塾長です。
高校生もテスト期間です。高２までは、やっぱり定期テストが忙しいですね。高２までは辛抱強く基礎固めです。
さて、その高校２年生の今の時期と言えば、数学で苦労する生徒が続出します。数列、軌跡、ベクトル・・・「わかりません！」
特に数列の後半で扱う「群数列」で気持ちが打ち砕かれるようです。そこで今回は群数列について解説します。
Contents
群数列とは？
- 数列を、ある規則に従ってグループ「群」に分けたものです。
- 先頭から第ｎ番目の群を「第ｎ群」と言います。
こうに説明をしても「なんのこっちゃ？」となるので、まずは下の例題を見た方が速いです。
群数列の解法
- 「群に分ける前の数列」に戻して考える！
- 「先頭から何番目？」で考える！！
例題を解いた後で「なるほど！」となりますから、例題と解いた後で、もう一度ここを読んでみてください。
例題
１で始まる自然数を１個、２個、４個となるように区切って群に分ける。つまり、第ｎ群の個数が $2^{n-1}$個となるようにする。
$$ 1 \mid 2,3 \mid 4,5,6,7 \mid 8,9,10,11,12,13,14,15 \mid 16,… $$
(1) このとき第ｎ群に含まれる数の総和を求めよ。
(2) 1000は第何群の何番目か。
(1)の解答
方針
第ｎ群に含まれる数の総和を $S_{n}$ とする。
例えばｎ＝４の $S_{4}$ で考える
$$ 1 \mid 2,3 \mid 4,5,6,7 \mid \hat{8},9,10,11,12,13,14,\bar{15} \mid 16,… $$
第４群の先頭８と末尾１５を考えれば
$$S_{4}=\sum_{k=8}^{15}k$$
である。そして、
先頭の ８ ＝ 第１群の項数１ ＋ 第２群の項数２ ＋ 第３群の項数４ ＋ １
末尾の１５ ＝ 先頭８ ＋ 第４群の項数８ － １
となっている。
よって、第ｎ群の先頭の数が i 、すなわち先頭から i 番目であったとすると、
$$i=\sum_{k=1}^{n-1}2^{k-1}+1$$
である。
また、第ｎ項の末尾がｊ 、すなわち先頭から ｊ 番目であったとすると、ｊ は i ＋ 第ｎ群の項数 － １ だから、
$$j=i+2^{n-1}-1$$
である。
以上から、題意は
$$\begin{eqnarray}
S_{n}&=&\sum_{k=i}^{j}k\\
&=&\sum_{k=i}^{i+2^{n-1}-1}k\\
&=&\sum_{k=1}^{i+2^{n-1}-1}k-\sum_{k=1}^{i-1}k
\end{eqnarray}$$
を求めることである。
そこで、まず i を求める（i を ｎ で表す）。次にそれを上の式にあてはめて計算する。
解
第ｎ群に含まれる項の数は $2^{n-1}$個 であるから、第ｎ－１群までの項の総数は
$$\sum_{k=1}^{n-1}2^{k-1}=\frac{2^{n-1}-1}{2-1}=2^{n-1}-1$$
等比数列 $a_n=a_{1}r^{n-1}$ の和の公式
$$ S_n = \sum_{k=1}^{n}a_{1}r^{k-1} = a_{1}\frac{r^{n}-1}{r-1} $$
を思い出そう！
だから第ｎ群の先頭は、数列全体の先頭から数えて
$$\begin{eqnarray}
i&=&2^{n-1}-1+1\\
&=&2^{n-1}
\end{eqnarray}$$
番目である。よって
$$\begin{eqnarray}
S_{n}&=&\sum_{k=i}^{i+2^{n-1}-1}k=\sum_{k=2^{n-1}}^{2^{n-1}+2^{n-1}-1}k=\sum_{k=2^{n-1}}^{2\times 2^{n-1}-1}k=\sum_{k=2^{n-1}}^{2^n-1}k\\
&=&\sum_{k=1}^{2^n-1}k-\sum_{k=1}^{2^{n-1}-1}k\\
&=&\frac{1}{2}(2^n-1)(2^n-1+1)-\frac{1}{2}(2^{n-1}-1)(2^{n-1}-1+1)\\
&=&\frac{1}{2}(2^n-1)2^n-\frac{1}{2}(2^{n-1}-1)2^{n-1}\\
&=&(2^n-1)2^{n-1}-(2^{n-1}-1)2^{n-2}\\
&=&2(2^n-1)2^{n-2}-(2^{n-1}-1)2^{n-2}\\
&=&2(2\times 2^{n-1}-1)2^{n-2}-(2^{n-1}-1)2^{n-2}\\
&=&(4\times 2^{n-1}-2)2^{n-2}-(2^{n-1}-1)2^{n-2}\\
&=&2^{n-2}\{(4\times 2^{n-1}-2)-(2^{n-1}-1)\}\\
&=&2^{n-2}(4\times 2^{n-1}-2-2^{n-1}+1)\\
&=&2^{n-2}(3\times 2^{n-1}-1)
\end{eqnarray}$$
以上から、
第ｎ群に含まれる数の総和は $2^{n-2}(3\times 2^{n-1}-1)$
(2)の解答
方針
まず、1000 が第何群にあるかを考える。
前問から、先頭から数えて、第ｎ群の先頭の項は $2^{n-1}$ 番目であり、第ｎ群の末尾の項は $2^{n-1}+2^{n-1}-1=2^{n}-1$ 番目であるから、
$$ 2^{n-1} \leqq 1000 \leqq 2^{n}-1$$
なるｎを考えればよい。
解
1000が第ｎ群にあるとすると
$$ 2^{n-1} \leqq 1000 \leqq 2^{n}-1$$
である。
$$ 2^{9}=512 $$
$$ 2^{10}=1024 $$
であることから、この不等式を満たすのはｎ＝１０のとき。
すなわち、1000は第10群だとわかる。
第10群の中で、1000は先頭の512から数えて、$1000-512+1=489$ 番目である。
以上をまとめて、
1000は 第10群の489番目
さて、今回は１つの例題を通じて、群数列の解法の流れを解説しました。ここまで理解できたら、再び冒頭に戻って「群数列とは？」の部分を読み返してみてください。それで頭の中が整理できれば幸いです。
他にも次のような例題をよく見ます。
他の例題は？
問
２で始まる偶数数を１個、２個、３個となるように区切って群に分ける。つまり、第ｎ群の個数がｎ個となるようにする。
$$ 2 \mid 4,6 \mid 8,10,12 \mid 14,16,18,20 \mid 22,24,26,28,30 \mid 32,… $$
第ｎ群の先頭の項をｎの式で表せ
問
１で始まる奇数を１個、３個、５個となるように区切って群に分ける。つまり、第ｎ群の個数が２ｎ－１個となるようにする。
$$ 1 \mid 3,5,7 \mid 9,11,13,15,17 \mid 19,21,23,25,27,29,31 \mid 33,… $$
第ｎ群の末尾の項をｎの式で表せ
などです。
群数列をマスターして、定期テストを無事に乗り切ってください。
頑張ってね！
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