【高校数学】数Ｂ 群数列の解き方！　テスト・入試の対策

塾長です。

高校生もテスト期間です。高２までは、やっぱり定期テストが忙しいですね。高２までは辛抱強く基礎固めです。

さて、その高校２年生の今の時期と言えば、数学で苦労する生徒が続出します。数列、軌跡、ベクトル・・・「わかりません！」

特に数列の後半で扱う「群数列」で気持ちが打ち砕かれるようです。そこで今回は群数列について解説します。

群数列とは？

• 数列を、ある規則に従ってグループ「群」に分けたものです。
• 先頭から第ｎ番目の群を「第ｎ群」と言います。

こうに説明をしても「なんのこっちゃ？」となるので、まずは下の例題を見た方が速いです。

群数列の解法

•  「群に分ける前の数列」に戻して考える！
•  「先頭から何番目？」で考える！！

例題を解いた後で「なるほど！」となりますから、例題と解いた後で、もう一度ここを読んでみてください。

例題

１で始まる自然数を１個、２個、４個となるように区切って群に分ける。つまり、第ｎ群の個数が $2^{n-1}$個となるようにする。

$$1\mid 2,3\mid 4,5,6,7\mid 8,9,10,11,12,13,14,15\mid 16,\dots$$

(1) このとき第ｎ群に含まれる数の総和を求めよ。
(2) 1000は第何群の何番目か。

(1)の解答

方針

第ｎ群に含まれる数の総和を $S_n$ とする。
例えばｎ＝４の $S_4$ で考える

$$1\mid 2,3\mid 4,5,6,7\mid \hat{8},9,10,11,12,13,14,\overline{15}\mid 16,\dots$$

第４群の先頭８と末尾１５を考えれば
$$S_4=\sum _{k=8}^{15}k$$
である。そして、

先頭の　８　＝　第１群の項数１ ＋ 第２群の項数２ ＋ 第３群の項数４ ＋ １
末尾の１５　＝　先頭８ ＋ 第４群の項数８ － １

となっている。

よって、第ｎ群の先頭の数が i 、すなわち先頭から i 番目であったとすると、

$$i=\sum _{k=1}^{n-1}{2}^{k-1}+1$$

である。
また、第ｎ項の末尾がｊ 、すなわち先頭から ｊ 番目であったとすると、ｊ は i ＋ 第ｎ群の項数 － １ だから、

$$j=i+2^{n-1}-1$$

である。
以上から、題意は
$$\begin{array}{rcl}{S}_n& =& \sum _{k=i}^{j}k\\ & =& \sum _{k=i}^{i+2^{n-1}-1}k\\ & =& \sum _{k=1}^{i+2^{n-1}-1}k-\sum _{k=1}^{i-1}k\end{array}$$
を求めることである。
そこで、まず i を求める（i を ｎ で表す）。次にそれを上の式にあてはめて計算する。

解

第ｎ群に含まれる項の数は $2^{n-1}$個 であるから、第ｎ－１群までの項の総数は
$$\sum _{k=1}^{n-1}{2}^{k-1}=\frac{2^{n-1}-1}{2-1}=2^{n-1}-1$$

等比数列　$a_n=a_1{r}^{n-1}$　の和の公式

$$S_n=\sum _{k=1}^n{a}_1{r}^{k-1}=a_1\frac{r^n-1}{r-1}$$
を思い出そう！

だから第ｎ群の先頭は、数列全体の先頭から数えて
$$\begin{array}{rcl}i& =& 2^{n-1}-1+1\\ & =& 2^{n-1}\end{array}$$
番目である。よって
$$\begin{array}{rcl}{S}_n& =& \sum _{k=i}^{i+2^{n-1}-1}k=\sum _{k=2^{n-1}}^{2^{n-1}+2^{n-1}-1}k=\sum _{k=2^{n-1}}^{2\times 2^{n-1}-1}k=\sum _{k=2^{n-1}}^{2^n-1}k\\ & =& \sum _{k=1}^{2^n-1}k-\sum _{k=1}^{2^{n-1}-1}k\\ & =& \frac{1}{2}(2^n-1)(2^n-1+1)-\frac{1}{2}(2^{n-1}-1)(2^{n-1}-1+1)\\ & =& \frac{1}{2}(2^n-1)2^n-\frac{1}{2}(2^{n-1}-1)2^{n-1}\\ & =& (2^n-1)2^{n-1}-(2^{n-1}-1)2^{n-2}\\ & =& 2(2^n-1)2^{n-2}-(2^{n-1}-1)2^{n-2}\\ & =& 2(2\times 2^{n-1}-1)2^{n-2}-(2^{n-1}-1)2^{n-2}\\ & =& (4\times 2^{n-1}-2)2^{n-2}-(2^{n-1}-1)2^{n-2}\\ & =& 2^{n-2}\{(4\times 2^{n-1}-2)-(2^{n-1}-1)\}\\ & =& 2^{n-2}(4\times 2^{n-1}-2-2^{n-1}+1)\\ & =& 2^{n-2}(3\times 2^{n-1}-1)\end{array}$$

以上から、

第ｎ群に含まれる数の総和は　$2^{n-2}(3\times 2^{n-1}-1)$

(2)の解答

方針

まず、1000 が第何群にあるかを考える。
前問から、先頭から数えて、第ｎ群の先頭の項は $2^{n-1}$ 番目であり、第ｎ群の末尾の項は $2^{n-1}+2^{n-1}-1=2^n-1$ 番目であるから、
$$2^{n-1}\leqq 1000\leqq 2^n-1$$
なるｎを考えればよい。

解

1000が第ｎ群にあるとすると
$$2^{n-1}\leqq 1000\leqq 2^n-1$$
である。
$$2^9=512$$
$$2^{10}=1024$$
であることから、この不等式を満たすのはｎ＝１０のとき。
すなわち、1000は第10群だとわかる。
第10群の中で、1000は先頭の512から数えて、$1000-512+1=489$ 番目である。

以上をまとめて、

1000は　第10群の489番目

さて、今回は１つの例題を通じて、群数列の解法の流れを解説しました。ここまで理解できたら、再び冒頭に戻って「群数列とは？」の部分を読み返してみてください。それで頭の中が整理できれば幸いです。

他にも次のような例題をよく見ます。

他の例題は？

問

２で始まる偶数数を１個、２個、３個となるように区切って群に分ける。つまり、第ｎ群の個数がｎ個となるようにする。

$$2\mid 4,6\mid 8,10,12\mid 14,16,18,20\mid 22,24,26,28,30\mid 32,\dots$$

第ｎ群の先頭の項をｎの式で表せ

問

１で始まる奇数を１個、３個、５個となるように区切って群に分ける。つまり、第ｎ群の個数が２ｎ－１個となるようにする。

$$1\mid 3,5,7\mid 9,11,13,15,17\mid 19,21,23,25,27,29,31\mid 33,\dots$$

第ｎ群の末尾の項をｎの式で表せ

などです。

群数列をマスターして、定期テストを無事に乗り切ってください。

頑張ってね！

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