教育

塾長です。

受験生のみなさん、受験勉強お疲れさまでした。

さて、卒業も受験も終え、きっと今は時間を持て余していることでしょう。
教室では早くも高校の予習を始めておりますが、プライベートではいかがでしょう？

新型コロナの蔓延防止や花粉症で外出を控えているのであれば、読書やコンピューターがおすすめですよ。
ネットをやるなら、情報リテラシーを意識しましょう。

そこで今回は、情報リテラシーとプログラミングの関係について、１つの例を書いてみましょう。

情報リテラシーと数学の関係

最近、ちょっと話題になった有名な話があります。
次のニュースを見たとき、あなたならワクチンの効果をどう評価しますか？

問１：効果なし？

ウィルスに新規感染した人の約６割がワクチンを２回接種していたことが判明。

この調査から、ワクチンの効果が無いと判断するのは正しいでしょうか？

ソース：「オミクロン株感染で入院の6割は2回接種済み 国立感染研の分析で判明」Science Portal（2022/02/01）など

もう１つの事例です。こちらは、ここ数日間で話題に上ってきました。

問２：逆も言える？

東大の鳥海教授がツイッターの投稿をクラスター分析したところ、次のことが判明。
ロシアのウクライナ侵攻を正当化する主張「ウクライナ政府はネオナチ政権だ」などを拡散している人たちの８８％は、ワクチン接種に反対する投稿も拡散していた。

それでは逆に、ワクチン接種に反対する人の多くは、ロシアの主張を拡散している人だと言えるでしょうか？

ソース：「ツイッター上でウクライナ政府をネオナチ政権だと拡散しているのは誰か」YHAHOO！ニュース（2022/3/7）

このようなニュースは毎日のようにネット上に流れていますが、よく考えないと勘違いを起こしてしまいます。
もしかしたら印象操作に載せられてしまうリスクさえあります。

それでは答え合わせです。

答え

問１

ワクチンの効果はあったと言える。

この種のニュースの秘密は、ワクチンを「接種した人」と「接種していない人」の人数比にあります。
ワクチンの２回接種まで完了した人の割合は、日本の総人口の７９％を上回っています。
対象者約１億２千７００万人のうち、約１億人が２回接種済みで、残り２千７００万人がそれ未満の接種です。
ソース：「チャートで見る日本の接種状況　コロナワクチン」日本経済新聞や首相官邸の発表など）。

例えば問１のニュースの例では、オミクロン株の新規感染者１２２人が対象でした（昨年の感染者はまだ少なかったです）。
うち７７人が２回接種済みで、４０人が未接種、他は３回接種や１回接種だったそうです。
これを母数も合わせてみれば、

接種済みの感染率　７７÷１億＝０．００００７７％
未接種での感染率　４０÷２７００万＝０．０００１４８１％

両者を割れば、未接種の人の方が１．９倍も感染していることになりました。
あくまでも当時での数字でしかありませんが、少なくとも当時はワクチン接種で感染リスクが半減していたと言えます。

問２

逆は言えない。ワクチン接種に反対していることとウクライナ戦争の話はもともと関係ない。

何より上のソース記事を最後までよく読めば、ちゃんと「ワクチン接種に反対する人のわずか４％」と書かれています。
これについては後で計算してみますが、何はともあれ、よく読むことが大切ですね。
もしも書かれていない場合は、別の情報ソースなども合わせて、ちゃんと母集団の数や相対度数などを確かめる必要があります。

ちなみに、この種の問題は小学６年生の３学期「なかまに分けて」で習います。
あるいは、高校１年生の数１「集合と論理」でも習います。

いわゆる「りんごが好きな人」「みかんが好きな人」「両方とも好きな人」の問題です。

「りんごが好きな人」は４０人で、「みかんが好きな人」は８０人でした。
このとき「りんごが好きな人」の約８８％はみかんも好きでした。
さて「みかんが好きな人」はりんごも好きだと言えるでしょうか？

４０人の８８％＝３５人ですから「両方とも好きな人」が３５人です。
つまり「みかんが好きな人」の８０人のうち３５人がリンゴも好きということになり、半数未満でした。
よって、「みかんが好きな人」はりんごも好きだとは言えません。

このような話しと同じですね。
そもそも、この分析は

「特定の主張が特定の集団によって、繰り返し意図的に拡散されているのではないかないか？」

という疑いをデータ分析の観点から明らかにしようという試みでした。

このソース記事の中では、

Dクラスタは「ウクライナ政府はネオナチである」というロシアの主張を拡散しているツイート群で，228ツイートが10,907アカウントによって30,342回拡散していました．（中略）クラスタDだけ2.8と大きいようです

という分析もされています。
つまり、特定の集団が「ウクライナ政府はネオナチである」という同様のツイートを１人当たり平均２．８回も繰り返し拡散していたことになります。
これは「意図的な拡散」であったと言えるでしょう。
とても興味深いですね。

ですが、こんな素敵な調査でも、その読み方や解釈を間違えてしまったら、自分も意図せず陰謀論を担いでいる側になってしまいます。

話がそれましたが、今回は「逆は成り立たない」が正解でした。

ワクチンを接種しない自由も認められています。
ワクチンを接種するか否かという選択の話と、陰謀論でワクチンを反対している人の話は、別の話です。
両者は分けてとらえるべきでしょう。

このように情報は気を付けて読む必要がありますね。

ところで、算数や数学に置き換えることができるということは、プログラミングでも話ができます。

数学ならばプログラミングにできる

数学の式で関係を表す

そこで問２の話題について、数学の集合で表してみましょう。

$N=$｛ロシアの主張を拡散する人の集合｝（ロシアによるウクライナ侵攻を正当化する人）
$V=$｛ワクチン接種に反対する人の集合｝

すると

$N \cap V=$｛ロシアの主張を拡散し、かつ、ワクチン接種に反対する人の集合｝

$ V – (N \cap V) =$｛ワクチン接種に反対する人の中で、ロシアの主張を拡散する人の集合｝

などと表せますから、$V$ と $N \cap V $ を比較すれば良いということになります。

ここから数学の慣例で、集合の要素の数を$n(集合)$と表すことにします。
あくまでも今回は思考の練習ですから、値は適当にデフォルメします。

いま、適当に $n(N)=10$とします。
本当の数は10,907アカウントですが、面倒なので全体的に $ \frac{1}{1000} $ 程度に規模を縮小しました。

すると $n( N \cap V )$ はその８８％ですから、$n( N \cap V )=10 \times 0.88 \risingdotseq 9$ と設定すればよいでしょう。

さらに、その９人は $V$の４％ですから、$n(V) = n(N \cap V) \div 0.04 = 225$ と設定します。

これで練習用の数字がそろいました。

プログラミングで表現する

それでは、上記の関係をプログラミングで実験してみましょう。

なおプログラミング言語は Python（パイソン）を使います。
Python は無料で使えるプログラミング言語です。人気ランキングで上位にいることでも有名です。
使ってみたい方は、Pythonの公式ホームページからダウンロードしてインストールしてみてください。

さて、Python は集合の計算もプログラミングできます。

Python では $n(U)$ を $len(U)$ とし、$N \cap V$ を $N \& V$ と書きます。

それでは集合Nや集合Ｖを具体的に定義していきましょう。
本当なら集合の要素はツイッターのアカウント名なのですが、プログラミングの都合で、今回は簡易的に整数の番号を使うことにします。

V = set( [ i for i in range(255) ] )
len(V)
-> 225　（ワクチン反対）

N = set( [ i for i in range(216,226) ] )
len(N)
-> 10　（ロシアの主張を拡散）

len( V – (N & V) )
-> 216　（ワクチン反対だが、ロシアの主張を拡散していない）

len( N & V )
-> 9　（ワクチン反対、かつ、ロシアの主張を拡散）

len( N – (N & V) )
-> 1　（ワクチンに反対していない、かつ、ロシアの主張を拡散）

それでは、それぞれの相対的な大小関係を視覚的に確認してみましょう。
それぞれの集合に含まれる要素を並べて比較します。

V – (V & N)　・・・（ワクチン反対だが、ロシアの主張を拡散していない）
-> {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 111, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 127, 128, 129, 130, 131, 132, 133, 134, 135, 136, 137, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 144, 145, 146, 147, 148, 149, 150, 151, 152, 153, 154, 155, 156, 157, 158, 159, 160, 161, 162, 163, 164, 165, 166, 167, 168, 169, 170, 171, 172, 173, 174, 175, 176, 177, 178, 179, 180, 181, 182, 183, 184, 185, 186, 187, 188, 189, 190, 191, 192, 193, 194, 195, 196, 197, 198, 199, 200, 201, 202, 203, 204, 205, 206, 207, 208, 209, 210, 211, 212, 213, 214, 215}

V & N　・・・（ワクチン反対、かつ、ロシアの主張を拡散）
-> {224, 216, 217, 218, 219, 220, 221, 222, 223}

N – (V & N)　・・・（ワクチンに反対していない、かつ、ロシアの主張を拡散）
-> {225}

はい、ワクチン反対派の多くはイデオロギーや政治的な思想などとは関係ないことが明らかですね。

算数ではＶの帯グラフとＮの帯グラフが重なったような図を描いて、この種の問題を解きます。
数１ではベン図を使います。
そしてPythonのプログラムでは上のようになります。

これらのどれを使って表現するにしても、必ず２つのグループの大きさ（人数）や、その重なり領域の大きさ、といった具体的な情報が必要です。
それらの１つでも分からなければ、情報を正確に網羅できないことが分かるでしょう。

このように数学やプログラミングに慣れていれば、情報の欠落に気が付きやすく、それだけダマされにくいと言えます。

補足：pythonの文法について

上のプログラムでは Python の「リスト内包表記」という文法を使って記述している部分があります。
例えば以下の行です。

V = set( [ i for i in range(255) ] )

特に、

[ i for i in range(255) ]

の部分がリスト内包表記です。
配列を表すカッコ “[　]” の中に、繰り返し構文を１行のスタイル書いて、配列の要素を定義しています。
そして、この意味は、

「０から始まる２５５個の整数を並べて配列をつくりなさい」

となります。つまり１行全体としての意味は、

「０から始まる２５５個の整数を並べて配列をつくり、それを配列型から集合型へ変換してから、変数Ｖに入れなさい」

となります。
その結果として変数Ｖには整数０～２５４が並んだ集合｛０，1，2，3，…253，254　｝が入っていることになります。

リスト内包表記を使えば、配列の定義を簡潔に書くことができます。
ただし全てのプログラミング言語で使えるわけではありませんので、要注意です。

Python、Haskell、Scheme、Common Lisp、F＃などでは使えます。
しかし古くからあるメジャーな言語、Java、JavaScript、Ｃ、Ｃ＃、Objective C、BASIC、VB や、人気の Ruby や PHP などでは使えません。

論理国語の限界

今年の４月から高校も教科書改訂です。
この教科書改訂をもって１０年の教育改革「高大接続教育改革」が一通り出そろうことになります。

なかでも国語は論理性が重視され、説明文や論説文の比重が非常に大きくなった一方、小説や物語文は縮小しました。一部では「文化軽視」と批判もされています。

国語の教育を通じて「論理的な思考力」を強化しようという改革の趣旨が色濃く反映されています。

一見すると正しいように思いますが、数式やプログラミング言語に比べると、やや首をかしげたくなる部分があります。

まず、実用性という意味で疑問です。
難しい文章は誰からも読まれないし、読みたくもない、というのが社会の実情です。

論理的に難解な文章を読み書きできる能力を身に着けました。
でも、その人のコミュニケーションは言葉が難しくて、誰も耳を傾けません。

それって、社会的に価値のある能力を身に着けたと言えるのでしょうか？
大いに疑問です。

次に言語の機能という意味で疑問です。
そもそも日本語のような自然言語は、正確な論理の記述には向いていません。
それを無理やり論理的にやろうとすれば、色々なローカルルールが発生し、もはや国語ではなくなるでしょう。

例えば、第１段落の主張が文章全体の結論に含まれれないような文章があったとします。
このとき、第１段落の主張を「本文に即している」と見なすのか否か、という問題があります。
この判断について世間一般では特にルールは無いでしょう。
ある人は見なさないと言うし、また別の人は見なすと言うでしょう。

ところがテストでは「即していると見なす」を正答とするものが多いです。
これは選択問題で難解な出題をしようとするあまり「消去法でしか解けない問題」を作りがちになるからです。

つまり「否定要素が無ければ正解として残す」という「解法のテクニック」が正解の理由です。
もちろん、こうした判断の基準は受験国語だけに通用するローカルルールです。

これは論理であるかのように見せかけているだけで、国語力や論理力と関係ないでしょう。
特定のゲームにだけ通用する単なるボス攻略です。

世間でこんな主張をしたら、屁理屈と言われます。
時に屁理屈は社会的な混乱を招きますので、ローカルルールはむしろ弊害とさえ言えます。

このように実際の入試問題は、世間の常識から離れたローカルルールに支えられています。

ところで、論理的な思考の記述には、日本語よりももっと適した方法があります。

数式や論理記号、プログラミング言語などです。
こうした、より形式的な言語（フォーマルメソッド）を使うべきでしょう。

私の感覚では、高校受験の問題で、すでに論理国語の難易度は上限に達しています。
それ以上に難解な論理構造を記述したいのであれば、自然言語ではなく、もっと形式的な言語を使うべきです。

論理国語のやりすぎには要注意だと思います。
論理国語で学生を消耗させている間に、また日本が衰退してしまいます。

芸術も大切です

コンピューターを使った環境として、最近はＶＲやメタバースが注目されています。
もちろん、マインクラフトも。
これらはみんな

「３Ｄのバーチャル空間で時を過ごす」

という特徴があります。

ファイナルファンタジーやフォートナイト。
こうした人気のゲームも、みんなバーチャル空間の中で遊びますよね。

これからは多くの人が３Ｄ空間で過ごすのが当たり前になります。
すると、その中で表現する絵やマークなども３Ｄにする必要があります。

コンピューターで絵を描くことをＣＧと呼びますが、これからは３ＤのＣＧを普通に描ける必要が、きっと出てくるでしょう。

それでは、コンピューターで３Ｄの絵を描く方法。
皆さんはご存じですか？

きっと、ほとんどの人が想像もできないと思います。

残念ながら、まだ小学校の図画工作や中学校の美術では習わないからです。
指導要領には無いため、教えられる先生が学校にはほとんどいません。

しかし時代の方が先に進みます。
自分で少しずつ調べて、簡単なものを描けるようにしておくと良いでしょう。

そして、３ＤのＣＧを描くためのフリーソフトが存在します。

Blender

おすすめは Blender というソフトです。

公式ホームページ（https://www.blender.org/）からダウンロードすることができます。

無料ですが、高機能でプロも使っています。
このソフトでアニメ映画も作られています。

WindowsでもMacでもLinuxでも動きます。
しかも、Pythonで自動化もできます。

無料で使おうと思ったら、ほぼこれ一択でしょう。

もしも新学期が始まるまで、すこし暇を持て余しているなら、挑戦してみてはいかがでしょうか。

充実した新生活を！

何はともあれ、受験お疲れさまでした。

羽を伸ばして体を休め、新学期に向けて今は十分に養生してくださいませ。

新年度はきっとステキな生活になるでしょう。
そうなるように祈っております。

そうそう、言い忘れていました。

卒業おめでとう！

いつでも教室へ遊びにおいで。

進学実績

卒塾生（進路が確定するまで在籍していた生徒）が入学した学校の一覧です。
ちなみに合格実績だけであれば更に多岐・多数にわたります。生徒が入学しなかった学校名は公開しておりません。

国公立大学

名古屋大学、千葉大学、滋賀大学、愛知県立大学、鹿児島大学

私立大学

中央大学、南山大学、名城大学、中京大学、中部大学、愛知淑徳大学、椙山女学園大学、愛知大学、愛知学院大学、愛知東邦大学、同朋大学、帝京大学、藤田保健衛生大学、日本福祉大学

公立高校

菊里高校、名東高校、昭和高校、松陰高校、天白高校、名古屋西高校、熱田高校、緑高校、日進西高校、豊明高校、東郷高校、山田高校、鳴海高校、三好高校、惟信高校、日進高校、守山高校、愛知総合工科高校、愛知商業高校、名古屋商業高校、若宮商業高校、名古屋市工芸高校、桜台高校、名南工業高校

私立高校

中京大中京高校、愛工大名電高校、星城高校、東邦高校、桜花学園高校、東海学園高校、名経高蔵高校、栄徳高校、名古屋女子高校、中部第一高校、名古屋大谷高校、至学館高校、聖カピタニオ高校、享栄高校、菊華高校、黎明高校、愛知みずほ高校、豊田大谷高校、杜若高校、大同高校、愛産大工業高校、愛知工業高校、名古屋工業高校、黎明高校、岡崎城西高校、大垣日大高校

（番外編）学年１位または成績優秀者を輩出した高校

天白高校、日進西高校、愛工大名電高校、名古屋大谷高校

※ 成績優秀者・・・成績が学年トップクラスで、なおかつ卒業生代表などに選ばれた生徒

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ＴＥＬ：０５２－８９３－９７５９
教室の様子（360度カメラ）　http://urx.blue/HCgL

塾長です。

今回は高校生からよく出る質問、というか疑問

虚数　$ i = \sqrt{-1} $　は実在しない数なのか？

について考えてみます。

２次方程式と２次関数のおさらい

解の公式

まず中学３年生が１学期で習う「２次方程式の解の公式」を思い出してみましょう。

２次方程式$ ax^2+bx+c=0 $の解の公式

$$ x = \frac{ -b \pm \sqrt{b^2-4ac} }{ 2a } $$

判別式

高校１年生になると、さらに「判別式」を習います。
１学期の後半または２学期の初めくらいです。

実数$ｘ$について、２次方程式$ ax^2+bx+c=0 $の判別式をDとすると、

• $D < 0$ のとき、解は０個（解なし）
• $D = 0$ のとき、解は１個（重解）
• $D > 0$ のとき、解は２個

続いて、２次関数$ y=ax^2+bx+c $のグラフと判別式Dとの関係について習います。

２次方程式$ ax^2+bx+c=0 $の解を、次の連立方程式の解とします。

$$ \begin{cases}
y=ax^2+bx+c \\
y=0
\end{cases} $$

$x-y$平面上で２式それぞれのグラフを描くと、その交点が解になっているのでした。
つまり、

２次方程式$ ax^2+bx+c=0 $の判別式をDとする。
$ y=ax^2+bx+c $と$x$軸との共有点は、

• $D < 0$ のとき、０個
• $D = 0$ のとき、１個（接する）
• $D > 0$ のとき、２個（交わる）

この様子を直感的なグラフで表すと、次のようになります。

複素数

高校２年生では、虚数単位 $ i = \sqrt{-1} $ を導入して、$x$を実数から複素数へ拡張します。
すると方程式の解を必ず求めることができるようになります。

２次方程式$ ax^2+bx+c=0 $の判別式をDとすると、

• $D < 0$ のとき、解は複素数で２個
• $D = 0$ のとき、解は実数で１個（重解）
• $D > 0$ のとき、解は実数で２個

であり、どの場合でも解は、

$$ x = \frac{ -b \pm \sqrt{b^2-4ac} }{ 2a } $$

と表すことができる。
特に$D < 0$ のときは$ i = \sqrt{-1} $ として、

$$ x = \frac{ -b \pm \sqrt{|D|} i }{ 2a } $$

である。

ざっと、ここまでが中３、高１、高２の二次方程式と二次関数のおさらいです。

複素数の世界では必ず共有点がある？

素朴な疑問

さて、ここで塾長は、ふと疑問に思いました・・・

せっかく複素数まで拡張して、判別式$D<0$の場合でも解が求まるようになったのに、対応するグラフの共有点が無いままって、寂しくない？

寂しいですよね！？

疑問です。というか、不満です。
なんとかして、このモヤモヤを解消する必要があります。

問題解決というヤツです。

仮説を立ててみる

そこで、

もしかしたら、グラフを複素数まで拡張すれば、共有点が２つに見えるのではないか？

という仮説を立ててみました。

本当にそうなるのでしょうか？

コンピューターの力を借りて、そのグラフを描くことにチャレンジすることにしました。

仮説を立てて確かめるってヤツです。

４次元のグラフは描けない！！

コンピューターは具体的な数値しか扱うことができません。
そこで今回は、つぎの関数を例に、グラフを描いてみることにします。

$$y=x^2-2x+2 $$

もちろん、これの判別式Dは負です。

$$D=(-2)^2 – 4 \times 1 \times 2 = 4-8 = -4 < 0$$

そして方程式$x^2-2x+2=0$の解は

$$x=1 \pm i$$

という虚数解です。

今回の目的

今回の目的を次のように設定します。

ｘを複素数としたときに、
$$ \begin{cases}
y=x^2-2x+2 \\
y=0
\end{cases} $$
の共有点が２つあることをグラフで示す！

実数と複素数で何がどう変わる？

高校１年生までは、$x$も$y$も実数ですから、これは、

実数$x$ を与えると、実数$y$ が１つに定まる関数のグラフ
つまり、
数直線上の１つの実数$x$を、また別の数直線上の１つの実数$y$へ移し変える関数のグラフ

ということになります。
つまり「２本の数直線」があれば、話ができます。
よって、

$x$ が実数ならば、
$y=x^2-2x+2 $ のグラフは、ｘ軸とｙ軸で構成される「平面（２次元空間）」の上に描くことができる

ということです。
直線は「１次元」ですから、２本の直線で表現できる空間は、せいぜい「２次元空間」となります。

さて、

ここで$x$を複素数に拡張します。
そこで２つの実数$a,b$を使って$x=a+bi$としましょう。

$$ \begin{cases}
y=x^2-2x+2 \\
x=a+bi \\
i = \sqrt{-1}
\end{cases} $$

すると、式の計算結果$y$も複素数になります。
そこで２つの実数$c,d$を使って$y=c+di$としましょう。
すると、これは、

複素数$x=a+bi$ を与えると、複素数$y=c+di$ が１つに定まる関数のグラフ
つまり、
実数平面上の座標$(a,b)$を別の実数平面上の座標$(c,d)$に移し変える関数のグラフ

ということになります。
つまり「２つの平面」があれば、話ができます。
よって、

$x$ が複素数ならば、
$y=x^2-2x+2 $ のグラフは、平面a-bと平面c-dで構成される「４次元空間」の中で描くことができる

ということです。
平面は「２次元」ですから、２つの平面で表現できる空間は、せいぜい「４次元空間」となります。

拡張し過ぎた

上の考察から、コンピューターで「４次元のグラフ」を描けば、今回はミッションクリアできそうです。

・・・ん？

無理です！

私たちはどんなに精神を研ぎ澄ませても、３次元までしか空間の広がりを認識することができません。
ましてやグラフを描くことも見ることもできません。

これはコンピューターでも表示できません。

（計算だけならできます。表示が無理ということです）

グラフを３次元にまとめる！

ということで、何とかして３次元で済ませる方法を考えなければいけません。

グラフを３次元で描けるようにする

という「課題」が生まれてしまいました。

どうしたらよいでしょうか？

【豆知識】
問題解決の世界では、最終的に解決する「目的」のことを「問題」と呼びます。
そして、問題を解決する過程（途中）で乗り越えるべき「目標」のことを「課題」と呼びます。

そもそも何がしたかったのか？

道に迷ったら、目的の再確認です。

目的さえ達成すればよいのです。
もしかしたら「やらなくても良いこと」で悩んでいたりするかもしれません。

今回は、$y=x^2-2x+2 $ と $y=0 $ の共有点が２つあることをグラフで描きたかったのでした。

あ、な～るほど！

次元を減らす

目的の式をじーっと眺めていたら、思いつきました。

$ y=0 $なのですから、$y$の方は２次元も必要ありませんね。

だって０（ゼロ）の時だけ考えればよいのですから。そこで、

ｙの次元を２次元から１次元に減らす！

ことを考えましょう。

グラフ表示の方針

ということで、グラフに表示する方針をまとめましょう。

実数の世界のグラフは、横軸がｘ軸、縦軸がｙ軸です。

今回は$ｘ$を複素数$a+bi$へ拡張したのですから、そのグラフは、

• $ｘ軸$を複素平面$a+bi$へ拡張（平面：２次元）
• $ｙ軸$も複素平面$c+di$へ拡張（平面：２次元）

としたかったのですが、無理でした。
これではグラフの座標が (a,b,c,d) の４次元になってしまい、描けないからです。
そこで次の方針としたのでした。

• $ｘ軸$を複素平面$a+bi$へ拡張（平面：２次元）
• $ｙ軸$は１次元に落とした値（直線：１次元）

つまり、

• 横軸だったｘ軸は、横に広がる複素平面に拡張
• 縦軸だったｙ軸は、実数の数直線のまま

これなら３次元の立体的なグラフで表すことができます。

あとは、縦軸のｙをどのような値に決めるか、ですね！

案１：ｙの実数だけを縦軸にとる　→　失敗！

そもそもグラフは実数しか描けません。
そのため、１つの複素数を２つの実数の組に対応させ、それを平面上に表すのでした。

であるならば、安直ではありますが、ｙの実部だけをグラフに採用すればよいかもしれません。

• 横軸：複素数$ x=a+bi $（平面：２次元）
• 縦軸：$ｙ=c+di $の実部$c$（直線：１次元）

それでは、この案でグラフを描いてみましょう。
こうなりました。

馬の鞍みたいな形のグラフになりました。
最後の考察で、このグラフも少し使いますから、とりあえず「馬の鞍型」のグラフとでも呼んでおきましょう。

ちなみに、赤い線が、実数の$x-y$平面上のグラフ（平面 $ b=0 $ で切った切り口）です。

さて、これで目的は果たせたでしょうか・・・？

うーん、何だかよく分かりません。

$x$を複素数に拡張したおかげで、確かに平面$y=0$との共有点は存在しそうです。
しかし「共有点が２つ」である様子が、これでは分かりません。

よく考えてみたら、これはダメです。

もしも４次元のグラフが描けるとすれば、本来のグラフは、

(a,b,c,d) の４次元でグラフを描き、それを平面$c=0$でカットした切り口が、求める３次元のグラフ

が本当のグラフです（※）。
４次元のグラフは描けませんが、本来はそんな感じです。

そう考えると、無条件に$y$の虚部を捨ててしまったのがダメでした。

（※）【豆知識】
４次元の立体を平面で切ると、その切り口が３次元の立体になります。
私たちの世界は３次元です。私たちの世界で立体は３次元です。
例えば、スイカを包丁で切った時の断面を想像してみてください。
スイカは３次元の球です。それを２次元の平面でスパッと切ると、切り口が２次元の円になります。
４次元の世界は、私たちの世界よりも１つ次元が上ですから、上の考察をすべて１つずつランクアップして考えます。
つまり、４次元の中で球体を切ると、切り口が３次元の球になります。

案２：ｙの絶対値を縦軸にとる　→　成功！

そこで、数学的に条件を壊さないことを考えます。

$y=c+di=0$

すなわち、

$c=0$かつ$d=0$の場合

を考えたグラフであれば目的を達成できるわけです。

ところで、

$|y|=0$も同様に$c=0$かつ$d=0$です。

ですから縦軸を$|y|$とすれば、これは実数ですから、うまく１次元に収まります。

• 横軸：複素数$ x=a+bi $（平面：２次元）
• 縦軸：$|ｙ|$すなわち$\sqrt{c^2+d^2} $（直線：１次元）

それでは、この案でグラフを描いてみましょう。
こうなりました。

うまくいきました！

グラフの２カ所が尖っていて、２つの虚数解

$$x=1 \pm i$$

の所で平面$y=0$に突き刺さっていそうです。
共有点は「２だけ」ですから、平面$y=0$上で、それぞれ１点ずつ、チョン、チョンと、くっ付いているはずです。

グラフの解像度の問題で「点」まで鋭利に描き切れていません。
念のため、１００倍に拡大してみましょう。

$x=1 + i$の付近を１００倍に拡大してあります。
この倍率で$x=1 – i$も同時に描くのは不可能なので、１つだけで確認します。

どうです？

共有点の１つ$x=1 + i$の位置へ、グラフが突き刺さっている感じがしますよね。
このグラフを１０００倍にしても、１００００倍にしても、ずっとこんなグラフになります。

「１点に突き刺さ差っている！」

のですから、倍率をどこまで上げても、こんな感じです。
もちろん、$x=1 – i$ についても同様です。

これで本当に

「たった２点」だけの共有点を持つ！

ことが、グラフで表示できたのではないかと思います。

思ったより大変でした。

教えてエライ人！

上のような考察をFacebookにアップしていたら、色々な人からご意見をいただきました。
なかでも吉田先生には色々と教えていただきました。

ということで、今回のエライ人は、吉田信夫先生です！

吉田先生はあの「大学への数学」で原稿を書かれていた先生の内の１人です。
超すごくないっすか！

先生のブログ「yoshidanobuo’s diaryー高校数学の“思考・判断・表現力”を磨こう！」はこちらです。

グラフで虚数解を見える化するにあたり、いろいろとご指導をいただきました。
また数学的におかしな用語の使い方についてもご指摘いただき、修正することができました。

用語の誤用

今回やってしまった用語の誤用を２つ紹介します。

どこが間違っているのか、考えてみてください。

• 誤用１：「$y=x^2-2x+2$の判別式の値は負です。」
• 誤用２：「複素数$x=a+bi$と実数$y$において、$y=|x^2-2x+2|$のグラフ(a,b,y)は、平面$y=0$と２点で接しています。」

わかりますか？

私は吉田先生に指摘されるまで気づかなかったです。まさに

「それは違反です」

という感じで、御用とあいなりました。

大学入試の２次試験で記述回答を予定している人は、気を付けてくださいね。

さて、上のものは次の点で間違っていました。

• 誤用１：関数に対して判別式を語ったところがアウト。判別式は方程式「$0=x^2-2x+2$」に対して定義されるもの。
• 誤用２：「接する」は「微分可能な領域」で定義されるもの。今回は尖っていて微分不可（微分する向きによって微分係数が異なる）。

さぁ、どうでしたか？

滑らかに「接する」グラフにする

さらに誤用２に関連して、グラフが２つの$x=1 \pm i$で「接する」ようなｙの取り方も教えていただきました。

みなさん、分かります？

• 横軸：複素数$ x=a+bi $（平面：２次元）
• 縦軸：$|ｙ|^2$すなわち$ c^2+d^2 $（直線：１次元）

それでは、この案でグラフを描いてみましょう。
こうなりました。

ｙの値が２乗されているので、グラフが大きくなりすぎて「２点」どころではなくなってしまいました。
そこで例によって、$x=1 + i$の付近を１００倍に拡大してみましょう。

おお、本当に滑らかに接してそうですね！

例によって「１点」で接しているので、このグラフを１０００倍にしても、１００００倍にしても、ずっとこんなグラフになります。

次元を減らすもう１つの方法

さらにさらに、吉田先生からもう１つのグラフ表示の方法を教えていただきました。
$x=a+bi$ としたときに$y=0$を満たすような

$y=0$　を　(a,b)　だけで描く！

です。

つまり、(a,b)に色々な実数を当てはめて　$x=a+bi$　を動かしたときに、$y$　がどのように動くかを図示します。
もう少し正確に言うと、$y=0$　を満たすような「ｙの実部」と「ｙの虚部」をそれぞれ平面(a,b)上に図示します。

$y$　の値もまた　(a,b)　の関係式として表現されるため、グラフの次元は(a,b)の２次元だけで済みます。
１つの複素平面だけで示すやり方です。

やってみましょう。まず、

$$ \begin{cases}
y=x^2-2x+2 \\
x=a+bi \\
y=c+di
\end{cases} $$

について、

$x=a+bi$　を　$y=x^2-2x+2$　に代入して整理すれば、

$$ y=a^2-b^2-2a+2+2b(a-1)i $$

です。

$y=c+di=0$　すなわち　$c=0$かつ$d=0$　の場合を考えるわけですから、

$$ \begin{cases}
a^2-b^2-2a+2=0 \\
かつ\\
2b(a-1)=0
\end{cases} $$

すなわち、

$$ \begin{cases}
b = \pm \sqrt{(a-1)^2+1} \\
かつ \\
a=1　または　b=0
\end{cases} $$

です。
これらの交点が求める解になります。

あらためて、実部の$a$を$x$とし、虚部の$b$を$y$として、複素平面$x-y$にグラフを図示したのが下です。
これは吉田先生からいただいたグラフです（軸が$x-y$になっていますが、$a-b$に読み替えてください）。

$a^2-b^2-2a+2=0$のグラフが青で、$a=1$と$b=0$のグラフが赤です。

確かに複素平面の世界では、２点の共有点がありました。
そしてグラフの交点はそれぞれ、$ 1+i $　と　$ 1-i $　です。

これは感動です！

考察とまとめ

もしも

$$ \begin{cases}
y=x^2-2x+2 \\
x=a+bi \\
y=c+di=0
\end{cases} $$

のグラフを４次元　$(a,b,c,d)$　の空間上に描けたとしましょう。

すると、上の吉田先生からいただいた平面グラフは、その４次元グラフを　$y=0$　で切った切り口であるといえます。

やってみました。それが下のグラフです。

緑の実線が、実数の世界での２次関数のグラフです。
赤の実線と青の実線は、それぞれ上の平面グラフに対応しています。

このグラフをもとに、これまでの話を全て振り返ってみます。

まず青い曲面が、最初に描いた「馬の鞍型」のグラフです。
これは４次元グラフを平面 $ d=0 $ で切ったときにできる立体です。
そして、この青い曲面をさらにｙ＝０で切ると、青い実線の双曲線になります。

次に、４次元グラフを平面 $ c=0 $ で切ったときにできる立体も考えます。
それが、上のグラフの赤い曲面です。
そして、その赤い曲面をさらにｙ＝０で切ると、赤い実線の２直線になります。

そして青い双曲線と赤い直線の交点が、まさに　$ 1 \pm i $　となっています。

これらの様子を総合すると、２次方程式の虚数解　$ 1 \pm i $　は、

• ３次元空間　(a, b, c)　の曲面（縦軸をｙの実部としたグラフ）
• ３次元空間　(a, b, d)　の曲面（縦軸をｙの虚部としたグラフ）
• ｙ＝０の水平な平面

の３つを重ねた時にできる共有点

であることがグラフで確認できました。

グラフ表示に使ったPythonプログラム

今回、グラフを描くのにプログラミング言語の「パイソン（Python）」を使いました。
以下が、そのプログラムです。
Jupyterという環境を使いました。

ちなみに、パイソンのプログラミングを学ぶなら、無料で使える Google Colaboratory がオススメです。
もちろん下のプログラムも Google Colaboratory で動作します（動作確認済）。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
%matplotlib inline
fig = plt.figure(figsize = (8, 8))

# Axes3D
ax = Axes3D(fig)

# タイトルを設定
ax.set_title(“$y=|x^2-2x+2|$”, size = 20)
#ax.set_title(“$ y = |x^2-2x+2|^2 *100 $”, size = 20)

# 軸ラベルを設定
ax.set_xlabel(“x-Real”, size = 14)
ax.set_ylabel(“x-Image”, size = 14)
ax.set_zlabel(“y”, size = 14)

# 表示角度の設定
ax.view_init(elev=10, azim=35)

# 座標のメッシュ
rr = np.linspace(-1.5, 3.5, 200)
ii = np.linspace(-1.5, 3.5, 200)
#rr = np.linspace(0.9, 1.1, 200)
#ii = np.linspace(0.9, 1.1, 200)
i0 = np.zeros(200)
r,i = np.meshgrid(rr, ii)
z = r + i*1j

# 曲線・曲面を描画
y0 = r*r-2*r+2
ax.plot_wireframe(rr, i0, y0, color = “red”)
y = np.abs( z*z-2*z+2 )
#y = ( np.abs( z*z-2*z+2 ) )**2 *100
ax.plot_surface(r, i, y, color = “yellow”, alpha=0.4)
plt.show()

あとがき

どの学年も文字式と関数の季節になりました。

今年から中学生は教科書改訂で「主体的な学び」が重視され、プログラミング教育も強化されました。
来年からは高校生でもそうなります。

そういう流れの中で、今回は、

高校生のレベルで数学を題材に「主体的な学び」を「プログラミング」も活用して行ったらどうなるか？

を実践してみました。

さらに今後の常識というか、新しい価値観である

「集合知」で「問題解決を加速する」という姿勢

も取り入れてみました。
ですから、問題解決の用語や流れも、それとなく意識してあります。

これが次世代型の教育であり、同時に、いま日本で遅れてしまっている教育でもあります。

今のところ私はそのように思っております。

教育者も間違えます。
先生が何でも知っていて間違いを起こさない聖人君子である、なんていう時代は終わっています。
そもそも非科学的で不合理です。

もう、１人の聖人君子や、優れたリーダー、１部の天才に問題の解決を任せるよな時代では、ありません。
というか、そんな人はいません。
幻想です。

今や、世界中の人たちがコンピューターでつながっているのです。
みんなが意見や知恵を出し合う「集合知」で、いち早く問題を解決していこう！
そのように考える方が大切です。

このような価値観でコンピューターを活用しながら問題解決を実践できる人。

それが、これから日本で、いや世界で多く必要とされる人たちなのだと思います。

現場からは以上です。

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教室の様子（360度カメラ）　http://urx.blue/HCgL