塾長です。
愛知県の公立高校受験。A日程が面接まで終わりました。そして明日からＢ日程。本日が学科試験に向けた最後の対策です。
中学２年生のキミたち。もう受験が始まっています。ぜひ今のうちに入試問題を見ておいて欲しいと思います。
中２までに習った範囲で、もう半分近く解けるはずなんだよ！
そこで、A日程の数学について、フル解説を作りました。考え方や発想法、何年生で解けるようになるかなど、できるだけ詳しく書きました。
ちょっとチャレンジしてみてね。
【１】次の(1)～(10)までの問に答えなさい。
(1)【中１】 を計算しなさい。
(2)【中２】 を計算しなさい。
(3)【中３】 を計算しなさい。
(4)【中３】 を計算しなさい。
(5)【中３】 連続する３つの自然数を、それぞれ２乗して足すと であった。もとの３つの自然数のうち、もっとも小さい数を求めさい。
＜解法１＞
計算を楽にするため３つの自然数の真ん中をとおく。
すると３つの自然数はとおける。
題意より方程式を立てて解けば、
よって、もっとも小さい数はに代入して
である。
＜解法２＞
素直に、問われている「もっとも小さい数」をとおいた場合は次のようになる。
今回はこちらでも計算は難しくなかった。
(6)【中１】 次のア～エの中からが の一次関数であるものをすべて選んで、そのかな符号を書きなさい。
ア １辺の長さがである立方体の体積
イ 面積がである長方形のたての長さと横の長さ
ウ 半径がである円の週の長さ
エ の食塩水に含まれる食塩の量
それぞれをの式で表すと
ア
イ より（反比例）
ウ （比例）
エ （比例）
である。
よって、一次関数の式またはに当てはまるものは、
ウとエ
である。
(7)【中２】 ５本のうち、あたりが２本はいっているくじがある。このくじをＡさんが１本ひき、くじをもどさずにＢさんが１本くじをひくとき、少なくとも１人はあたりをひく確率を求めなさい。
キーワード「少なくとも～」が出てきたら［１―逆の確率］が使えることが多いのだった。
そこで、
［少なくとも１人はあたりをひく］
の逆は
［１人もあたらない］＝［２人とも外れる］
であることを考えて、
［少なくとも１人はあたりを引く確率］ ＝ １―［２人とも外れる確率］
を求めればよい。
そこで、まず
［２人とも外れる確率］
から求める。これは、
［１人目が５本のうちのハズレ３本のどれかをひき］なおかつ［２人目が残り４本のうちのハズレ２本のどちらかをひく］とき
の確率である。１人目がハズレを１本引いているので、２人目に残されたハズレは３－１＝２本で、総数も５－１＝４本になるからである（※）。
これを計算すると、
よって求める確率は、
（※）もちろん樹形図を描けば明白です。
全部で２０通りのうち、［２人とも外れる確率］は６通りだから、
［２人とも外れる確率］＝
(8)【中１】 がに反比例し、のときである関数のグラフ上の点で、 座標と座標がともに正の整数となる点は何個あるか、求めなさい。
反比例 の式より だから
よって、
を満たす正の整数との組が何個あるかを考えれば良い。
１２の約数で考えれば、 と順番に考えれば、
であるから６個。
(9)【中２】 ２直線 の交点の座標を求めなさい。
２つの式を連立方程式で解く。代入法により、
これをに代入して（ に代入しても、どちらでも良い）
よって答えは
(10)【中３】 図で、Ａ，Ｂ，Ｃは円Ｏの周上の点である。円Ｏの半径が、∠BACのとき、線分ＢＣの長さは何か、求めなさい。
＜解法１＞
「Ａが円周上」→「円周角の定理を使う」と着想する。
さらに、
「半径が」→「半径または直径を使ってBCを求める」と着想する。
さらにここから「直径に対する円周角は 」という性質も連想する。
以上の発想から次のように⊿A’BCを作図する。
円周角の定理より、∠BAC=∠BA’C= かつ ∠BCA’＝ である。
よって三平方の定理からとわかる。
これは三角定規でお馴染みのの直角三角形だから、辺の比は既知である。
よって、
より
＜解法２＞
「Ａが円周上」→「円周角の定理を使う」→「中心角」を連想する。
そこでＯからＢ、Ｃに半径を引く。
円周角の定理「中心角＝円周角×２」から、
∠ＢＯＣ＝
さらにＯＢ＝ＯＣから二等辺三角形の性質「底角が等しい」をつかって、
∠ＯＢＣ＝∠ＯＣＢ＝
よっては正三角形となるので、
OB＝OC＝BC
つまり、
【２】次の(1)～(3)までの問に答えなさい。
(1)【中３】 図で、Oは減点、A，Bは関数 のグラフ上の点で、点Aの座標を正、座標は９、点Ｂの座標は―４である。また、Cは軸上の点で、直線ＣＡは軸とへいこうである。
点Ｃを通り、四角形ＣＢＯＡの面積を二等分する直線の式を求めなさい。
まず題意より各点の座標を求めて書き込むと次のようになる。
ここで題意の「点Ｃを通り、四角形ＣＢＯＡの面積を二等分する直線」が辺OBを通るのか、辺OAを通るのかを知る必要がある。
そこで⊿OCBと⊿OACの面積を求めて比較すれば、大きい面積の方を通ると分かる。どちらもOCを底辺と考えれば、
よって、求める直線は⊿OACを通るため、辺OAと交わる。
その交点をEとし、その座標をとしておく。
直線OAの式は、原点を通り、傾き＝である比例の式だから、
である。
よって交点Eの座標はである。
これを図示すれば、次のようになる。
直線CEは四角形ＣＢＯＡの面積を二等分するから、次の等式となる。
ここで
だから、
これを解いて、
よって点Ｅは、である。
最後に、直線ＣＥの式 のを求める。
切片は９である。
での変化の割合は、教科書にある定義どおりに式を立てると、
という複雑な式になるが、分母は１なので分子だけ計算すればよい。
以上から、
―――【参考】―――
もしも
となってしまったら？
分数の中に分数が出てきたら困ってしまいますね。そういうときは
を思い出しましょう。
と考えれば、
とすればよいです。つまり
「分母の分数を逆数にしてかける」
と考えればよいです。
(2)【中１】 次の文章は、体育の授業でサッカーのペナルティキックの練習を行ったときの、１人の生徒がシュートを入れた本数とそれぞれの人数について述べたものである。
文章中の【Ａ】にあてはまる式を書きなさい。また、【a】、【b】、【c】にあてはまる自然数をそれぞれ書きなさい。
なお、３か所の【Ａ】には、同じ式があてはまる。
この問題文の日本語には少し難があるが、シュートに１回成功した人が１人、２回成功した人が２人・・・５回成功した２人・・・などと調査したという意味である。
つまりシュートに成功した回数について、何人が成功したかを度数とする度数分布表になっている。
まず【Ａ】について考える。
題意より「シュートすべての合計＝１２０」という式を立てればよい。よって
ここでであるから、この式を見ながらと代入していけば、との組合わせは、
である。よって
【a】は「５」組となる。
しかし、題意の「最頻値は６本」を満たすためには、
かつ
でなければならない。これを満たす組合わせは、
だけである。よって
【b】は「２」
【c】は「５」
(3)【中２】 図のような池の周りに１周 の道がある。
Aさんは、S地点からスタートし、矢印の向きに道を５周走った。１周目、２周目は続けて毎分で走り、S地点で止まって３分間休んだ。休んだ後すぐに、３周目、４周目、５周目は続けてで走り、S地点で走り終わった。
Bさんは、AさんがS地点からスタートして９分後に、S地点からスタートし、矢印の向きに道を自転車で１周目から５周目まで続けて一定の速さで走り、Aさんが走り終わる１分前に道を５周走り終わった。
このとき、次の①、②の問いに答えなさい。
① Aさんがスタートしてから分間に走った道のりをとする。ＡさんがスタートしてからＳ地点で走り終わるまでのとの関係を、グラフに表しなさい。
まずＡさんが行った順に、時間の経過を計算する。
１周目と２周目は、それぞれ分であり、２周の合計は４分間。つまり最初の０分～４分の間はこのペース。
次に３分の休憩を取ったので、４～７分は距離が変わっていない。
その後３周目から５周目までは、それぞれ分であり、３周の合計は９分間。つまり７分～１６分の間はこのペース。
以上の時間の流れを図に色分けして書きこむと次のようになる。
そして１周と決まっているので、マークからマークの間は必ずはずつ増えていく。
ただし休憩の間はが変わらず、水平線になる。
これらに注意して、次のように印をつけることができる。
最後に、これらの点を線で結べばグラフが完成する。
② ＢさんがＡさんを追い抜いたのは何回か、答えなさい。
Bさんが走り始めた９分目のとき、Aさんは残り３周あった（２周しか完走していなかった）。
２人が一緒に走っていた時間帯は、９分目～１５分目までである。
Bさんの方が早く完走したので、Bさんは、Aさんが残り３周を走る様子をすべて目撃できたことになる。
よって追い抜いた回数は３回と分かる。
直感的にはこれで解答できるが、もう少しグラフで考える。
上のグラフは軸が「走った合計」の距離になっているので分かりにくい。
Aさん、Bさんのそれぞれが「何分後に何周目の何メートル地点を走っているのか」を分かりやすく表示するためには、１周を走るごとに、距離（）を０メートに戻すようなグラフを描くべきである。具体的には次のようになる。
黒い線がAさんが走った様子であり、赤い線がBさんが走った様子である。黄緑の点が交点、つまり追い抜いた点である。
よってBさんはAさんを３回追い抜いた。
【３】次の(1)～(3)までの問に答えなさい。
ただし、答えは根号をつけたままでよい。
(1)【中２】 図で、Ｄはの辺ＡＢ上の点で、ＤＢ＝ＤＣであり、Ｅは辺ＢＣ上の点、Ｆは線分ＡＥとＤＣとの交点である。
∠DBE=、∠DAF=のとき、∠EFCの大きさは何度か、求めなさい。
ＤＢ＝ＤＣより二等辺三角形の性質により、∠DBC＝∠BCD＝。
また外角の公式から、∠ADC＝∠DBC＋∠BCD＝。
よって、∠EFC＝
(2)【中３】 図で、四角形ABCDは、AD//BC、∠ADC＝の台形である。Eは辺DC上の点で、であり、Fは線分ACとEBとの交点である。
、のとき、次の①、②の問に答えなさい。
①【中３】 線分EBの長さは何か、求めなさい。
題意から分かる長さや角度を書き込むと下図のようにいなる。
三平方の定理から
よって
②【中３】 の面積は何か、求めなさい。
で計算する方針でいこう。
するとの面積を求める必要があるので、それを出しておく。そのために∽ を示す。
まず、
よって、∠EBC＝∠ACD
とについて、
∠EBC＝∠ACD
また共通の角だから、
∠CEF＝∠BEC
２角が等しいので、
∽
相似比から、
よって、
よって、
以上から、
よって、
(3)【中１・中３】 図で、Dはの辺BC上の点で、、AD⊥BCであり、Eは線分AD上の点である。
の面積がの面積の倍であるとき、次の①、②の問に答えなさい。
①【中１】 線分AEの長さは線分ADの長さの何倍か、求めなさい。
より、はの倍である。
よって、線分AEの長さは線分ADの長さの倍だとすると、
よって、
であるから、これを解いて
倍
②【中３】 を、線分ADを回転の軸として１回転させてできる立体の体積は、を、線分ADを回転の軸として１回転させてできる立体の体積の何倍か、求めなさい。
まず回転してできる円錐の底面の半径は倍であるから、底面積は倍である。
そして高さは倍であるから、合わせて、
これを計算して
倍
あとがき
毎年の難易度に比べれば、全体的には標準的な内容でした。
高得点を狙う受験生にとっては、つぎの問題が合格点の分かれ目になったかもしれません。
大問１－(2)の問題は、作業ミスを誘発しやすかったかもしれません。多くの人が「ｘを代入してｙを求める」手順に慣れていると思います。しかし【a】では逆に「ｙからｘを求める」手順に逆転していました。人によっては情報を整理する過程で、ｘとｙを逆に書くという作業ミスを誘発しやすい問題でした。【b】は「最頻値」からｘやｙの変域や大小関係を思いつけたか否かがポイントになったことでしょう。
大問２―(3)―②の問題は「１回」と誤答した人が多かったかもしれません。単純にBさんのグラフを書き込むと交点が１つしか見つけられなかったので違和感を覚えて困った人も多かったのではないでしょうか。
大問３―(2)―②の問題は、直感的に方針が立ちにくいです。大局的に計算の方針を定めて、逆算して細かな計算を行うという「作業の段取り」を意識することが大切でした。
大問３―(3)―②の問題は、立体の「高さ」の本質を理解していなければ、①の答えが②で「高さの倍率」として使えることを思いつけなかったかもしれません。小学生で三角形の面積が高さに比例することを色々とやりましたが、その感覚があれば思いついたのかもしれませんね。
余談ですが、
大問２―(2)の問題は、日本語がおかしいです。ちょっと出題ミスにギリギリ近い日本語の崩壊。すぐに度数分布だと分かった人は良いですが、読解力のある人ほど混乱したかもしれません。コロナ禍で出題の方針が急変更され、問題作成の現場はとても混乱していた様子がうかがえます。
解説に登場したグラフや図、数式の表示について
図やグラフについて
前半の円や二次関数のグラフはプログラミングで作成しました。
後半の図は公開されている問題をスキャンした画像と、それを２次加工した画像です。
数式について
数式はパソコンで入力するのが難しいですよね。
このブログでは（「テフ」と読みます）という、数式専用の言語を使って数式を書いています。だから数式がキレイに表示できます。
これもプログラミングみたいなものです。
は理系の大学生がレポートや論文を書くときに便利です。
理系の大学生は知っておくと便利です。
高校生でもバカロレアDPコースの生徒たちなど、レポート提出の多い人には便利だと思いますよ。
興味のある方は調べてみてください。
図やグラフはプログラミングで作成
大問１(10)および大問２(1)のグラフや図を作るのにつかったプログラムは以下です。
プログラミング言語はPython（パイソン）です。
残念ながら中学生では理解するのがとても難しいです。高校の数学を使います。
なお、パイソンのプログラミングは、プログラミング教室「マイクラミング」の「プロコース」で開講しています。
小学生から大学生まで受講しています。興味のある人は、お問い合わせくださいませ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
import random as rd
import time as tm
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import math
def initGraph(title="graph", xLabel="x", xMin=-1.0, xMax=1.0, yLabel="y", yMin=-1.0, yMax=1.0, N=100):
fig = plt.figure(figsize=(5,5), dpi=N)
axs = fig.add_subplot(1, 1, 1)
plt.title(title)
plt.xlabel(xLabel)
plt.ylabel(yLabel)
plt.xlim(xMin, xMax)
plt.ylim(yMin, yMax)
plt.gca().spines['right'].set_visible(False)
plt.gca().spines['top'].set_visible(False)
# plt.xticks(fontsize=20)
# plt.yticks(fontsize=20)
axs.set_aspect(1)
return axs
def addDot(axs, x, y, text=True, arg="", c="black", fs=5):
axs.plot(x, y, '.', markersize=10, c=c)
if text:
if arg != "":
plt.text(x, y ,arg, fontsize=fs)
else:
plt.text(x,y," ({}, {})".format(x,y), fontsize=fs)
def addDots(axs, x, y, args="", line=True, fs=5):
c=0
xs = []
ys = []
for t in x:
xs.append(x[c])
ys.append(y[c])
if args!="":
addDot(axs, x[c], y[c], text=True, arg=args[c], fs=fs)
else:
addDot(axs, x[c], y[c], text=False)
c+=1
if line:
xs.append(xs[0])
ys.append(ys[0])
axs.plot(xs, ys, linewidth=1)
def addLines(axs, x, y, c="black", tx=0.0, ty=0.0, text="", fs=5):
axs.plot(x, y, linewidth=1, c=c)
if text!="":
plt.text(tx,ty,text, fontsize=fs)
def addCircle(axs, x=0.0, y=0.0, r=1.0, s=0, e=2*np.pi, c="black"):
theta = np.linspace(s, e, 100)
xs = x + r*np.cos(theta)
ys = y + r*np.sin(theta)
axs.plot(xs, ys, linewidth=1, c=c)
def addDotsOnCircle(axs, r, thetas, args, line=True, fs=5):
c=0
xs = []
ys = []
for t in thetas:
x=r*math.cos(t)
y=r*math.sin(t)
xs.append(x)
ys.append(y)
addDot(axs, x, y, text=True, arg=args[c], fs=fs)
c+=1
if line:
xs.append(xs[0])
ys.append(ys[0])
axs.plot(xs, ys, linewidth=1)
def showGraph(arrows=True, grid=True):
if arrows:
#ｘ軸
plt.axhline(0, linewidth=1, color="black")
#ｙ軸
plt.axvline(0, linewidth=1, color="black")
if grid:
#方眼線（グリッド線）
plt.grid(True)
plt.show()
def Toi1_10():
A_theta = 4*math.pi/7
B_theta = 4*math.pi/3
C_theta = 5*math.pi/3
AD_theta = math.pi/3
Radis = 6.0
axs=initGraph(xMin=-7.0, xMax=7.0, yMin=-7.0, yMax=7.0)
addDot(axs,0.0,0.0,True,"O", fs=20)
addCircle(axs, r=Radis, c="gray")
addDotsOnCircle(axs, r=Radis, thetas=[A_theta, B_theta, C_theta], args=['A','B','C'], fs=20)
addCircle(axs, x=Radis*math.cos(A_theta), y=Radis*math.sin(A_theta), r=1.5, s=((A_theta+B_theta+math.pi)/2), e=((A_theta+C_theta+math.pi)/2), c="gray")
plt.text(-1.5, 3.0, r"$30^{\circ}$", fontsize=12)
# addDotsOnCircle(axs, r=6.0, thetas=[AD_theta, B_theta, C_theta], args=['A\'','B','C'], fs=20)
addDots(axs, x=[0.0, Radis*math.cos(B_theta), Radis*math.cos(C_theta), 0.0], y=[0.0, Radis*math.sin(B_theta), Radis*math.sin(C_theta), 0.0], line=True)
showGraph(arrows=False, grid=False)
def Toi2_1():
axs=initGraph(xMin=-7.0, xMax=7.5, yMin=-1.0, yMax=12.0)
plt.text(6.3,-0.9,"X", fontsize=20)
plt.text(-0.9,11.0,"Y", fontsize=20)
# addDots(axs, x=[0.0, 6.0, 0.0, -4.0], y=[0.0, 9.0, 9.0, 4.0], args=['O','A','C','B'], line=True, fs=20)
addDots(axs, x=[0.0, 6.0, 0.0, -4.0], y=[0.0, 9.0, 9.0, 4.0], args=['O','A(6,9)','C(0,9)','B(-4,4)'], line=True, fs=20)
x = np.arange(-7.0, 7.0, 0.01)
y = x*x/4
addLines(axs,x,y,"gray", -6.0, 9.0, r"$y=\frac{1}{4}x^{2}$", fs=20)
addDot(axs, 1.0, 1.5, text=True, arg=r"$E(t,\frac{3}{2}t)$", c="red", fs=20)
addLines(axs,x=[0.0,1.0],y=[9.0,1.5],c="red", fs=20)
showGraph(arrows=True, grid=False)
if __name__ == "__main__":
Toi1_10()
# Toi2_1()
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
※プログラムで難しいところ
三角関数（）や極座標を使っていますので、高校の数学です。円Ｏ上の点Ａ，Ｂ，Ｃの座標を、円の半径 Radisと、ｘ軸とＯＡ、ＯＢ、ＯＣのなす角、A_theta、B_theta、C_theta を使って求めています。その計算に三角関数を使います。
また∠BACを図示するために、円周上の点Ａを中心に弧を描いています。点Aから見た、ｘ軸方向とAB、ACのなす角を、A_theta、B_theta、C_theta を使って求める必要があります。この計算をするために、プログラミングする前に紙面上で幾何学の問題を解く必要がありました。
進学実績
卒塾生（進路が確定するまで在籍していた生徒）が入学した学校の一覧です。
ちなみに合格実績だけであれば更に多岐・多数にわたりますが、当塾の理念に反するので生徒が入学しなかった学校名は公開しておりません。
国公立大学
名古屋大学、千葉大学、滋賀大学、愛知県立大学、鹿児島大学
私立大学
中央大学、南山大学、名城大学、中京大学、中部大学、愛知淑徳大学、椙山女学園大学、愛知大学、愛知学院大学、愛知東邦大学、同朋大学、帝京大学、藤田保健衛生大学、日本福祉大学
公立高校
菊里高校、名東高校、昭和高校、松陰高校、天白高校、名古屋西高校、熱田高校、緑高校、日進西高校、豊明高校、東郷高校、山田高校、鳴海高校、三好高校、惟信高校、日進高校、守山高校、愛知総合工科高校、愛知商業高校、名古屋商業高校、若宮商業高校、名古屋市工芸高校、桜台高校、名南工業高校
私立高校
中京大中京高校、愛工大名電高校、星城高校、東邦高校、桜花学園高校、東海学園高校、名経高蔵高校、栄徳高校、名古屋女子高校、中部第一高校、名古屋大谷高校、至学館高校、聖カピタニオ高校、享栄高校、菊華高校、黎明高校、愛知みずほ高校、豊田大谷高校、杜若高校、大同高校、愛産大工業高校、愛知工業高校、名古屋工業高校、黎明高校、岡崎城西高校、大垣日大高校
（番外編）学年１位または成績優秀者を輩出した高校
天白高校、日進西高校、愛工大名電高校、名古屋大谷高校
※ 成績優秀者・・・成績が学年トップクラスで、なおかつ卒業生代表などに選ばれた生徒
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――――――――――――――――――――――
個別指導ヒーローズ 植田一本松校
〒４６８－０００９
名古屋市天白区元植田１－２０２ 金光ビル２Ｆ
ＴＥＬ：０５２－８９３－９７５９
教室の様子（360度カメラ） http://urx.blue/HCgL
