【高校数学】数B 群数列の解き方! テスト・入試の対策

群数列わからん女生徒のイラスト

塾長です。

高校生もテスト期間です。高2までは、やっぱり定期テストが忙しいですね。高2までは辛抱強く基礎固めです。

さて、その高校2年生の今の時期と言えば、数学で苦労する生徒が続出します。数列、軌跡、ベクトル・・・「わかりません!」

特に数列の後半で扱う「群数列」で気持ちが打ち砕かれるようです。そこで今回は群数列について解説します。

群数列とは?

  • 数列を、ある規則に従ってグループ「群」に分けたものです。
  • 先頭から第n番目の群を「第n群」と言います。

こうに説明をしても「なんのこっちゃ?」となるので、まずは下の例題を見た方が速いです。

群数列の解法

  •  「群に分ける前の数列」に戻して考える!
  •  「先頭から何番目?」で考える!!

例題を解いた後で「なるほど!」となりますから、例題と解いた後で、もう一度ここを読んでみてください。

例題

1で始まる自然数を1個、2個、4個となるように区切って群に分ける。つまり、第n群の個数が $2^{n-1}$個となるようにする。

$$ 1 \mid 2,3 \mid 4,5,6,7 \mid 8,9,10,11,12,13,14,15 \mid 16,… $$

(1) このとき第n群に含まれる数の総和を求めよ。
(2) 1000は第何群の何番目か。

(1)の解答

方針

第n群に含まれる数の総和を $S_{n}$ とする。
例えばn=4の $S_{4}$ で考える

$$ 1 \mid 2,3 \mid 4,5,6,7 \mid \hat{8},9,10,11,12,13,14,\bar{15} \mid 16,… $$

第4群の先頭8と末尾15を考えれば
$$S_{4}=\sum_{k=8}^{15}k$$
である。そして、

先頭の 8 = 第1群の項数1 + 第2群の項数2 + 第3群の項数4 + 1
末尾の15 = 先頭8 + 第4群の項数8 - 1

となっている。

よって、第n群の先頭の数が i 、すなわち先頭から i 番目であったとすると、

$$i=\sum_{k=1}^{n-1}2^{k-1}+1$$

である。
また、第n項の末尾がj 、すなわち先頭から j 番目であったとすると、j は i + 第n群の項数 - 1 だから、

$$j=i+2^{n-1}-1$$

である。
以上から、題意は
$$\begin{eqnarray}
S_{n}&=&\sum_{k=i}^{j}k\\
&=&\sum_{k=i}^{i+2^{n-1}-1}k\\
&=&\sum_{k=1}^{i+2^{n-1}-1}k-\sum_{k=1}^{i-1}k
\end{eqnarray}$$
を求めることである。
そこで、まず i を求める(i を n で表す)。次にそれを上の式にあてはめて計算する。

第n群に含まれる項の数は $2^{n-1}$個 であるから、第n-1群までの項の総数は
$$\sum_{k=1}^{n-1}2^{k-1}=\frac{2^{n-1}-1}{2-1}=2^{n-1}-1$$

等比数列 $a_n=a_{1}r^{n-1}$ の和の公式

$$ S_n = \sum_{k=1}^{n}a_{1}r^{k-1} = a_{1}\frac{r^{n}-1}{r-1} $$
を思い出そう!

だから第n群の先頭は、数列全体の先頭から数えて
$$\begin{eqnarray}
i&=&2^{n-1}-1+1\\
&=&2^{n-1}
\end{eqnarray}$$
番目である。よって
$$\begin{eqnarray}
S_{n}&=&\sum_{k=i}^{i+2^{n-1}-1}k=\sum_{k=2^{n-1}}^{2^{n-1}+2^{n-1}-1}k=\sum_{k=2^{n-1}}^{2\times 2^{n-1}-1}k=\sum_{k=2^{n-1}}^{2^n-1}k\\
&=&\sum_{k=1}^{2^n-1}k-\sum_{k=1}^{2^{n-1}-1}k\\
&=&\frac{1}{2}(2^n-1)(2^n-1+1)-\frac{1}{2}(2^{n-1}-1)(2^{n-1}-1+1)\\
&=&\frac{1}{2}(2^n-1)2^n-\frac{1}{2}(2^{n-1}-1)2^{n-1}\\
&=&(2^n-1)2^{n-1}-(2^{n-1}-1)2^{n-2}\\
&=&2(2^n-1)2^{n-2}-(2^{n-1}-1)2^{n-2}\\
&=&2(2\times 2^{n-1}-1)2^{n-2}-(2^{n-1}-1)2^{n-2}\\
&=&(4\times 2^{n-1}-2)2^{n-2}-(2^{n-1}-1)2^{n-2}\\
&=&2^{n-2}\{(4\times 2^{n-1}-2)-(2^{n-1}-1)\}\\
&=&2^{n-2}(4\times 2^{n-1}-2-2^{n-1}+1)\\
&=&2^{n-2}(3\times 2^{n-1}-1)
\end{eqnarray}$$

以上から、

第n群に含まれる数の総和は $2^{n-2}(3\times 2^{n-1}-1)$

(2)の解答

方針

まず、1000 が第何群にあるかを考える。
前問から、先頭から数えて、第n群の先頭の項は $2^{n-1}$ 番目であり、第n群の末尾の項は $2^{n-1}+2^{n-1}-1=2^{n}-1$ 番目であるから、
$$ 2^{n-1} \leqq 1000 \leqq 2^{n}-1$$
なるnを考えればよい。

1000が第n群にあるとすると
$$ 2^{n-1} \leqq 1000 \leqq 2^{n}-1$$
である。
$$ 2^{9}=512 $$
$$ 2^{10}=1024 $$
であることから、この不等式を満たすのはn=10のとき。
すなわち、1000は第10群だとわかる。
第10群の中で、1000は先頭の512から数えて、$1000-512+1=489$ 番目である。

以上をまとめて、

1000は 第10群の489番目

 

さて、今回は1つの例題を通じて、群数列の解法の流れを解説しました。ここまで理解できたら、再び冒頭に戻って「群数列とは?」の部分を読み返してみてください。それで頭の中が整理できれば幸いです。

他にも次のような例題をよく見ます。

他の例題は?

2で始まる偶数数を1個、2個、3個となるように区切って群に分ける。つまり、第n群の個数がn個となるようにする。

$$ 2 \mid 4,6 \mid 8,10,12 \mid 14,16,18,20 \mid 22,24,26,28,30 \mid 32,… $$

第n群の先頭の項をnの式で表せ

1で始まる奇数を1個、3個、5個となるように区切って群に分ける。つまり、第n群の個数が2n-1個となるようにする。

$$ 1 \mid 3,5,7 \mid 9,11,13,15,17 \mid 19,21,23,25,27,29,31 \mid 33,… $$

第n群の末尾の項をnの式で表せ

などです。

 

群数列をマスターして、定期テストを無事に乗り切ってください。

頑張ってね!

 


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