ―ミングですね。

 be動詞が “=” の意味にならない場合

逆にbe動詞がイコール動詞ではない場合もあります。次の例文を見てみましょう。

Five cats are under the table.
There is a planetarium in my city.

この例文ではbe動詞の意味が「あるいる(存在する)」という意味で使われています。イコールの意味では訳すことができません。

このように be動詞が「ある、いる」の意味で使われる時は、熟語Bのパターンになります。

この様に、一般動詞の80%は熟語Bですが、中にはイコール動詞もあります。逆に、be動詞も80%はイコール動詞として使われていますが、ときどき一般動詞のように熟語Bとして使われることもあります。

※高校英語では英語の語順を5文型で教わります。熟語Aの文をSVC、熟語Bの文をSV、SVO、SVOO、SVOCなどと教わります。ここでは5文型の説明は長くなるので省略します。

余談:命令文には主語がない

「何語だろうが主語と述語から考える。」と言いましたが、命令文には主語がありません。
実はプログラミング言語にも主語がありません。プログラミングはコンピューターに与える命令文の集まりだからです。つまり、英語でも日本語でもプログラミング言語でも、命令文には主語がありません。

修飾語!

主語と述語以外のほとんどが修飾語にあたります。

だれに、何をどこで、いつどんなふうに、どれだけ

という意味の言葉たちです。ここから修飾語はピング色で表示します。

修飾語について、ポイントは次です。

修飾語の語順

  • 日本語: 修飾語の語順が自由!(文のどこに置いても通じてしまう)
  • 英語 : 修飾語の語順が決まっている!(語順を間違えると通じない)

さぁ、出てきました。修飾語の語順。これが日本語と英語の最大の違いです。

主語の次が述語。主語の次が動詞。ここまでは英語も日本語もだいたい一緒の語順です。

ところが修飾語の語順が日本語と英語では全く違うのです。ですから、英語の語順をマスターしたければ、修飾語の語順をマスターすればよい、ということになります。

英語の語順 Step1 文全体の語順

80%の英文は次の語順になっています。ここでも詳細は置いておき、ざっくりと把握しましょう。

主語 述語 [だれに] [何を] [どこで] [いつ]

He was sick in bed yesterday.
I study English here.
You gave me a chocolate yesterday.

主語と述語は必須です。
問題は、その次に何がどういう順番で来るか?
それはズバリ、

[だれに]、[何を]、[どこで]、[いつ]

これら4つをこの順で並べれば、だいたいはOKです!
ちなみにカッコ [ ] で囲んであるのは、使う場合と使わない場合があるからです。
「使うならこの順番で」という意味です。

〇 主語 述語 だれに
〇 主語 述語 いつ
〇 主語 述語 だれに 何を

など、色々な組み合わせで使えますが、どのような組み合わせでも、上の順番を守るのがポイントです。
逆に、こういうのはダメです。

× 主語 何を 述語
× 主語 述語 いつ 何を
× 主語 述語 何を だれに

この語順の間にその他の修飾語を挿入して考えれば、長い文や複雑な文だって作れます。
ですから、とにかく英文では

主語 述語 [だれに] [何を] [どこで] [いつ]

という語順が超基本だと覚えましょう。

ここから修飾語はピング色で、被修飾語にはアンダーラインをつけて表示します。

英語の語順 Step2 前置修飾

参考書によっては「冠詞(a, the)+形容詞+名詞」という語順を説明しているものが多いです。

〇: a yellow box
×: yellow a box

この例では被修飾語が box です。修飾語はその直前に置きます。このことを一般的に言うと次のようになります。

修飾語が1語のときは被修飾語の前

  • 主語を1語で修飾: The standing man looked at me.
  • 述語Aを1語で修飾: I was sometimes sick.
  • 述語Bを1語で修飾: They always study English.
  • [だれに]を1語で修飾: He gave the tall man a card.
  • [何を]を1語で修飾: I got a white letter.

英語の語順 Step3 後置修飾

さて、ここからが今日の本題です。

今日のラスボスは関係代名詞なので、ここからは被修飾語が名詞のときに限って説明します。関係代名詞は名詞を修飾するものだからです。ちなみに名詞以外を修飾する場合(副詞)についても説明しだすと、長くなって整理がつきません。ここでは省きます。

なお、中学3年生で教科書が NEW HORIZON 3 (東京書籍)の生徒は、教科書 P.94 「まとめと練習2 後置修飾」を見てみましょう。1ページの図にまとめられています。(2019年12月現在)

名詞とは

名詞とは、物事の呼び名や呼び方を表す単語のことです。主語、述語A、[だれに]、[何を] などの言葉になります。ちなみに名詞は述語Bにはなりません。述語Bの正体は一般動詞(心や体の動きを表す単語)だからです。

英語はとっても名詞を大切にする言語です。そのため名詞を修飾する文法がいくつかあります。それぞれがダンジョンの中ボスレベルです。ですから名詞を修飾する方法を良く知っておくと語順の理解が早くなります。

それではさっそく、英語の基本原則の1つを言います。

修飾語が2語以上のときは被修飾語の後ろ

長い修飾語は後回し、というのが英語の考え方です。修飾語を後ろに置くから「後置修飾」と呼びます。日本語とは逆ですね。

修飾語が1語のとき ⇒ 前置修飾

日本語の語順: 修飾語 被修飾語 それは黄色いペンです。
英語の語順 : 修飾語 被修飾語 It is a yellow pen.

修飾語が2語以上のとき ⇒ 英語は後置修飾

日本語の語順: 修飾語 被修飾語 それは母が買ったペンです。
英語の語順 : 被修飾語 修飾語 It is a pen my mother bought.

そして後置修飾の方法は5種類もあって、その5番目がラスボスの関係代名詞です。それでは5種類の後置修飾 (1) ~ (5) の1つ1つを順に見ていきましょう。

2語以上の修飾語 いろいろ

(1) 前置詞+名詞で修飾語を作るとき

  • 主語2語以上で修飾: Everyone in the country likes it.
  • 述語A2語以上で修飾: I was a man of few words. 「私は口数の少ないだった。」
  • [だれに]2語以上で修飾: He gave the man from Japan a card.
  • [何を]2語以上で修飾: I got a letter in a white bag.

(2) 不定詞(to+動詞)で2語以上の修飾語を作るとき

  • 主語不定詞で修飾: The matter to study carefully came to me. 「注意して調査すべき問題が舞い込んだ」
  • 述語A不定詞で修飾: That was the chance to have then.
  • [だれに]不定詞で修飾: He wants you to take care of your health. 「あなた健康を気遣って欲しい」
  • [何を]不定詞で修飾: I have many homework to do today.

(3) 現在分詞(動詞+ing)で2語以上の修飾語を作るとき

  • 主語動名詞で修飾: The man standing over there looked at me.
  • 述語A動名詞で修飾: Tom is the man living by the hospital.
  • [だれに]動名詞で修飾: He watched a man swimming in the river.
  • [何を]動名詞で修飾: I got a letter saying hello.

(4) 過去分詞で2語以上の修飾語を作るとき

  • 主語過去分詞で修飾: The boy scolded by his mother looked very sad.
  • 述語Aを過去分詞で修飾: This is the book written by the great man.
  • [だれに]過去分詞で修飾: He named the cat helped by the boy “Happy”.
  • [何を]過去分詞で修飾: I kicked up the ball thrown by my friend.

(5) 関係代名詞で2語以上の修飾語を作るとき

  • 主語をで修飾: The boy who was scolded by his mother looked very sad.
  • 述語Aで修飾: This is the book that the great man wrote.
  • [だれに]で修飾: He named the cat that the boy helped “Happy”.
  • [何を]で修飾: I kicked up the ball which was thrown by my friend.

関係代名詞の細かい説明は次に続きます。

英語の語順 Step4 関係代名詞!

後置修飾の5番目が関係代名詞だ、というふうに頭が整理できてしまえば、あとは細かいことのチェックです。

その前に文法用語を追加します。

関係代名詞と先行詞

この例文を見ながら読んでください。

This is the book that the great man wrote.

関係代名詞とは

関係代名詞とは、上の例文の “that” のことです。名詞を文で修飾する時に、名詞と文をつなげる役割をします。関係代名詞には他に who や which もあります。高校生はなると種類が増えますが、中学生は which, who, that の使い方を覚えればOKです。これで英検3級まで大丈夫です。使い分けは次の通りです。

ちなみに、疑問文の which, who や指示語の that とは全く別物です。訳すときも「どちら」「だれ」「あれ」などは全く出てきません。別物として認識しましょう。

先行詞とは

先行詞とは、上の例文の “book” のことです。被修飾語の中で、関係代名詞に修飾される名詞のことです。

関係代名詞の使い分け

関係代名詞には which, who, that の3種類があります。これらは先行詞の意味で使い分けます。

先行詞が人なら who

The boy who was scolded by his mother looked very sad.
母親に叱られたその少年はとても悲しそうだった。

先行詞が物なら which

This is the book which the great man wrote.
これが偉大な人が書いた、そのである。

どちらでも that

先行詞が人でも物でも使える便利な関係代名詞が that です。
例えば動物は一般にモノ扱いですが、最近では動物愛護の考えで人のように扱う人も増えてきました。例えばメス猫をさす代名詞は it ですが、she を使う人も多いです。このように人か物か扱いに迷う時は that が便利です。

He named the cat that the boy helped “Happy”.
彼はその少年に助けられたをハッピーと名付けた。

そしてこの先行詞が「何の役割を演じているか」によって関係代名詞の種類が大きく2つに分かれます。その2つが「目的格」の関係代名詞と、「主格」の関係代名詞です。それぞれ説明します。

目的格

先行詞が、その後につづく関係代名詞の文の中で「だれに」「なにを」の役割になっているとき、その関係代名詞の種類を「目的格の関係代名詞」と呼びます。

「なんのこっちゃ?」

となると思いますので、とりあえず次の文を見てください。

I will give you a pen which I bought yesterday.

上の例文をよく見ると後半の関係代名詞の文の中では bought の後の「ペンを」にあたる言葉  it が見当たりません。先行詞の pen がその役を演じているからです。

I will give you a pen which I bought it yesterday.

このように先行詞 pen が1人2役を演じています。
1つ目の役割は前半の文の I will give you a pen の中の「ペンを」の意味です。
もう1つの役割は、関係代名詞の文 which I bought yesterday の中で省略されている「ペンを」の役割です。
このように「目的格の関係代名詞」は、その先行詞が関係代名詞の文の中で「なにを」「だれに」の役割も演じています。

そして目的格の関係代名詞 which, that は省略可能です。

I will give you a pen which I bought yesterday.
I will give you a pen       I bought yesterday.

省略しても「名詞を修飾する文」が挿入されたと分かるからです。なぜ分かるかと言えば、冒頭で説明した通り、英語はいつも

主語 述語 [だれに] [何を] [どこで] [いつ]

という語順に決まっているからです。ですから、それ以外の語順で他の言葉が来たら「あ、説明が挿入された = 修飾語のかたまり」と分かるのです。語順が決まっているからこそ分かる、ということですね。いくつか例を出しておきます。

The ball which I hit it went into the house and broke the window of it.
私が打ったボールはその家に入っていき、その窓を割った。

I remember the man that you met him yesterday.
私は君が昨日会ったを覚えているよ。

主格

先行詞が、その後につづく関係代名詞の文の中で「だれが」「なには」の役割になっているとき、その関係代名詞の種類を「主格の関係代名詞」と呼びます。

これも例文で確認した方が速いです。

I have friends who help me with my homework.

上の例文をよく見ると後半の関係代名詞の文の中では主語がありません。先行詞の friends がその役を演じているからです。

I have friends who they help me with my homework.

このように先行詞 friends が1人2役を演じています。
1つ目の役割は前半の文の I have friends の中の「友達を」の意味です。
もう1つの役割は、関係代名詞の文 who help me with my homework の中で省略されている「友達が」の役割です。
このように「主格の関係代名詞」は、その先行詞が関係代名詞の文の中で「だれが」「なには」の役割も演じています。

そして主格の関係代名詞 who, which, that は省略できません。なぜ省略できないかは、省略してみれば分かります。

I have friends help me with my homework.

これでは I have friend. と言いたいのか、Friends help me my homework. と言いたいのか、いったいどちらなのかよくわからない文になってしまいました。
主格の関係代名詞を省略してしまうと、2つの文の関係が分からなくなってしまいます。どちらの文が主役で、どちらの文が脇役(修飾語)なのかが分からなくなります。そして「1つの文に動詞は1つ」という文法にも違反してしまし、意味がぐちゃぐちゃになってしまいます。

中学生は whom を習わないので that

ここで目的格の関係代名詞について1つ注意です。

目的格の関係代名詞には、who は使えません。文法的には whom を使うべきなのですが、whom は中学校では教えられないため、万能の that を使うように指導されています。

私は君が昨日会ったを覚えているよ。

〇 I remember the man that you met yesterday.
△ I remember the man whom you met yesterday.
△ I remember the man who you met yesterday.

しかし、最近は who でも使えます。英語は生きた言語です。私たちが習った時代とは使い方が変わっているのですね。日本語も使い方が変わるように英語も変わります。最近では who もOKです。

定期テストではどうでしょうか?

それは学校の先生次第です。年配の先生だと who では×にされます。それに抗議しても「授業ではそうに教えていない。聴いてなかったのか?」と言われたら勝てません。内申には「授業態度」が入っているからです。無難に that を使っておきましょう。

特殊な表現は that

これは高校英語の範囲ですが、中学校の先生でも教える方がいたので、一応、説明しておきます。

関係代名詞の文は先行詞を修飾します。修飾するということは、先行詞の追加説明をするということです。そして追加説明をするということは、先行詞を限定する、ということです。
つまり関係代名詞のおかげで、先行詞の意味が、より限定され、意味が詳しく特定されるわけです。

ところが、関係代名詞で修飾される前から、先行詞の意味が限定されてしまっている時があります。

先行詞に、つぎの修飾語が最初からくっついている時です。

all, every, any, no, everything, anything, nothing,
the only, the very, the same,
序数( the first, the second, the third, … ),
最上級( the most, the least, … )

先行詞を強く限定するような言葉がある時は、関係代名詞を that にするのが普通です。

You are the last Jedi that can control “force” in the space.
この宇宙であなたがフォースを操れる最後のジェダイだ。

英語の語順 Step5 例外の修飾

最後に、例外を書いておきます。

数や量、程度を表す言葉

数量を表す言葉は、名詞の前に置くのが普通です。名詞を2語以上で修飾するときでも、名詞の前に来てしまう例外です。

a lot of, hundreds of, a few, a little, fifty five, almost all, very tall, … etc

などです。

Thousands of people moved the movie.
何千もの人々がその映画に感動した。

nothing と anything は1語でも後ろから修飾

これは中2の不定詞で一緒に習いますね。nothing, anything は修飾語が1語だろうと2語以上だろうと、とにかく修飾語は後ろに置かなければいけません。

〇 Do you have anything to do today?
〇 I want something to drink.
〇 I feel something terrible.
× I feel terrible something.

普通の形容詞と不定詞の両方で修飾する場合は、次の順番です。

nothing [普通の形容詞] [不定詞]
anything [普通の形容詞] [不定詞]

〇 I want something cold to drink.
× I want something to drink cold.

おわりに

中学生の英語で、語順が混乱するタイミングは何度かやってきます。

中1なら、一般動詞が登場した時と、現在進行形が登場した時です。
中2なら、動名詞や不定詞が登場した時と、比較級が登場した時です。

そして中学3年生になると、英語の語順が一気に複雑になります。

受け身、現在完了、It ~ for ~ to 構文や so ~ that 構文、後置修飾、関係代名詞と続くからです。

関係代名詞は中学英語の最後の砦になります。

英語との日本語の比較を厳密にすることが、英文法の理解の近道です。
文法を教えることに否定的な人も多いようですが、それは教え方です。

私はむしろ、国文法で助詞を丸暗記させたり、形容動詞と名詞+だの見分け方などを教える方が反対です。
そんな重箱の隅をつつかせるよりも、日本語と英語の違いを文法的に比較する方が、はるかに実りが多いと思っています。

品詞や語順の違いがどうして生まれたのか?

それが、ひいては文化の違いを理解するにも至ります。

中学2年生になったら、英単語は意味と発音だけでなく、品詞にも注意すると良いでしょう。
日本語の訳に惑わされるよりも、品詞を確認した方が、単語の意味がすんなり解ることさえあります。

新しい英単語が出てきたら、ぜひとも

発音、意味、そして「品詞」を確認しましょう。

 


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対数関数 log で1カ月悩んだ高校生が15分の解説でスッキリした話し

対数関数が分からないと悩む学生の絵

塾長です。

高校2年生の数Ⅱでは、対数関数で混乱する生徒が多いです。$ \log_3{\frac{1}{3}}=-1 $ とか $ y=\log_3{x} $ とかです。対数関数は独学ではなかなか理解できない単元の1つです。

そういえば数年前、天白高校の男の子も悩んでいました。しかも1か月間も。あの時は、私が15分説明しただけでスッキリしてくれました。ちょっとコツがあるんですよね。まぁ何がコツかは生徒それぞれなのですが。

そこで今回は、その15分で説明した内容を書きます。
とは言え、文章にすると、けっこうな量になってしまいました。初学者は15分では読めないかもしれません。やっぱり授業はライブの方が効率が良いですね。

対数関数の意味が分からない

数学Ⅱで登場する新しい関数といえば、三角関数指数関数対数関数
中でも対数関数で混乱する生徒が毎年多いです。

この関数だけが全く新しい考え方をしているように思えるからでます。それで、

「はぁ? だから何? 何がうれしいの?」
「いきなり、いったい何なの?」

という反応になります。怒りすら覚えます。
そういう時は、いきなり対数関数の性質やグラフを云々ではなく、まず

対数関数で何がしたいのか

を説明した方が良いです。

数学で分からなくなったら「何がしたいのか?」をとらえる

新しい単元に入ったら、まず目的を共有します。
それができないのに説明しても頭に入りません。

一方、教科書では指数関数を学んでから対数関数を学びます。その流れで

対数関数は指数関数の逆関数である!」

などと端的に書かれています。
数学の好きな人には「簡潔で美しい」と飲みこめるのでしょうが、一般の人には味が濃すぎて喉を通りません。
初学者には難しい説明ですね。

同じ意味でも、もっとかみ砕いて

「対数関数 $y=\log_{n}{}x$nは、xを『nの〇乗』で言い直す関数です。」

と考えた方が解りやすいです。
さらに、それがどういうことなのか、いくつか具体的に経験して納得するのが良いでしょう。

  • 直ぐに具体例を書き出してみる
  • 何かを当てはめてやってみる

それが理解の近道です。

対数関数は「何桁の数か」を調べる関数

いくら難しい「対数関数」と言えども「関数」です。自動販売機と一緒です。

  • 自動販売機: 「ボタンを押せば、ジュースが出てくる」
  • 関数   : 「xを決めたらyが決まる

という仕組みです。

  • 「ボタンがx、ジュースがy」
  • xが原因、yが結果

くらいに考えればOKです。この大枠は関数が何であろうと一緒です。
そこで、まず、なにか新しい関数が出てきたら「xの意味とyの意味」を押さえましょう。

ここで先に対数関数の「感覚」を身に着けてもらうために、しばらくの間は $ y=\log_{10}{x} $ だけに話を絞ります。もちろんその後で $ y=\log_{2}{x} $ や $ y=\log_{3}{x} $ などの話しもします。

対数関数 $ y=\log_{10}{x} $ の意味

対数関数 $ y=\log_{10}{x} $ は、xに正の実数を入れると、それが「10の何乗か」を答えてくれる関数です。

  • 対数関数: 「xが実数、yが ”10の何乗” 」

仕組みとか計算方法とか、とりあえず細かい話は横に置いておきましょう。
とにかく対数関数はxを決めるとyは「〇乗」を表す値になります。
つまり、

$ y=\log_{10}{x} $ の$x$ に $1000=10^3$ を代入すると $y=3$ になります。

$ y=\log_{10}{1000}=3 $

そして実は、これで「何桁の数か」も分かります。

具体的に並べれば、

$10^1=10$ は2桁の数
$10^2=1000$ は3桁の数
$10^3=1000$ は4桁の数
$10^4=10000$ は5桁の数
・・・
$10^y=100 \dots 0$ は(y+1)桁の数

と考えられるからです。つまり、次のことが分かる関数です。

$ y=\log_{10}{x} $

  • $x$ は $(y+1)$ 桁の数
  • $x$ は $10$ の $y$ 乗

桁数を知って何に利用する?

物理や化学では、桁数を求める計算をよく使います。極端に大きな数や極端に小さな数を扱うからです。
たとえば炭素12グラムに含まれる炭素原子の数は$6.02 \times 10^{23}$個などと言われます。

602000000000000000000000個です。

こうなると

6020839862345984129123223個 だろうが、
602010000000000000531000個 だろうが、

ほとんど同じです。数が多すぎて原子を1つ1つ数える人はいないですし、数えたところでその数字の利用価値はないです。そんな細かい数字の正確さよりも「24桁の数」というサイズ感の方が重要です。
酸やアルカリの強さを計算するときや、電波で通信したりコンピューターの性能を表すときなんかもそうです。
大きすぎる数や小さすぎる数を扱う時、桁数を知ることがまず重要になってきます。

そういう時に対数関数が良く使われます。

あらゆる数を「10の〇乗」で表したらどうなるか?

突然ですが、もしも

「指数でしか数字を理解できない」

そんな宇宙人がいたらどうでしょう。彼らの宇宙語は、いったいどんな数でしょうか?

その翻訳には対数関数が使えます。私たちが日常使っている数を「10の何乗か」つまり「指数」に言い換えられるからです。さっそく翻訳に取り掛かりましょう。

$1=10^0 ⇔ \log_{10}{1}=0  \Longrightarrow  1 は宇宙語で0$
$10=10^1 ⇔ \log_{10}{10}=1  \Longrightarrow 10 は宇宙語で1$
$100=10^2 ⇔ \log_{10}{100}=2  \Longrightarrow 100 宇宙語で2$
$1000=10^3 ⇔ \log_{10}{1000}=3  \Longrightarrow 1000 宇宙語で3$

こんな感じでしょう。
それなら、例えば次の場合はどうでしょう?

$500=10^{?} ⇔ \log_{10}{500}=?  \Longrightarrow 500 は宇宙語で?$

100 < 500 < 1000
ですから、
$ log_{10}{100} < log_{10}{500} < log_{10}{1000} $
$ log_{10}{10^2} < log_{10}{500} < log_{10}{10^3} $
$ 2 < log_{10}{500} < 3 $
となって、おそらく

$ 500=10^{2.???}  \Longrightarrow  500 は宇宙語で2と3の間の数?$

となりそうです。
しかし、これ以上は計算(翻訳)ができません。

どうしましょう?

ちなみに

「ちょうど100と1000の間だから$10^{2.5}$ かな?」

と思う方がいるかもしれません。
ナイスチャレンジ!ですが、残念ながら違います。

これは、逆に $10^{2.5}$ の値を確認すればわかります。
電卓で計算できますから、ちょっとやってみましょう。
電卓で $\sqrt{10}=3.162 \dots$ と計算できますから、これと指数の法則を使って確かめてみます。

$10^{2.5}=10^{(2+\frac{1}{2})}=10^{2}\times 10^{\frac{1}{2}} = 100\sqrt{10} = 100 \times 3.162 \dots = 316.2 \dots$
よって
$10^{2.5} = 316.2 \dots$
となりました。
500 よりも小さい数ですね。ということは、少なくとも、

$ 10^{2.5} < 500 $
$ 2.5 < log_{10}{500} < 3 $

ということになりました。先程よりは範囲を絞れましたが、まだよくわかりません。
実は、さらに $ \log_{10}{500} $ をもっと正確に計算する方法があります。

常用対数表

数Ⅱの教科書や参考書の巻末、あるいはセンター試験の問題冊子の巻末などに「常用対数表」が載っています。
常用対数表は「10の何乗か」が分かる一覧表です。
普通は 1.00~9.99 までの数が、それぞれ10の何乗か載っています。
つまり、

$y=\log_{10}{x}, (1.00 \leqq x \leqq 9.99)$ (x は0.01刻み)

についてyの値が小数第4位までズラリと並んでいます。その表を使えば近似の計算ができます。

それでは、指数の法則を思い出しながら500 が10の何乗か計算してみましょう。
常用対数表で見ると

$y=\log_{10}{5}=0.6990\dots$
つまり
$5=10^{0.6990\dots}$
です。これを利用して、

$500=100 \times 5 = 10^2 \times 5 =10^2 \times 10^{0.6990\dots} = 10^{(2+0.6990\dots)} = 10^{2.6990 \dots}$

よって500の場合は次のようになります。

$500=10^{2.6990\dots}$
$\log_{10}{500}=\log_{10}{10^{2.6990\dots}}=2.6990\dots$

一般に、この数は無理数になります。終わりのない小数になります。
他の数についても同様です。

たとえば 713 ならば、
常用対数表から $\log_{10}{7.13} = 0.8531\dots   \Longrightarrow  7.13=10^{0.8531 \dots}$
$713=100 \times 7.13 = 10^2 \times 10^{0.8531 \dots} =10^2 \times 10^{0.8531\dots} = 10^{(2+0.8531\dots)} = 10^{2.8531 \dots}$
よって
$713=10^{2.8531\dots}$
$\log_{10}{713}=2.8531\dots$

などと求められます。他にも、

$3=10^{0.4771\dots}$
$11=10^{1.0414\dots}$
$59=10^{1.7709\dots}$
$500=10^{2.6990\dots}$
$713=10^{2.8531\dots}$
$1280=10^{3.1072\dots}$
・・・

そして、10のn乗の数は(n+1)桁の数でした。そう考えれば、

$3=10^{0.4771\dots}  \Longrightarrow  $ 3 は約1.4771桁の数
$11=10^{1.0414\dots}  \Longrightarrow  $ 11は約2.0414桁の数
$59=10^{1.7709\dots}  \Longrightarrow  $ 59 は約2.7709桁の数
$500=10^{2.6990\dots}  \Longrightarrow  $ 500は約3.6990桁の数
$713=10^{2.8531\dots}  \Longrightarrow  $ 713 は約3.8531桁の数
$1280=10^{3.1072\dots}  \Longrightarrow  $ 1280は約3.1072桁の数
・・・

この様に対数関数はどんな数でも全て「10の〇乗」で表せますし、「〇桁」とも表せます。
(ただし後でやりますが正の実数に限ります)。

計算サイト

余談ですが、常用対数表の代わりにコンピューターを使えば速いです。
カシオの「ke!san」という神サイトが有名です
https://keisan.casio.jp/exec/system/1260332465

対数関数 $ y=\log_{10}{x} $ でやりたいこと

対数関数は「正の数」を「指数だけの表現」に言い直す関数ということが分かりました。

それを式で書くと、次のようになります。

$ y=\log_{10}{x} $

  • $x$ は $(y+1)$ 桁の数
  • $x$ は $10$ の $y$ 乗

さて、指数でしか数を数えられない宇宙人の話しでした。
どうやらは彼らは、日常的に小数を使うようです。しかも無理数です。
もっとも無理数をどうやって読み上げるのかは不明ですが。

さて、次に対数関数をもうすこし一般化します。

対数関数 $ y=\log_{n}{x} $ の意味

今度は対数関数 $ y=\log_n{x} $ について考えます。 $ y=\log_{10}{x} $ ではありません。 $ y=\log_n{x} $ です。

用語

その前に用語を先に説明します。その方が後々の説明で困りません。

関数 $ y=\log_n{x} $ について、

  • のことを「真数(しんすう)」と呼びます
  • のことを「(てい)」と呼びます
  • 特に $n=10$ のときの $\log_{10}{x}$ を「常用対数」と呼びます

n進数

これまで見たように指数と桁数の関係は

(指数+1)桁

ということが分かりました。ただし、これは私たちが日常使っている「10進数」での話です。
高1の「数A」や「情報」という科目で「n進法」または「n進数」というのを習ったことがあるでしょう。
数の表し方は10進数だけではありません。他にも色々あることを学びました。

あらためて、普通の数を「10進数」と言います。$100 \times 10 = 1000$のように10倍すると桁が上がります。
お馴染みのように10進数の世界では、数を次のように数えますね。

$0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, $
$11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, \dots$

10進数では10ごとに桁が繰り上がります。そのため各位の数には0~9の数しか使いません

一方で例えば、2倍すると桁が上がるような数を2進数といいます。
2進数の世界では次のように数を数えます。

$0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001, 1010, $
$1011, 1100, 1101, 1110, 1111, 10000, 10001, 10010, 10011, 10100, \dots$

2進数では2ごとに桁が繰り上がります。そのため各位の数には0~1の数しか使いません
しかも10進数に比べて、桁の上がり方が速いです。

それでは、2進数で表した数の場合、指数と桁数の関係はどうなっているのでしょうか?

2進数の例

上で見たように、例えば2進数の $1011$ とは10進数の11のことです。
詳細は数Aや情報に譲りますが、2進数を10進数へ直す計算は以下の通りです。

$1010_{(2)}=1\times 2^3 + 0 \times 2^2 + 1 \times 2^1 + 1 \times 2^0=11_{(10)}$

このように2進数の世界で4桁の数は、10進数の世界ではたったの2桁です。
同じ数でも「表し方が何進数か」で「桁」が変わってしまいます。

そして2進数で表した数の $y$ 桁目の数は「$2^{(y-1)}$」の係数になっていました。

$2^0=1_{(2)}$ は2桁の数
$2^1=10_{(2)}$ は2桁の数
$2^2=100_{(2)}$ は3桁の数
$2^3=1000_{(2)}$ は4桁の数
$2^4=10000_{(2)}$ は5桁の数
・・・
$2^y=100 \dots 0_{(2)}$ は(y+1)桁の数

2進数以外でも同様です。
つまり、たとえ何進数であろうと次のことが言えます。

  • 10進数の世界: $10^y$ は $(y+1)$桁の数
  • 2進数の世界: $2^y$ は $(y+1)$桁の数
  • n進数の世界: $n^y$ は $(y+1)$桁の数

n進数の桁数

上の考察を一般化しましょう。

$n^0=1_{(n)}$ はn進数で1桁の数
$n^1=10_{(n)}$ はn進数で2桁の数
$n^2=1000_{(n)}$ はn進数で3桁の数
$n^3=1000_{(n)}$ はn進数で4桁の数
$n^4=10000_{(n)}$ はn進数で5桁の数
・・・
$n^y=100 \dots 0_{(n)}$ はn進数で(y+1)桁の数

これでn進数で表した数xが何桁かを調べることを考えられます。
そのために対数関数 $y=\log_{n}{x}$ が登場します。
よく見てください。$y=\log_{10}{x}$ ではなく $y=\log_{n}{x}$ です。「10」が「n」に変わっています。

つまり関数 $y=\log_{n}{x}$ は、xにある数を入れると、yが「nの何乗か」を表す数になります。
以上から次のことが分かります。

$ y=\log_{n}{x} $

  • $x$ は $(y+1)$ 桁の数
  • $x$ は $n$ の $y$ 乗
  • $x=n^y \Longrightarrow x=n^{\log_{n}{x}}$

こうして、扱う数が何進数であろうと、確かに対数関数は指数や桁数を調べる関数なのだと言えます。

常用対数と一般の対数

ここまでの話を少しまとめます。

対数関数 $ y=\log_n{x} $ は、実用面では n=10 すなわち $ y=\log_{10}{x} $ で用いて「10の何乗か」を求めることが多いです。そのため  $ y=\log_{10}{x} $ のことを特に「常用対数」と呼びます。
数Ⅱではnの表示を省略して単に $y=\log{x}$ と書けば、それは $ y=\log_{10}{x} $ の意味になります。

そして n を色々な数に変えて使うことができます。この様子を式に書いたのが以下です。

  • $ y=\log_{10}{x}   \Longrightarrow$ 10進数の世界でxは(y+1)桁の数
  • $ y=\log_2{x}   \Longrightarrow$ 2進数の世界でxは(y+1)桁の数
  • $ y=\log_3{x}   \Longrightarrow$ 3進数の世界でxは(y+1)桁の数
  • $ y=\log_n{x}   \Longrightarrow$ n進数の世界でxは(y+1)桁の数

負の数はダメ!

対数関数について使用上の注意です。

注意事項

対数関数の「n」や真数「x」必ず0より大きい正の実数でなければなりません。

さて、どうしてnが正なのか。
逆にnが負の数だと何が不都合なのか。
まず、それについて補足しておきます。

負の数と指数の関係を見てみましょう。

  • $(-2)^1=-2, (-2)^2=4, (-2)^3=-8, (-2)^4=16, (-2)^5=-32$
  • $(-n)^1=-n, (-n)^2=n^2, (-n)^3=-n^3, (-n)^4=n^4, (-n)^5=-n^5$

このように負の数のべき乗は、指数が奇数の時は負で、指数が偶数なら正の数になります。
指数が1つ増えるたびに符号が反転してめんどうです。
しかし、面倒なのはこれだけではありません。

  • $(-2)^{1.33}=?$
  • $(-n)^{1.33}=?$

この様に、指数を小数にした瞬間、意味が分からなくなってしまいます。
正の数と負の数の中間の世界???
・・・そんなのありません。

そんなわけで、対数関数の世界では、必ず「底nは正」です。
したがって $ x=n^y $ ですから「真数xも正」です。

※大学で「複素関数論」を学べば真数が負でも計算できるようになります。その場合yは複素数になります。

指数の法則がそのまま公式になっている

対数は指数を表していますから、指数の法則の指数部分の振る舞いが、そのまま公式になります。

指数の法則

  • $ a^x \times a^y = a^{x+y} $
  • $ a^x \div a^y = a^{x-y} $
  • $ (a^x)^y  = a^{x \times y} $
  • $a^0=1$

対数の性質

  • $ \log_a{(a^x \times a^y)} = \log_a{a^{x+y}} = x+y = \log_a{a^x} + \log_a{a^y} $
    よって、 $ log_a{(X \times Y)} = \log_a{X} + \log_a{Y} $
  • $ \log_a{(a^x \div a^y)} = \log_a{a^{x-y}} = x-y = \log_a{a^x} – \log_a{a^y} $
    よって、 $ log_a{(X \div Y)} = \log_a{X} – \log_a{Y} $
  • $ \log_a{ (a^x)^y } = \log_a{a^{x \times y}} = x \times y = \log_a{a^x} \times y =y \log_a{a^x} $
    よって、 $ log_a{X^y} = y\log_a{X} $
  • 上の式で特に $X-a, y=1$ のとき $ log_a{a} = 1 $
  • $\log_{a}{1}=\log_{a}{a^0}=0\times\log_{a}{a}=0\times 1 =0$
    よって、 $\log_{a}{1}=0$

対数の計算公式

  • $ log_a{(X \times Y)} = \log_a{X} + \log_a{Y} $
  • $ log_a{(X \div Y)} = \log_a{X} – \log_a{Y} $
  • $ log_a{X^y} = y\log_a{X} $
  • $ log_a{a} = 1 $
  • $\log_a{1} = 0$

この公式は難しそうですが、次のように言葉で理解してしまった方が覚えやすいです。

対数の計算公式の覚え方

  • かけ算はたし算に
  • わり算はひき算に
  • べき乗はかけ算に
  • 底と真数がそろったら1
  • 真数が1なら常に0

対数のこうした公式(性質)の利用法やメリットを知れば、もうすこし馴染みが出てきます。続いて、それを見てみましょう。

底の変換公式

数Ⅱの対数関数で重要な公式がもう1つあります。
ただし、これは丸暗記した方が速いので、成立する理由の説明は省略し、ただ載せるだけにします。

  • 底 nを底mに変換するための公式
    $$\log_{n}{x}=\frac{\log_{m}{x}}{\log_{m}{n}}$$

底の変換公式の覚え方

  • 古い底が分母、古い真数が分子

かけ算を足し算に、割り算をひき算に変換する!?

対数関数の便利な効能と、その使い方をご紹介します。

対数関数の効能(公式の意味)

  • かけ算を足し算に変換する
  • わり算をひき算に変換する
  • べき乗はかけ算に変換する

この性質を応用すると、指数でグチャっとなっている式を、足し算と引き算で解きほぐすことができます。

例えば、こんな問題です。

3つの正の実数 $x, y, a>0$ において、次の連立方程式 $ a^x=2a^y $ かつ $ x-2y=0 $ を満たすような a を求めよ。

与式 $ a^x=2a^y $ が指数のお化け団子です。これだけでは解きようがありません。そこで対数( log )を使います。

$ a^x=2a^y $ の両辺について、 $a$ を底とする対数をとると、

$ \log_a{a^x}=\log_a{(2a^y)} $
$ x=y\log_a{(2a)} $
$ x=y(\log_a{2}+\log_a{a}) $
$ x=y(\log_a{2}+1) $

ここで $ x-2y=0 $ すなわち $ x=2y $ を代入して

$ 2y=y(\log_a{2}+1) $

$y>0$ だから両辺を $y$ で割って

$ 2=\log_a{2}+1 $
$ 1=\log_a{2} $
$ a=2 $

このように対数を使えば求める事ができます。

まとめ

  • 対数関数 $ y=\log_{n}{x}, (n>0, かつ x>0)$
  • nに負の数が定義されることはありません!
  • xに負の数を入れてはいけません!
  • $ log_a{(X \times Y)} = \log_a{X} + \log_a{Y} $
  • $ log_a{(X \div Y)} = \log_a{X} – \log_a{Y} $
  • $ log_a{X^y} = y\log_a{X} $
  • $ log_a{a} = 1 $
  • $\log_a{1} = 0$
  • $\log_{n}{x}=\frac{\log_{m}{x}}{\log_{m}{n}}$
  • 対数を使えば指数でグチャっとなった式を解きほぐせる

1カ月も悩んだ生徒に15分講義したらスッキリ

学校の授業が全く分からない!

これは偏差値の低い高校だから起こる、というものではありません。少なくとも生徒たちの生の声を聞く限り、むしろハイレベル(偏差値60~65くらい)の高校の方が、そういう生徒の割合が高いです。
そして、この傾向は公立高校の方が私立高校よりも顕著です。

うちの生徒たちで言えば、天白高校、昭和高校、菊里高校ですね。

高校の先生にしてみれば、生徒の優秀さに期待して

「高度な授業を見せてやりたい。」

という熱意があると思います。

一方、それはなかなか厳しいのが現実のようです。
多くの生徒たちが、ついて行けなくなっている印象です。

たとえ優秀な高校の生徒であろうと、基礎を飛ばして応用はできないということですね。
予備校のハイレベルコースならともかく、現役の高校生は単元の基礎から初めてなのですから。

このことから、基礎と応用の間は、思ったほど距離が離れているワケではないのかもしれません。
むしろ基礎の奥深い理解こそが、応用とも言えますね。

もちろん偏差値の高い進学校では、教科書の予習はしてくるのが前提でしょう。
確かに、現在はネットで多くのことを自分で調べられるようになりましたから、予習はし易いと想像できます。
「高校は義務教育ではない」と言ってしまえばそれまでですが。

それでは100歩譲って、自分で予習しても学校の授業について行けなかったとしたら、その理由は何でしょうか?

それが上で述べたような「目的が分からない」ということだと思います。
要は納得感の問題です。
食わず嫌いで頭に入らなくなっています。

そこで、

  • 「この章では何がしたいのか?」
  • 「この数式は何がしたいのか?」

という話をします。
解法や暗記ポイントとは全く違う視点なのですが、優秀な生徒ほど、案外こうした動機付けが功を奏します。
きっと、そういう目的を最初に生徒たちへ明示する必要があるのでしょう。
実際、

「先生、学校の数学の授業なんですが、ここ1か月の間、ぜんぜん何やってるか分かりません!」

と助けを求めて来る生徒に、私が15分講義しただけでスッキリして帰る、という場合も珍しくありません。

そのような場合、私は大したことはしていません。
数学のその単元で

「何をしたいのか?」
「何を受け入れるべきか?」

というポイントを先に教えるだけです。
細かい計算や確認は、むしろ本人に任せてしまいます。もちろんチェックはしますけどね。
任せた上で、詰まった所だけフォローする方が効率的な場合もあるからです。

単元の「目的」が生徒の学習脳を動かす?

上記のような経験から言えることは何でしょうか。

「単元の目的を共有する」

これが学習の効率を高めるのだと私は思います。
このことは偏差値とは関係ないことも分ってきました。
どのようなレベルの高校の生徒だとしても、単元の目的を明確にしてあげると、勉強が加速します。

いざ問題を解き始めれば、生徒たちの頭の中には

「自分で理解して、自分で解き切りたい」

という欲求が強く働いています。
そのため、解法の全てを解説してしまうと、むしろしつこいというか、嫌がられます。

「あー、そこまでは自分で解けたかもしれないのに、なんで先に言っちゃうの!」

というふうに思われれしまいます。
推理小説で、先に犯人の名前を言われてしまうような、ネタばらしをされたような、そんな感覚です。

解く過程の全てまで教えてしまうのは、親切な事ではありません。
むしろ本人が自分の頭を使う機会を奪ってしまいます。成長のチャンスを奪ってしまうのです。
脳は動かさなければさび付いていきます。動かす機会を奪ってはいけません。

ですから、うちは余計な解説はしない、という指導水準になっています。
いかに良いヒントを出すか。それが講師の腕の見せ所です。

逆に、このことに納得できないと、成績は伸びません。

「手とり足とり教えます」

これが親切だと思われるのは錯覚です。塾長はそう思います。
そういう塾には自分の子供を入れたくないですね。
頭が悪くなりそうです。

〈余談〉高校の関数が難しいのには理由がある!?

実は、高等数学の関数が「難しい」と感じるのには、ちゃんとした理由があります。
それは関数の振る舞いが、人間のもつ「経験則」と合わないからです。
グラフの意味をなかなか想像できないからです。

人間は過去に繰り返された経験から

「きっと次も同じようになるだろう」

と予想して未来に備えるように進化してきました。
そして次のように、他の動物よりも「経験則」を細かく把握できます。

  • 川の水位が毎日3cmずつ増えているから、きっと明日も今日より3cm増えるだろう。(比例という経験則)
  • 村の人口が2倍、3倍に増えていけば、自分の収穫高は1/2、1/3に減っていく。(反比例という経験則)

つまり次のように理解するのが人間の持つ感覚です。

  • 「伴なって増える」→「比例」
  • 「相反して減る」→「反比例」

このように小学校や中学校からお馴染みの「比例」や「反比例」は、人間が本能的に持つ経験則を数字で表したものです。
もちろんグラフの読み書きは練習する必要がありますが、グラフの意味は人生経験に置き換えて理解することができます。
ですから、比例や反比例までなら義務教育で全員に学ばせても、そう無理はないだろう、ということです。

関数が難しい理由の本質とは?

そうすると、高等教育の数学において、

「関数がわかり易い」

と皆さんがおっしゃるのは、

「比例や反比例の感覚で納得ができる」

ということになるわけです。
逆に比例や反比例で解釈できないものは

「わかり難い関数」

ということになります。
これが関数が容易か難しいかの本質です。

そして三角関数や対数関数は、比例や反比例ではありません。

ですから11月~12月にかけて、多くの高校2年生が対数関数で頭を抱えます。

こうした生徒の理解構造まで把握したうえで、高等数学は教える必要があります。
ひたすら式の意味だけを説明したところで、ほとんどの生徒は納得できないわけです。

単元の目的を共有し、そして教え過ぎない。
特に新しい概念を導入する時は、生徒がそれまでに学んできた知識体系、つまり理解構造を意識して教える。

そのようなことが大切だと思います。

 


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教室の様子(360度カメラ) http://urx.blue/HCgL

【中1英語】高校生も意外と知らない現在進行形の意味とは?

勉強で混乱する生徒のイラスト

塾長です。

中学1年生の英語が、とうとう大混乱の「現在進行形」に突入してきました。

「英語が苦手です」

この時期、そんなふうに学習相談に来られる新規の中学2年生。あるいは、学年が上がるにつれて定期テストの点数が下がって来たというご相談。実際に解答用紙を分析すると、だいたい中1のこの時期に原因があることが多いです。

「現在進行形」で英語の混乱がはじまる!?

中学1年生の英語の教科書。だいたい、どのような教科書でも、次のような流れで英語を習います。

最初にbe動詞の文を習います。

Saki: Ms. Baker, this is your pen.
Ms. Baker: Oh, yes. That’s my pen.

などという、現実ではあまり聞かない会話文で習います。

次に、一般動詞の文を習います。

I like math. I study it every day. I like music, too. I play the guitar in a band.

などという、輝かしい生徒の自己紹介文で習います。

それぞれの否定文疑問文を覚え、How many ~? や Who~? などの疑問詞の使い方も覚え、やがて生徒たちは悟りを開きます。

先生、だんだん英語がわかって来ました。英語のルールを簡単にまとめると、

be動詞の文」と「一般動詞の文」は混ぜるな、危険

ってことでしょ。
この2つは否定文と疑問文をつくるルールが全く別だから、分けて考えればいい。
それさえ分かっちゃえば、疑問詞だって意味の違いだけで難しくはないですよ。
英語なんて、あとはもう暗記だけですよ。

やっとのことで英語のヒミツが見えてきました。苦手な英語が乗り越えられそうだと思えてきました。
正にその矢先です。見上げるほど高い壁のように「現在進行形」が目の前に立ちはだかります。

現在進行形は、

be動詞 + 一般動詞のing形

です!

なんということでしょう。「混ぜるな危険」だったはずの「be動詞」と「一般動詞」が、ここで混ざってしまいます!
ちゃんと英語を勉強して来た生徒の方が、むしろ混乱します。

そして、中学1年生の不幸はまだまだ続きます。

現在進行形のあと、さらにさらに、過去形助動詞can と続くのです。英語の高いハードルが次々に現れます。

英語が得意科目に変わるかもしれない。そんな希望が持てた時期が、僕にもありました(過去形)。

塾長は中学生のとき、むりゃくちゃ英語が苦手だったらか、よ~く分かりますよ。
でもこの苦労、きっと最初から英語が得意だった人には、分からないだろうなぁ・・・

「進行形」=「している」はウソ!?

現在進行形で発症した混乱を完全に治すためには、やはり文法をちゃんと理解するのが近道です。まず、

一般動詞に “ing” をつけたら動詞(動作)ではなくなる

ということを頭に叩き込みましょう。このように説明すると、

え!?「~している」という意味だから「動作」じゃないの?

と思われるでしょう。実はそれが混乱の原因です。そもそも「ている」という和訳が不十分です。それは次の例文を見れば明らかでしょう。

私は犬を飼っている

◎ I have a dog.
× I am having a dog.

英語の参考書には「have, live などは進行形に使えない動詞である!」などと、いかにも重要ポイントっぽく書かれているものがあります。ますます混乱しますね。こんなのポイントでも何でもありません。次のように考えれば一発で理解できます。

進行形は「瞬間の様子を表わす

◎ 進行形=瞬間の様子
× 進行形=動作

進行形は、動いているものの時間を止めて、写真のようにある瞬間だけをとらえた表現です。ぱっと見たその瞬間は何かしていた。でも次の瞬間は分からない。そんな臨場感のあるニュアンスです。

動画と違って写真は動きませんから、動作ではありません。「瞬間」は「様子」です。「やさしい」とか「しあわせ」とか「黄色い」とかと同じで、姿や形や状態を表現する言葉と同じです。

人や物の様子を表現するのは「be動詞の文」でした。

主語 + be動詞様子
I am happy.
The box is yellow.

これと同じように

主語 + be動詞動詞のing形様子
My dog is running over there.

とすれば良いわけです。
現在進行形の文の正体は、何のことはない、ただの「be動詞の文」でした。「動詞のing形は、動作ではなく様子」という事実さえ受け入れれば、be動詞の文だと思ってしまえば恐れる必要はありませんでした。

やっぱり「混ぜるな危険」は正しかった!

現在進行形の正体が「be動詞の文だと分ってしまえば、否定文疑問文の作り方も、もう知っていることになります。
be動詞の文では、

  • be動詞を主語の前に出せば疑問文
  • be動詞に後に not を置けば否定文

と文法が決まっていましたから、その通りでOKです。もちろん疑問文に対する答え方や、疑問詞を使った疑問文の作り方、答え方も同じです。

  • 肯定文: My dog is running over there.
  • 否定文: My dog is not running over there.
  • 疑問文: Is my dog    running over there?
    Yes, it is. / No, it isn’t.

たとえ現在進行形が登場しようとも、

「be動詞の文」と「一般動詞の文」は混ぜるな、危険!

は成り立っていました。これで一安心です。

進行形に使えない動詞なんて無いぞ

ところで「have, live などは進行形に使えない動詞である!」という説明。さて、本当でしょうか?

そこでクイズです。have や live の進行形をあえて訳してみましょう。
次の例文を無理やり訳したら、いったいどうなるでしょうか?

I am having a dog now.

このような英文は作れなくもないです。ただ、何かとてつもなく特別な事情がありそうな文になります。

今この瞬間は犬を飼っているが、次の瞬間は飼っていないかもしれないぜ。

というような意味になるでしょう。間違いなく、動物愛護団体から非難されるでしょう。
次はどうでしょうか。

I am living in Nagoya now.

俺は今、名古屋で生きてるぜ!

例えば新幹線で名古屋を通過中に、たまたま名古屋っぽい経験ができたとしたら、このような表現も一興ですね。

英文法を教えることは必要か不要か?

ところで、英文法を細かく説明すると「受験英語」とレッテルを張ってバカにする人たちがいます。「一部の」英語が超得意な人たちから、希に非難を受けることがあります。

「そんなの生きた英語じゃない!」
「ネイティブの赤ん坊は英文法を教わらなくても、英語が自然に話せるようになるのだから、英文法なんていらない。」

なんてね。全くその通りです。ごもっともでございます。

英語が大好きな人は

「英語はやっぱり、めっちゃ聞いて、めっちゃ話せば、できるようになる!!」

という言います。きっと、そうなんでしょう。

英語を「経験する量」を圧倒的に増やせば、英語の「肌感覚」や「センス」が自然に身に着き、英語をマスターできる。そういう道をこそが英語をマスターする最善の方法だという主張です。もちろん、それができれば良いと塾長も思います。実際、現地に住んでしまえば、誰だって英語を話せるようになるのですから。

ただし、それが「できれば」の話しです。

考えてみてください。部活と両立し、5教科以上も勉強する必要があるのです。そんな中で、英語だけを勉強するわけにはいきません。英語の勉強に割けるのは、せいぜい1日平均45分くらいでしょう。

しかも日本語と英語は、あまりにも違います。

限られた時間の中で、日本語とあまりにも違う英語を、ちゃんと理解して、しかもテストで点数を取らなければならない現実があります。

そのためには、ある程度の公式が必要だと塾長は思うわけです。

それが英文法です。文法を馬鹿にしちゃいけません。

中学1年生の文法を、しっかり奥底まで理解する事が、その後の英語人生を豊かにすると言っても過言ではありません。

あとがき

塾長は中学生の時、英語がめっちゃ苦手でした。中1からダメでした。中1で習うはずの「be動詞の文と一般動詞の文はルールが別!」ということすら、中3の夏休みになって、ようやく知ったのです。

このことを生徒や保護者の皆さんにお話しすると、誰も信じてくれません。私は私で、それがお世辞だと勝手に信じることにしていますが。

しかし本当です。図書館の自習室で

「へぇ、be動詞と一般動詞って、分けないといけないんだぁ!」

と声も出さずに感動し、同時に焦ったのを覚えています。

「こんな簡単な法則、な、なんで中学の先生は誰も教えてくれないんだよ!」

なんて思っていましたっけ。高校受験の時は、独学の限界を知りましたよ。

塾長が中学生の時は、学校の先生が文法を体系的に説明してくれることなんて、まず無かったです。意味も分からず音読し、カセットテープをキュルキュルと巻き戻しては、同じ例文を何度も聞かされました。次に、先生が生徒を順番に当てて、定型文の単語を適当に入れ替えた文を言わされました。ただ、それだけでした。日本中の英語の先生たちが、英語の指導法を分からなかったのだと思います。

ただ、塾に行っている人たちだけが、英文法という秘密を知っていました。

今は教科書が良くなって、文法の説明も少しは書いてあります。そして学校の先生が普通に文法を説明してくれるそうです。みんな幸せですね。

それでも困ったら、塾長のところに来てください。

 


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【勉強法】うわさは本当だった。学年上位の勉強のやり方!

勉強が好調な女の子のイラスト

塾長です。

ブログ、何を書こうかなー。撮りためた動画とか書きかけの記事とか、ストックは色々あります。それでも昨日の生徒たちの顔を思い浮かべると、何から書こうか迷うんです。それが今回たまたま、塾の大先輩にあたる國立先生のブログを拝見したら、私の思ってたことが絵になっているではありませんか。流石です。ということで、今日はもう、これを紹介します!

出典: さくら個別指導学院 國立先生のブログ 「さくら個別ができるまで」

学年順位1ケタだった10人のテスト勉強の平均値を紹介!

学年10番以内の中学生からヒアリングした、データにもとづいた「正しい勉強法」の示唆。國立先生のブログと言えば、このように受験情報や勉強法をデータに基づいて紹介されていることでも有名。流石ですね!

できる生徒は無理をしない「コツコツ型」

下の数字をご覧ください。意外です。
学年10番以内と言われると、毎日ガリ勉している印象かもしれませんが、思ったほど勉強時間は多くありません。むしろ中学お受験生の方が勉強しています。

  • テスト週間中の平日勉強時間 3.4時間
  • テスト週間中の土日勉強時間 7.8時間
  • 普段の平日勉強時間 1.5時間
  • 普段の土日勉強時間 2.45時間

※詳細は出典元をご参照ください

直前に焦って10時間とかやっても遅いんですね。「普段からコツコツやっている人には勝てない」ということが、あらためて浮き彫りになりました。

勉強と部活の両立も可能だった

よく「部活と勉強の両立」といわれますが、このくらいの勉強時間なら、十分に両立が可能でしょう。逆に、このくらいの勉強時間すら確保できないような、練習時間の長い部活は、度が過ぎていると言えるでしょう。
実際、昨年度から多くの中学校で、部活動の活動時間を「準備や片付けを含めて3時間以内」に自主規制する動きが広がってきました。制限がある中で練習効率を上げるために知恵を絞る。これこそ「プログラミング的思考」なのですが、部活もプログラミング的思考で「ダラダラにサヨナラ」ですね!

「勉強時間」の意味にも注意しよう!

勉強時間を考える時に、やはり「集中力」も大切です。集中していない時間を勉強時間に数えるわけにはいかないのですが・・・実は、数えてしまう子がたくさんいます。
学年上位者にとって「勉強」だと思う時間は、おそらく「集中して乗っている状態」だけを思い浮かべています。
成績の低い子は、気が散っていても机に座っていれば「勉強」したと思ってしまうので、同じ「勉強時間」でも濃度が違います。

同じ時間だけ机に向かっていても、成績の良い子は、頭の中で考えていることが全くちがいます。

これについては、先週の私のブログで書いております。そちらもご覧ください。

塾長ブログ 2019/12/6
逆です。お友達と一緒に勉強するから成績が上がらない!

集中力がある、という意味を「授業中にノートをとる」ことを例に具体的に説明してあります。

できる生徒は学校のワークを先出しする「未来予知型」

下の数字をご覧ください。勉強のできる子とできない子の決定的な違いだと思います。

  • 学校のワークの1度目を終えるタイミング 9.5日前
  • 学校のワークを何回繰り返すか 2.5回
  • 副教科を取り組み始めるタイミング 6.2日前

※詳細は出典元をご参照ください

学校からテスト範囲表が配られた時点で、学校の課題類は2周目に入っているのです。2~3回繰り返して完璧にしようと思ったら、逆算して、テスト10日前には2周目を開始する必要があります。そのような「未来から逆算して行動する習慣」が身に着いているのです。

さらに、副教科も1夜漬けではありません。1週間前から悠々と開始しています。これが内申42を超えて来る世界です。

もちろん私の指導経験でも、同じような感覚です。植田学区は比較的レベルが高いと言われて来ましたが、この数字を見る限り、正しい勉強法は学区に関係ないことが分かります。勉強に王道なし、正しいものは正しい、ということですね。

ということは、もう次のテスト勉強が始まっている!?

ちょうど昨日、中学3年生に学年末テストの対策案内を配布しました。ついでに愛知全県模試の過去問も配りました。未来志向で行動するには、早め早めの行動に越したことはありません。早く終われば2周目、3周目ができますし、弱点補強もできます。

中学1、2年生の学年末テストは、2月ですが、同様に早く着手しましょう。ちょうど個票が返って来て、学校の懇談会も終わって、テストの振り返りをしたところですよね。ここで勉強しなければ、せっかくの振り返りが水の泡です。

もう次のテスト範囲を勉強し始めていなければいけませんね。

テスト範囲?

そんなの、前回のテスト範囲の次のページからに決まってます!

少なくとも今、学校で進んでいるところまでは、学校のワークの1周目を終わらせましょう。もう始まっています。

まとめ

まずは基本から、という意味で、簡単にまとめます。

  • 部活のある平日は、超集中して毎日1.5時間くらい勉強する
  • 部活のない平日は、超集中して毎日3.5時間くらい勉強する
  • テスト10日前には、学校のワーク1周目を終わらせる
  • 学校のワークは3周くらいする
  • 今日からテスト対策をはじめる

あとがき

今回は國立先生のブログから正しい勉強法について紹介しました。中学生のデータだと思いますが、高校生の定期テスト対策も同様だと思います。さすがに高校生が毎日1.5時間は少ないと思いますが、方向性は同じです。

上で紹介した國立先生のブログ記事には、ピクトグラムでアイコン化した「勉強法」と「ダメダメ勉強法」の表示がありまして、これがまた秀逸です。國立先生にお願いして、うちの教室にも張らせていただこうかしら。

 


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逆です。お友達と一緒に勉強するから成績が上がらない!

塾長です。

今回は勉強法の盲点をとらえてお伝えします。そのお題と塾長の結論は、ズバリこれです!

  • お題: 友達と一緒に勉強した方が良いのか、悪いのか?
  • 結論: 友達に合わせて勉強する人は成績が伸びません!

その理由を動画にしました。

※ 誤解を招かないために「勉強法の議論の他は一切含まない」ことを先にお断りしておきます。

【勉強法】友達の勉強法は参考にならない。たいていは間違っている。

周りに合わせてばかり。それじゃぁ成績どころじゃない。

× 友達がテスト勉強を始めたから、オレもはじめる。
× 友達が公立高校を受験するから、僕も受験する。
× 顧問の先生が「他のみんなは続けるよ」と言ったから、部活を引退せずに続ける。
× 友達が講習を受講するから、私も受講する。
× 友達が一緒に走ろうと言ったから、一緒に走った。(でも、途中で置いていかれた)
× 友達が「やる気がしない」と言ったから、今日は一緒に遊んだ。(でも、いちいち発言が後ろ向きすぎて、途中からウザくなった)

あれ、俺、何やってるんだろう・・・
あれ、私、何がしたいんだろう・・・

立ち止まって、自分はどうしたいのか、どうすべきなのか。
ちゃんと冷静に、じっくりと考えてみましょう。

勉強は人それぞれ。
目標も志望校も、頑張りたい度合いも、みな違います。
もちろん得意や不得意も。
たとえ目標点がはっきりしていないとしても、何点くらい取りたいか、くらいはあるはず。

それならば当然、やることも、努力の量も、いつから始めるのかも、すべて違ってきます。
自分の考えとお友達の考え、先生の経験と自分の現状、これらは全て別のことですよ。

自分はどうしたいのか、すべきなのか。

まずは「自分のため」に考えてみましょう。
自分のことが分かっていなければ、人のことを参考にすることは出来ません。

ただ合わせているだけ、というのは勉強にとって最悪の状態です。

自分の目標を達成している人を真似する

「学ぶ」は古語の「真似ぶ」が語源だとかなんとか。とにかく、勉強は、できている人の真似をするのが基本です。

自分が目指していることをすでに達成している人、自分より優れている人。
そういう人たちの真似をすることから始めましょう。

もしもその人とは、あまり仲の良くなかったとしても、話を聞くくらいはできるでしょう。勇気を出して声をかけてみてください。

「僕も君みたいに数学ができるようになりたい。いつもどうやって勉強しているの?」

聴いてみてください。

きっと、いろいろな事が、自分とは違っているはずです。

科目が好きか嫌いか、使っている参考書、授業態度、教科書の読み方、問題集の使い方、記憶の正確さ・・・
目標が高ければ高いほど、その違いは多くなります。
発見が多くなるはずです。

自分との違いが分かったら、真似できることを真似しましょう。

勉強を頑張ろう!

と思ったら、仲の良いお友達に合わせるのではなく、「目標の上にいる人の真似をする」のです。

仲の良い友達は、仲の良いまま、ずっと付き合えばよいのです。
それまえ仲良くしてきた友達と、勉強時間に一緒にいる人達が違ったとしても、悪いことではありません。
プライベート時間は家族といるように、勉強時間は勉強仲間といるのが普通です。

部活の友達、趣味の友達、勉強の友達、いろいろな友達がいてOKです。

そして勉強の目標が変わったら、一緒に勉強する友達も変わります。むしろそうやって、どんどん友達が増えることもあります。

参考にできる人が少ないから上位は難しい

例えば、40人のクラスの中で、定期テストで1番を目指すとしましょう。

すると、今クラスで1番の人の勉強の仕方が、もっとも参考になるわけです。
逆に、自分を含めて残り39人の勉強法は、それより劣っていて、あまり参考になりません。

受験生なら、志望校の合格水準に達しているか、それ以上の人しか参考になりません。

天白高校から名古屋大学を目指すなら、360人中358人が参考にならない。

もっと具体的な話をしましょう。

うちの教室から最寄りの進学校と言えば天白高校です。

1学年360名のマンモス校ですが、ここから名古屋大学に現役で合格できるのは、年に2~3名くらいです。
仮に文系と理系で、それぞれから1人ずつ合格するとしましょう。

すると、どうなるでしょうか?

天白高校から名古屋大学に合格したければ、模擬試験で学年トップでいること。

注意すべき点は「模擬試験」での順位です。
「定期試験」で学年トップというのは、難関大学を受験する上で、それほど大きな価値がありません。
むしろ定期試験で消耗しないために、定期試験は学年10位くらいまで落とすべきです。

つまり、同級生のだれも参考にならない、と言うことです。
周りのみんなが使っている参考書、休憩時間の雰囲気、勉強に対する価値観、集中力を持続できる勉強時間など何もかもが違います。

真似したい人がいない!?

同様に、天白高校から国公立大学に合格しようと思ったら、模擬試験で上位1クラスにいる必要があります。
参考になるのは上位10%のみ。
90%の同級生たちは、自分の目標には合わない勉強をしている、と見る必要があるのです。

大雑把に言ってしまえば、天白高校から国公立大学に進学したい場合、
周囲の友達に合わせて勉強している時点で、90%の確率で不合格、となるわけです。

ひたすら孤独な受験勉強になるわけです。

「上位の勉強法を知っている人間に会いに」塾や予備校に行くわけです。
塾の先生やアルバイトの講師たち。
あるいは自分よりも上位にいる他校の生徒たち。

たいていの人は、塾や予備校に「勉強を教わりに」行くと思います。
一方で、難関校を目指す生徒たちは、真似する相手を探しに行くのです。

勉強の中身も見よう!

自分よりも上の目標を達成している、ということは、同じ時間を過ごしても、自分よりも中身の濃い時間を過ごしているに違いありません。

例えば、学校の授業中は、ほとんどの生徒たちが真面目にノートをとっていると思います。外見上は、みな同じようにノートをとっています。しかし、頭の中で起こっていることは、全く別なのです。

例えば、授業のノートをとりながら「頭の中」で考えていることが違う

<自分の現状>

  • 先生の話しを聴くよりも、黒板をノートに書き写す作業に専念
  • その場では頭に入っていない
  • 黒板以上の情報はノートに残らない

<自分より成績上位者の状態>

  • 先生の話しを真剣に聴き、頭の整理として黒板を見る
  • その場で、覚える、解釈する、反復する、忘れないように念じる
  • 気づいたことや注意点など、黒板以上の情報もノートに残る

授業中に頭に入れるなんて、無理だ!

何もしない内から、そのように決めつけて行動しない人もいるかもしれません。しかし、それでは人の真似をすることはできません。

ちなみに、これまでグンと成績を伸ばすことに成功してきた生徒たちは、みな1年くらいでできるようになっています。

それから、人の話を正確に聞き取れることは、社会人になったら当たり前にできる必要があります。むしろ学生のうちに、そのような訓練をしておかないと大変ですよ。

できると思って毎日続けていれば、できるようになります。

結論

× 友達がやっているからやる、友達がやっていないからやらない

◎ 目標を達成している人の良い習慣、考え方、頭の使い方を真似する

 

注意事項!

人間は勉強だけでは測れません。だから友達は色々です。みんないいヤツです。そんなの当然。
ここでは「勉強」という分野において「成績を伸ばす」という目的を果たす話し「だけ」をしています。
その限られた目的を果たすために、限られた時間、限られた資源、限られた体力をどういう風に配分するのか。そういうお話です。
人の存在意義とか、人権とか、道徳とか、友情とか、勉強以外の議論は一切混ぜないように、お願いします!

それでは逆に、なぜ、勉強以外の話しを混ぜてはいけないのか?

勉強しようとした時に、勉強以外のことも同時に、全てごちゃまぜでは、何の行動もできません。
全てを同時に考えたら、難しすぎて、何も言えないし、何もできなくなってしまうのです。
だからこそ、難しい話を切り離して、今、自分ができる勉強ことだけを切り取ってきて、そこに集中して、勉強という限られた成果からだけを、まずは出すのです。

それこそが、勉強の基本です。

ちなみに、何かをしようとすれば、必ず制約が付くものです。
人間は神ではありませんし、1日は24時間しかありません。
勉強に集中する時は、他のことについて多少の我慢や妥協をしましょう。

それも成長するのに必要な事だと塾長は思います。

 


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