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新学期

【プログラミング教育】確率を使えば円の面積が求まる?

受験が終わったらプログラミングで遊んでみよう!

塾長です。

もう春ですね。
3月3日と言えば桃の節句ですが、ことしは中学の卒業式でもあります。そのあとすぐに愛知県公立高校入試が始まります。国公立大学は先週から始まっていますね。
もう、そういう季節です。

受験が終わったら何をする?

一方で、すでに受験を終えている生徒も多いです。教室では私立高校から届いた課題に取り組む生徒たちや、中学生の総復習にあらためて取り組む生徒たちがいます。

要するに放っておけば新学期まで暇です。そんなキミたちに、

ぜひ今こそ、自分なりの「本当の勉強」というものにチャレンジしてみたらいかが?

などと声をかけています。
たとえば、理系の子には「ブルーバックス」というシリーズの本をお勧めするとか、逆に哲学の変な本を読んでみたらどうかとか、そういう雑談もしています。
コロナ禍で卒業旅行が難しい、そんなご時世だからこそ、落ち着いて本を読んでみるのも一興です。

もちろんマンガやアニメでも良いと思います。

新しい本との出会いは、新しい自分との出会いになることがあります。

また最近ではパソコンで遊んでみることもお勧めです。

塾長が生まれて初めて目にした科学計算プログラム

そんな話を生徒たちにしていたせいか、自分が高校生になったばかりの頃を急に思い出しました。

塾長は高校生になってから直ぐに地学部に入りました。天文少年だったので迷わずストレートに行きました。
高校の屋上には1つ部屋があって、その上が天文台になっていました。地学部は屋上もその部屋も天文台も、すべて自由に使うことができました。そして屋上の部屋には1台のパソコンが置いてありました。
ある日、3年生の先輩がそのパソコンで自作のプログラムを披露してくれました。

衝撃でした。何のプログラムだったか、今でもハッキリと覚えています。

モンテカルロ法による円周率の計算プログラム

今から30年以上も前です。たしかSHARPのX1というパソコンで、BASICというプログラム言語でした。
もちろんプログラムの1行1行を覚えているわけではありません。覚えているのは先輩がしてくれた説明です。

どんな計算をしているプログラムか

その仕組みというか、考え方が面白くて、今でも覚えているのです。

「あー、コンピューターって、こんなことまでできるんだ。」

そんなことを初めて実感した瞬間でした。

どんな話だったか、ちょっと説明しますね。

確率で面積を求める!?

突然ですが、もしもこんな図形があったら、どうやって面積を求めますか?

いびつな形の面積の図

長方形の中に雲みたいな形があって、色が塗られています。その部分の面積です。

もちろん、こんな変な形の面積を出す公式なんて知りません。

こういう時に次のような発想で求められると言うのです。

確率で面積を求められる!

もう少し説明を続けます。

もしも次のことが分かれば面積が求められます。

長方形の中で雲の形が占める割合

たとえば仮に、雲の面積が長方形の面積の3分の2だとすれば、

$$ 10 \times 6 \times \frac{2}{3} = 40 cm^{2}$$

という具合に求まるわけです。つまり、

実際には何分の何なのか?

という「割合」を求められれば良いわけです。

この割合、どうやって求めましょうか?

そこで確率の登場です。

上から針を落とす実験

長方形の中で雲の形が占める「割合」を求めるために、この絵に対してランダムに点を描いていくことを考えます。

点を描く場所に偏りがあってはいけません。人間の意思が働くと偏りが出るかもしれないので、人間の意思が入らないように、でたらめにやる必要があります。例えば、この絵を地面に敷いて上から針を落とし、針の先端が止まった場所に点を描く方法などがあります。そういう方法ができたとしましょう。

試しに10本ほど針を落として、その先端に赤い印をつけてみた例が次の図です。

いびつな形にランダムに点を打った図

10本の針を落としたら7本が雲の図の中に入りました。つまり針が雲の中に落ちる確率が $\frac{7}{10}$ ということです。これは言い換えると、雲の面積が占める割合が長方形の $\frac{7}{10}$ だったと見なすことができます。だったら、

$$ 10 \times 6 \times \frac{7}{10} = 42 cm^{2}$$

ということで求めたことになりそうです。

良ろしいでしょうか?

けっこう良い線まで求められたとは思いますが、まだ不安ですよね。

たったの10本で決断してよいの?

そういう不安感があるからです。たまたま7本だったのかもしれません。もう1回実験したら $\frac{6}{10}$ になったり、 $\frac{8}{10}$ になったりするかもしれません。

10回では自信が持てないのなら回数を増やせばよいです。そこで1万回くらい実験しましょう。そしてその結果が、 $\frac{6711}{10000}$ になったとします。だったら、

$$ 10 \times 6 \times \frac{6711}{10000} = 40.266 cm^{2}$$

ということで良いでしょうか?

かなり良い線まで求められたとは思います。
しかし、まだ不安が0ではないですよね。1万回よりは10万回、いや100万回。いやいや1億回なら・・・などと増やしていけば、いつかは求まるだろうと思うワケです。

このようにランダムな行為で発生する確率を利用して、何かを計算していく方法を「モンテカルロ法」と呼びます。

この発想法、すごくないですか?

塾長は高1の春に感動した思い出があります。

ところで、円の面積も、これと同じ方法で求めることができます。そして円の面積が分かれば円周率も分かるというワケです。

確率で円の面積を求める!

それでは円の面積を求めていきましょう。

いま半径1の円を描きます。中心を座標の原点にすると下の図のようになります。

xy座標の中の円の図

ここでマイナスの座標を使うと計算が面倒です。そこでx座標もy座標も「正の数」だけ使うことにします。それが図で黄緑色の部分です。

つまり下図のように円の右上4分の1の扇形だけを実験に使います。

xy座標の中の扇形

この図で色のついた扇形は、1辺が1の正方形の中にピタリと納まっています。この正方形の中に針を落とす実験をしてランダムに点を打っていきましょう。すると

$$半径1の円の\frac{1}{4}の面積=1 \times 1 \times \frac{扇の中の点の数}{点の総数} =\frac{扇の中の点の数}{点の総数} $$

となりますね。
一方で円の面積の公式を使った式では、

$$半径1の円の\frac{1}{4}の面積=1 \times 1 \times \pi \times \frac{1}{4} = \frac{\pi}{4} $$

両者は同じはずですから、

$$ \frac{扇の中の点の数}{点の総数}=\frac{\pi}{4} $$

よって

$$ \pi = 4 \times \frac{扇の中の点の数}{点の総数}$$

となって円周率 $\pi$ が求まるわけです。

プログラミングで求める!

それでは上の考えをプログラミングします。

ちなみに正しい円周率は、

$$\pi=3.1415926535 \dots$$

だそうです。
今回はこれを模範解答として、プログラミングで得られた円周率の精度を評価してみましょう。

扇の中か外かの判定は?

プログラミングをする上で、あと1つ問題が残っています。それは

打たれた点が「扇の中か外かを判定する計算」をどう実現するか?

という問題です。
先に答えを言ってしまうと、これは中3の「三平方の定理」で解決します。

扇形の中か外か

例えば上のように点が打たれたとします。もしもその座標が $(a, b)$ だったとすれば、原点からその点までの距離は三平方の定理から $\sqrt{a^{2}+b^{2}}$ となります。これが円の半径1よりも小さければ扇形の内部というワケです。

ただし1は2乗してもしなくても1なので、 $\sqrt{a^{2}+b^{2}}$  の代わりに $a^{2}+b^{2}$ を使っても、1以上か未満かの判定には影響しません。少しでも計算を楽にしてあげた方がコンピューターから高速に結果を得られます。そこでプログラムではルートを取る前の $a^{2}+b^{2}$ と1を比べて判定します。

さぁ、今度こそプログラミングです。

まずは私が高校生の時に経験したBASICというプログラミング言語で再現してみます。

BASICのプログラミング

半径1の図をそのまま描くと小さすぎて何も見えなくなるので、400倍に拡大して描画するようにプログラミングしています。

10 CLS
20 DEFINT L
30 L=400:COUNT=0:R=0.0:X=0.0:Y=0.0
40 CIRCLE(0,0),L,1
50 LINE(L,0)-(L,L)
60 LINE(0,L)-(L,L)
70 INPUT N
80 FOR I=1 TO N
90 X=RND(1)
100 Y=RND(1)
110 PSET((L*x),(L*Y)),2
120 R=X*X+Y*Y
130 IF R <= 1.0 THEN COUNT=COUNT+1
140 NEXT I
150 PRINT (4*COUNT/N)

このプログラムを使って、針を落とす実験の回数を10000回まで実行したのが下の図です。この1万回の実験で、だいたい6秒くらいかかりました。
扇形は青い線で、針の落ちた場所が赤い点です。

モンテカルロ法で円周率を求める

円周率が3.132と出ています。
残念ながら1万回の実験をもってしても小数第1位くらいまでしか求まらなかったようです。

そこで10万回に増やしてみました。今度は60秒くらいかかりました。

BASIC_モンテカルロ法で円周率_10万回

10万個も点を打つと、かなり塗りつぶされている感じになります。
そして円周率が3.1404と出ています。
ようやく10万回でお馴染みの「3.14」つまり小数第2位まで求められました。

こりゃ、とてもじゃないけど、人間の手で実験なんてしていられませんね。

Pythonのプログラミング

今度は同じことを「Python(パイソン)」というプログラミング言語で実行しました。下がそのプログラムです。
BASICよりも高速に動作するので、10万回を超えるような計算はPythonの方で実験することにします。
グラフィックは面倒なので省略します。その代わり計算にかかった時間を表示するようにしました。

import random as r
import time as t

def cal_pai(n):

count_in  = 0
start = t.time()
for i in range(n):

x = r.random()
y = r.random()
if (x*x + y*y) <= 1:

count_in += 1

pai_n = 4*count_in/n
print(“n={}, pai={}, time={}[sec]”.format(n, pai_n, (t.time()-start)))

cal_pai(100)
cal_pai(1000)
cal_pai(10000)
cal_pai(100000)
cal_pai(1000000)
cal_pai(10000000)
cal_pai(100000000)
cal_pai(1000000000)

実行結果が下の図です。私のパソコンでは1億回の計算に21秒くらい、10億回の計算に4分12秒くらいかかりました。

Python_モンテカルロ法で円周率_10億回

なるほど、やっぱり10万回で「3.14」まで求まるようですね。
そして1億回で小数第3位の3.141まで求まっています。
しかし10億回に増やしても小数第4位まで出すことができませんでした。本当は3.1415…と表示されて欲しいのですが、3.1416…となっています。

そこで100億回にチャレンジしてみたいところですが、そうすると1時間くらいかかりそうなので止めておきます。

Scratch(スクラッチ)のプログラミング

最後にスクラッチのプログラミングです。
スクラッチは計算が遅いので、このように何千万回も計算をするような処理には向きません。ただしプログラムは読みやすいです。

Scratch_モンテカルロ法で円周率_100万回

実行してみると100万回で小数第2位の3.14まで求まりました。かかった時間は3秒弱でした。意外と速いですね!

同じ100万回で見ると、Pythonは約0.22秒、BASICは約600秒ですから、スクラッチの計算速度はBASICの200倍、Pythonの$\frac{1}{13}$くらいの速さということになりました。もっとも今回のBASICはエミュレーター上で動作し、なおかつグラフ表示もしているため遅いのは仕方がありません。

スクラッチは簡単にプログラミングできる環境でありながら、立派にアルゴリズムをプログラミングして実験できる環境だと言えます。

小学生が初めてプログラミングする環境として「スクラッチが最強」であることが、あらためて実感できました。

弱点を補うのもプログラミング

スクラッチにも弱点はあります。今回のプログラムに関しては次の2つです。

  1. 小数の乱数を生み出す命令が無い
  2. 「以上」「以下」を表す演算子が無い(「より大きい」「より小さい」しかない)

この2つの弱点を補うために、それぞれ次のような工夫しています。

  1. 「0~1000の範囲」で整数の乱数を生成し、それを1000で割って小数にした
  2. 「1以下のとき」の条件が作れないので、代わりに「「1より大きい」でないとき」とした

みなさんならどのように工夫しますか?

有るもので工夫するのもプログラミング的思考の大切なポイントです。

とても奥が深い分野

モンテカルロ法は奥がとても深くて、大学の卒業論文などでもよく取り上げられる問題です。

奥が深いとは、例えば、実際に実験することを想像すればわかります。

実際に実験するときには、先に実験の目的を決めますよね。今回なら

「円周率を小数第何位まで求めたいか?」

ということを決めます。
仮に、これが世界で初めての実験だったとしましょう。
すると逆に、

「その桁まで求めるには、何回くらい実験する必要があるのか?」

ということが分かっていなければ、実験を終わらせることができません。

世界で初めて実験するのですから、まだ誰も円周率の小数第4位の数を知りません。つまり正解が分かっていません。

答え合わせができない!

というのが、この実験の難しいところなのです。

そこで代わりに

「何回目の実験で正解にたどり着けるのか?」

を何らかの方法で求めておく必要があります。
それが分かっていなければ、いつまでもゴールできません。永遠に実験をし続ける羽目になってしまいますから。

この「実験を終えてよい回数」を求める方法は、実はとても難しい理論になります。大学の数学レベルの話になってしまいます。

上の実験では、Pythonで10億回やっても小数第4位を正しく出せんでした。しかし実際の実験では、そもそも「正しく出なかった」という判断ができません。今回は先に円周率の正解を表示するという「ズル」をしていたので「まだ求まっていない」という判断ができた、というワケです。

さて、円周率の小数第4位の数。

100億回なら出るのでしょうか?
もしかしたら1000億回なのでしょうか?

こういうたいへんな作業をやる前に、先に「何回やったら終わっていいよ。」という回数を知っておきたいですね。

大学受験の範囲を超えてしまいますが、興味のある人は調べてみてください。

暇な時間を上手に使える人に成ろう

高校受験や大学受験を終えた皆さんが、暇つぶしをするネタとして、今回はモンテカルロ法で円周率を求めるプログラミングを提供してみました。

塾長の過去の思い出から、たまたま思い出したので書いてみました。

コンピューターを使った遊び方は色々ですが、ゲームをするだけではもったいないです。

ぜひコンピューターが持つ本当の力を引き出してみてください。

もちろん、これは時間の使い方の1つの例です。

みなさんは暇な時間に何をしますか?

そういう時間を上手に使える人に成りたいものですね。

 


ヒーローズ植田一本松校の進学実績

卒塾生(進路が確定するまで在籍していた生徒)が入学した学校の一覧です。
ちなみに合格実績だけであれば更に多岐・多数にわたりますが、当塾の理念に反するので生徒が入学しなかった学校名は公開しておりません。

国公立大学

名古屋大学、千葉大学、滋賀大学、愛知県立大学、鹿児島大学

私立大学

中央大学、南山大学、名城大学、中京大学、中部大学、愛知淑徳大学、椙山女学園大学、愛知大学、愛知学院大学、愛知東邦大学、同朋大学、帝京大学、藤田保健衛生大学、日本福祉大学

公立高校

菊里高校、名東高校、昭和高校、松陰高校、天白高校、名古屋西高校、熱田高校、緑高校、日進西高校、豊明高校、東郷高校、山田高校、鳴海高校、三好高校、惟信高校、日進高校、守山高校、愛知総合工科高校、愛知商業高校、名古屋商業高校、若宮商業高校、名古屋市工芸高校、桜台高校、名南工業高校

私立高校

中京大中京高校、愛工大名電高校、星城高校、東邦高校、桜花学園高校、東海学園高校、名経高蔵高校、栄徳高校、名古屋女子高校、中部第一高校、名古屋大谷高校、至学館高校、聖カピタニオ高校、享栄高校、菊華高校、黎明高校、愛知みずほ高校、豊田大谷高校、杜若高校、大同高校、愛産大工業高校、愛知工業高校、名古屋工業高校、黎明高校、岡崎城西高校、大垣日大高校

(番外編)学年1位または成績優秀者を輩出した高校

天白高校、日進西高校、愛工大名電高校、名古屋大谷高校

※ 成績優秀者・・・成績が学年トップクラスで、なおかつ卒業生代表などに選ばれた生徒

 


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テスト1か月前! 今もっとも気にすべきことは?

カレンダーを見て焦る男の子のイラスト

こんにちは、塾長です。

入学式や新しい元号「令和」の発表から10日以上が経ちました。今週から新学期の授業を始めた学校がほとんどでしょう。

さて、新学期が始まったばかりで申し訳ないですが、皆さん、「テスト1か月前」です!

あと2週間もすればゴールデンウィーク。その連休が明けたら直ぐにテスト期間です。
ちなみに将来のことを考えて計画的に行動できる点が人間と他の動物の違いらしいですよ。

教科書をもらったらすぐにやるべきこと

勉強の前に、まず人として

いきなりですが、質問です。

学校から配られた教材の名前を全て言えますか?

全て正確に答えられた生徒は優秀です。逆に、言えないものばかりであると、ヤバいです。今のうちに確認しておきましょう。

教材の名前は、これから色々なところで使われます。先生が授業中に使うことを指示したり、宿題やテスト範囲で指定されたりします。ですから、覚えておかないと話になりません。

成績に苦労している、宿題を忘れる、または期限ぎりぎりに提出する、親に怒られてから学校の教材を開く・・・こうした症状がある人は、そもそも学校の先生の話が耳に残っていません。話が記憶に残るために、最低限の予備知識として、教材の名前を確認しましょう。

それでは次の質問です。

新しい教科書やワークに、もう名前を書きましたか?

自ら進んで名前を書いた人と、親や先生から言われて書いた人では大きな差があります。
自分の持ち物をしっかりと覚えて管理することは、忘れ物をしないことや、人の持ち物を間違って持って来てしまわないこと等につながります。

勉強する以前に、まず人として大切なことです。部活やクラブ活動でも学んできたはずです。しっかり頼みますよ!

ここからが勉強の話し

前置きが長くなりましたが「新しい教科書をもらって最初にすべきこと」でした。

え、名前を書くことじゃないの?

いえいえ、ここでは成績を上げるための話しです。そんな小学生みたいな話で終わるワケがありません。
教科書をもらったら、まず次のことをしましょう。

教科書をもらったら最初にすること

  1. 目次を確認
  2. 次のテスト範囲を予想

学校からテスト範囲が発表されるのは、テスト10日前くらいでしょう。つまり連休明けです。天才でもない限り、そこから勉強を始めても手遅れです。今から予想しておけば「後で覚えればいいや」なんて思わなくなります。1ページでも多く勉強を進めておかないと間に合わないことが分かるでしょう。

ちなみに、目次を読むだけでも色々なことが分かります。

例えば地理なら、教科書の前半が世界のこと、後半が日本のことです。つまり中1が世界地理、中2が日本の地理だと予想できますね。
しかも、何をどういう順番で習うのか、どのように頭を整理したら良いかも分かります。章や節のタイトルを読めば何が重要か分かるからです。アジアなら、人口・宗教・民族の分布、貿易、農業、工業、石油についてが出題されやすい事が分かります。タイトルにそうあるからです。

目次を見れば勉強の仕方がけっこう分かるのです!

テストが終わるまで気にすべきこと

もちろん、目次の確認やテスト範囲の予想だけで良いわけではありません。これからテストまでの1か月間、そのテスト範囲を実際に勉強していくわけです。

そして勉強している時は必ず次のことを気にするようにしてください。

テスト勉強で常に気にすべきこと

  1. テスト範囲のメンテナンス(仮説の修正や変更)
  2. どんな問題が出題されるか予想

学校の授業の進み具合や、先輩の話し、塾の話などを参考に、自分が予想したテスト範囲を常に修正しましょう。時には「前のテストは出来が悪かったから、その範囲から20点分また出るらしい。」なんてこともあります。

教科書を読むときは「この行はテストに出るかな。この図は出るかな。」などと重要なところを気にしながら読むようにします。問題を解くときも「これと似たような問題が次のテストに出るかな。」などと気にして、問題のポイントや重要度を自分なりに推測するようにしてください。

このように考えながら勉強すると、記憶の定着が良くなり、勉強もはかどります。

「テストに出るから勉強する」は悪いこと?

何が出題されるかを予想することは良いことです。決してズルいこと、悪いことでなどはありません。ですから「テストに出るから勉強する」という姿勢も悪いものではないと私は思います。少なくともテストはみな同じルールで受験しますから、ズルいなんてことは無いでしょう。

真面目な話しをすれば、重要であることと、問題に出やすいことは、ほとんど同じ意味です。まともな先生が定期テストの問題を作成している限り、生徒にぜひ覚えて欲しいこと、ぜひ考えて欲しいことを問題にするはずです。
しかも、人間の脳というのは、記憶を整理する時に他の情報との結び付きを手掛かりにします。重要な情報ほど他の多くの情報と結びついていて、より忘れにくくなるものです。

ですから勉強すべき事を漏らさないためにも、記憶の定着を促すためにも、テストに出やすいかどうかを常に気にしてください。

たとえ予想が外れてテストに出なかったとしても、ちゃんと実力が身につきます。教科書から重要なポイントを拾うスキルが高まります。記憶の整理が上手になります。もしかしたら、次の実力テストで、あるいは次の模試で、あるいは入試の本番で出題されるかもしれません。

まとめ

新学期が始まりましたが、もうテストの1か月前です。これから1か月間、次のように勉強に取り組んで、ぜひ良い点を取ってください!

教材の名前を覚える、教材に名前を書く。
目次を確認して、次のテスト範囲を予想する。
情報を集めてテスト範囲の予想を常に修正する。
何がテストに出そうか気にしながら勉強する。

ちなみに「新学期に慣れてから」などと題を先送りにしていると、あとで痛い目にあいますよ。今からやりましょう。テスト前日に徹夜しても無意味です。コツコツやっている生徒にはかないません。

 


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新学期の教材を準備中! 受験生の指導も大詰め!

5教科の教科書のイラスト

こんにちは。塾長の松下です!

今日は国公立大学の前期入学試験です。緊張するなぁ・・・。

さて、2月も今週で終わりですね。あっという間です。

そして3月から新学期のテキストを配り始めます。今の学年のテキストが終わったら配りますからね。

その準備で今日は100冊ほど教材を発注しました。数日後にドカドカと箱が送られてきて、また教室が狭くなるのでしょう。
さらに4月以降に新しく入ってくる生徒の分を、また後で追加注文します。2回に分けないと置く場所が無いんです。

受験勉強の指導や定期テスト後のフォローも大切ですが、そればかりで頭がいっぱいになるわけにはいきません。同時に新学期の準備も考えないと。

受験生の質問が難問になるにつれて成長を感じます。春の新しいチラシのデザインもなかなかの難問です。更に4月からスパイラル学習法をバージョン2.0にアップして指導に磨きをかけます。頭をたくさんたくさん使うので、すぐにお腹が減ります。

常に3つか4つくらいのことを同時に進めるこの時期、私も受験生に負けないくらい体も頭も大変ですよ。

大変なのは君だけじゃない。だから最後まで一緒に頑張ろうぜ!

 


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新学期の準備!面談やってます

三者面談をしている絵

新学期を前に、三者面談をしています。

学年末テストの結果を振り返って、

今後の勉強の仕方、塾でやること、家庭でやること、などを整理します。

特に、これから受験生になる生徒には、

受験勉強の進め方!?

について、

いつ、何を、どうやって、

やるのかを伝授しておきます。

また今年の入試動向を踏まえて、来年はどうなりそうか?

についても軽く触れておきます。

受験で「やってはいけないこと」は、

「知らなかった」

「出遅れた」

です。

それだけは避けましょう。

3月はスタートダッシュを決めつつ、

情報収集にも努め欲しいですね。

お気軽にご相談ください。