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公立高校入試

愛知県公立高校入試 2021B 数学を全部解説してみたⅡ

愛知県公立高校入試2021年度B数学全解説

塾長です。

昨日は公立高校入試B日程の学科試験でした。今日の面接試験で愛知県の高校入試がひと段落します。

さて前回に引き続き、B日程の数学についても解説をつくりました。

中学2年生までの知識でも半分くらいは解ける問題です。あとの半分は中学3年生になってからチャレンジしてみましょう。

さっそく植田中学では、2年生にA日程の問題を解かせて授業中に解説してくれたみたいです。流石です。
学校の授業中で消化しきれなかった入試問題について、生徒たちから質問が来るようになりました。このブログが家庭学習にも役立てば幸いです。

そのため、できるだけ発想や考え方の過程についても書いておきました。

 

【1】次の(1)から(10)までの問に答えなさい。

(1)【中1】 $3−7\times (5−8)$  を計算しなさい。

$3−7\times (5−8)$
$=3-7\times (-3)$
$=3+21=24$

 

(2)【中2】 $27x^{2}y\div (-9xy)\times (-3x)$  を計算しなさい。

$27x^{2}y\div (-9xy)\times (-3x)$
$=\frac{27x^{2}y\times (-3x)}{-9xy}$
$=\frac{27\times 3\times x^{3}y}{9xy}$
$=9x^{2}$

 

(3)【中3】 $\sqrt{48}-3\sqrt{6}\div\sqrt{2}$  を計算しなさい。

$\sqrt{48}-3\sqrt{6}\div\sqrt{2}$
$=\sqrt{4^{2}\times 3}-3\sqrt{\frac{6}{2}}$
$=4\sqrt{3}-3\sqrt{3}$
$=\sqrt{3}$

 

(4)【中3】 $(x+1)(x-8)+5x$  を因数分解しなさい。

$(x+1)(x-8)+5x$
$=x^{2}+(1-8)x-8+5x$
$=x^{2}-7x+5x-8$
$=x^{2}-2x-8$
$=(x-4)(x+2)$

 

(5)【中3】 方程式 $(x+2)^{2}=7$  を解きなさい。

$(x+2)^{2}=7$
$x+2=\pm \sqrt{7}$
$x=-2\pm \sqrt{7}$

 

(6)【中1】 $\ a\ $個のあめを10人に$\ b\ $個ずつ配ったところ、$\ c\ $個余った。

この数量の関係を等式に表しなさい。

$a=10b+c$
($10b+c=a$)
($b=\frac{a-c}{10}$)
($\frac{a-c}{10}=b$)
($c=a-10b$)
($a-10b=c$)
($10b=a-c$)
($a-c=10b$)

※「$a\ を\ b,\ c\ $で表せ」などの指定がないため、上記のどれでも正解

 

(7)【中1】 男子生徒8人の反復横跳びの記録は、次のようであった。

$$53\ 45\ 51\ 57\ 49\ 42\ 50\ 45\ (単位:回)$$

この記録の代表値について正しく述べたものを、次のアからエまでの中からすべて選んで、そのかな符号を書きなさい。

ア 平均値は、49回である。
イ 中央値は、50回である。
ウ 最頻値は、57回である。
エ 範囲は、15回である。

ア 平均値は、$\frac{(53+45+51+57+49+42+50+45)}{8}=\frac{392}{8}=49\ $回だから〇
イ 中央値は、資料を並び替えれば$\ 42\ 45\ 45\ 49\ 50\ 51\ 53\ 57\ $であるから$\ \frac{49+50}{2}=49.5\ $回となって×
ウ 最頻値は、$\ 45\ $回だから×
エ 範囲は、最大値-最小値$=57-42=15\ $回であるから〇

以上から
ア、エ

 

(8)【中2】 大小2つのさいころを同時に投げる時、大きいさいころの目の数が小さいさいころの目の数の2倍以上となる確率を求めなさい。

全ての出目の組み合わせについて表で確認すれば、下図のようになる。

愛知県公立高校2021年3月B日程数学_問1(8)_表

よって、$\frac{9}{36}=\frac{1}{4}$

 

(9)【中3】 関数$\ y=ax^{2}\ (a\ は定数)$と$\ y=6x+5\ $について、$\ x\ $の値が1から4まで増加するときの変化の割合が同じであるとき、$\ a\ $の値を求めなさい。

<解法1>
定義通りに式を立てる。
関数$\ y=ax^{2}\ $の変化の割合は$\ \frac{y\ の増加量}{x\ の増加量}\ $であり、$\ y=6x+5\ $のそれは傾き$\ 6\ $のことであるから、
$\frac{a\times 4^{2}-a\times 1^{2}}{4-1}=6$
$\frac{16a-a}{3}=6$
$\frac{15a}{3}=6$
$5a=6$
$a=\frac{5}{6}$

<解法2>
関数$\ y=ax^{2}\ $の変化の割合は、公式を使えば$\ (1+4)a=5a\ $であるから、
$5a=6$
$a=\frac{5}{6}$

 

(10)【中3】 図で、Dは$\triangle ABC\ $の辺AB上の点で、∠DBC=∠ACDである。

AB=$6 cm\ $、AC=$5 cm\ $のとき、線分ADの長さは何$cm\ $か、求めなさい。

愛知県公立高校2021年3月B日程数学_問1(10)

題意から分かることを図に書き込む。

愛知県公立高校2021年3月B日程数学_問1(10)-2

すると、$\triangle ABC\ $と$\triangle ACD\ $が相似であると分かる。
なぜなら、共通の角だから∠BAC=∠CADとなり、題意の∠DBC=∠ACDと合わせて「2角が等しい」からである。
$\triangle ACD\ $の三角形の向きを左右ひっくり返して向きをそろえて重ねると、もっと分かりやすい。

愛知県公立高校2021年3月B日程数学_問1(10)-3

よって、求める線分ADを$\ x\ $とすれば、
$6:5=5:x$
$6x=25$
$x=\frac{25}{6}\ cm$

 

【2】次の(1)から(3)までの問に答えなさい。

(1)【中2】 図で、Oは原点、A、Bは関数$\ y=\frac{5}{x}\ $のグラフ上の点で、点A、Bの$\ x\ $座標はそれぞれ1、3であり、C、Dは$\ x\ $軸上の点で、直線AC、BDはいずれも$\ y\ $軸と平行である。また、Eは線分ACとBOとの交点である。

四角形ECDBの面積は$\triangle$AOBの面積の何倍か、求めなさい。

愛知県公立高校2021年3月B日程数学_問2(1)

題意から分かる値を図に書き込む。

愛知県公立高校2021年3月B日程数学_問2(1)-2

AとBの座標は、$\ y=\frac{5}{x}\ $に$x=1,\ 3\ $をそれぞれ代入して求められる。
またEの座標は、直線OBの変化の割合を計算すれば求められる。それは
$\ \frac{5}{3}\div 3$
$=\frac{5}{3}\times \frac{1}{3}$
$=\frac{5\times 1}{3\times 3}$
$=\frac{5}{9}$
よって直線OBの式は
$y=\frac{5}{9}x$
とわかる。これに$\ x=1\ $を代入すればよい。

(※)「変化の割合」とは「$\ x\ $が1増加した時の$\ y\ $の増加量」だから、計算しなくても$\ \frac{5}{9}\ $がそのままEの高さになると分かる。
(※)$\triangle$OBDと$\triangle$AECの相似比から$\ BD\times \frac{1}{3}\ $と計算してもよい。

図から、BD=$\frac{5}{3}$、ECD=$\frac{5}{9}$、CD=2であるから、四角形ECDBの面積は、台形の面積の公式より
$(\frac{5}{3}+\frac{5}{9})\times 2\times{1}{2}$
$=\frac{15}{9}+\frac{5}{9}$
$=\frac{20}{9}$

$\triangle$AOB=四角形CDBA+$\triangle$OCA-$\triangle$ODB
$=(\frac{5}{3}+5)\times 2\times \frac{1}{2}+5\times 1\times\frac{1}{2}-3\times\frac{5}{3}\times \frac{1}{2}$
$=\frac{5}{3}+\frac{15}{3}+\frac{5}{2}-\frac{5}{2}$
$=\frac{10}{6}+\frac{30}{6}+\frac{15}{6}-\frac{15}{6}$
$=\frac{40}{6}$
$=\frac{20}{3}$

以上から

$\frac{20}{9}\div \frac{20}{3}$
$=\frac{20}{9}\times \frac{3}{20}$
$=\frac{1}{3}\ $倍

―――【割合の復習】―――
「〇は△の◇倍」⇔「〇÷△=◇」
だったから、
「四角形ECDBの面積は$\triangle$AOBの面積の何倍か」

[四角形ECDBの面積]÷[$\triangle$AOBの面積]
である。

 

(2)【中1】 次の文章は、連続する2つの自然数の間にある、分母が5で分子が自然数である分数の和について述べたものである。

文章中の【Ⅰ】、【Ⅱ】、【Ⅲ】にあてはまる数をそれぞれ書きなさい。また、【Ⅳ】にあてはまる式を書きなさい。

愛知県公立高校2021年3月B日程数学_問2(2)

まず問題文の意味を理解していこう。

「連続する2つの自然数の間にある、分母が5で分子が自然数である分数の和」

さらりと読んだだけでは何を言っているのか分からない。数学には数学専用の読解力が必要で、特にこういう問題はその訓練量が試される。こういうときは手を動かして、具体的な例で考えてみるに限る。
そして問題文の□囲みの中に、その様子が書かれているので、言われた通りに順を追って考えていこう。

まず「からまでの間」で考えてみる。しかも「分母が5」であることに注意する。
まず1を分数にすると$\ \frac{5}{5}\ $で、2を分数にすると$\ \frac{2\times 5}{5}\ $である。
よって「1と2の間で分母が5の分数の和」は、
$\ \frac{5}{5}+\frac{6}{5}+\frac{7}{5}+\frac{8}{5}+\frac{9}{5}+\frac{10}{5}\ $
である。
いや、ちがう。
」だから両端を含んではいけない
だから、
$\ \frac{6}{5}+\frac{7}{5}+\frac{8}{5}+\frac{9}{5}\ $
となっている。
ここで分母がすべて5なのだから、分母は1つにまとめられる。要するに
$\ \frac{6+7+8+9}{5}\ $
とすれば分子だけ考えれば良くなる。この時点で分子の数の並びが、
×5と×5の間(ただし1×5と2×5自身は含まない!)」
となっていることに気付けば、あとは楽になる。
ここまでが第1関門。

次に問題の「からまでの間」。上と同様に考えれば、分子の並びは
×5と×5の間(ただし2×5と3×5自身は含まない!)」つまり
「10と15の間(ただし10と15自身は含まない!)」
となるから、
$\frac{11+12+13+14}{5}$
$=\frac{50}{5}$
$=10\ $【Ⅰ】

ちなみに分子の計算を
$11+12+13+14$
$=10+10+10+10+1+2+3+4$
$=10*4+(1+4)+(2+3)$
$=40+10$
$=50$
などと工夫できたら暗算が楽になる。

同様に「からまでの間」では分子が「16から19」だから
$\frac{16+17+18+19}{5}$
$\frac{10\times 4+(6+9)+(7+8)}{5}$
$=\frac{40+15+15}{5}$
$=\frac{70}{5}$
$=14\ $【Ⅱ】

からまでの間」では分子が「21から24」だから
$\frac{21+22+23+24}{5}$
$\frac{20\times 4+(1+4)+(2+3)}{5}$
$=\frac{80+5+5}{5}$
$=\frac{90}{5}$
$=18\ $【Ⅲ】

ここで分子の項は4つだけであることに注意しよう。よって、

「$\ n,\ (n+1)\ $の間」のときは
$\frac{n\times5 +1\ +\ n\times 5+2\ +\ n\times 5+3\ +\ n\times 5+4\ }{5}$
$=\frac{n\times5 \times 4+(1+4)+(2+3)}{5}$
$=\frac{20n+5+5}{5}$
$=\frac{20n+10}{5}$
$=\frac{5(4n+2)}{5}$
$=4n+2\ $【Ⅳ】

 

(3)【中2】 Aさんが使っているスマートフォンは、電池残量が百分率で表示され、0%になると使用できない。このスマートフォンは、充電をしながら動画を視聴するとき、電池残量は4分あたり1%増加し、充電せずに動画を視聴するとき、電池残量は一定の割合で減少する。

Aさんは、スマートフォンで1本50分の数学講座の動画を2本視聴することにした。

Aさんは、スマートフォンの充電をしながら1本目の動画を視聴しはじめ、動画の視聴をはじめてから20分後に充電をやめ、続けて充電せずに動画を視聴したところ、1本目の動画の最後まで視聴できた。

スマートフォンの電池残量が、Aさんが1本目の動画の視聴をはじめたときは25%、1本目の動画の最後まで視聴したときはちょうど0%であったとき、次の①、②の問に答えなさい。

 

①【中2】 Aさんが1本目の動画を視聴しはじめてから$\ x\ $分後の電池残量を$\ y\ $%とする。Aさんが1本目の動画の視聴をはじめてから1本目の動画の最後まで視聴するまでの、$\ x\ $と$\ y\ $の関係をグラフに表しなさい。

愛知県公立高校2021年3月B日程数学_問2(3)

これまた情報量が多いので、必要な情報を探しながらグラフに描いていく。

ちなみに、グラフは$\ x\ $軸に沿って左から右へ描いていくのが基本である(関数は$\ x\ $を決めたら$\ y\ $が1つ定まる、という定義であり、その関数の様子を図示したのがグラフだから)。$\ x\ $軸は経過時間(分)を表しているから、まず0分の時点から考えよう。

文脈から0分時点の電池残量は25%だったとあるので(0,25)に印をつけよう。

次に傾き(変化の割合)を知る必要がある。そうしなければ、右のどこの点を打てるのかが決まらない。

文脈から0~20分は充電しながら視聴していたので、電池が増減する変化の割合は、「電池残量は4分あたり1%増加」があてはまる。
「4分で+1%」ということは「20分で+5%」であるから、電池残量は20分目では30%になっているはずである。よって(20,30)に印をつけよう。

そして「1本目の動画の最後まで視聴したときはちょうど0%」とある。動画の長さは50分だったらか(50,0)に印をつけよう。

愛知県公立高校2021年3月B日程数学_問2(3)-2

これらを線で結べばよい。

愛知県公立高校2021年3月B日程数学_問2(3)-3

 

②【中2】 Aさんが1本目の動画の最後まで視聴したのち、2本目の動画の最後まで視聴するためには、2本目の動画はスマートフォンの充電をしながら何分以上視聴すればよいか、求めなさい。

これは逆算で考えていく。
つまり2本目の動画を見終わったときに電池残量が0%になるのが最低条件であるから、そこから逆算する。

上の問から、充電せずに動画を視聴した場合の変化の仕方は、グラフの20~50分の部分であった。2本目の動画も50分間だから、この部分はこのまま使える。

愛知県公立高校2021年3月B日程数学_問2(3)-4

そして2本目の動画を見はじめた時は電池残量が0%である。つまり0分目は0%から出発する。つまり原点から出発する。
充電しながら見るのだから、変化の割合は「電池残量は4分あたり1%増加」。これは「20分で+5%」だったから、20分ごとに5%ずつ上昇するグラフになる。

愛知県公立高校2021年3月B日程数学_問2(3)-5

よって、赤いグラフと青いグラフの交点のときが求める時間である。計算せずともグラフから読み取れば40分である。よって

40分以上

 

【3】次の(1)から(3)までの問に答えなさい。

ただし、答えは根号をつけたままでよい。

(1)【中3】 図で、C、DはABを直径とする円Oの周上の点、Eは直線ABと点Cにおける円Oの接線との交点である。

∠CEB=$42^{\circ}\ $のとき、∠CDAの大きさは何度か、求めなさい。

愛知県公立高校2021年3月B日程数学_問3(1)

―――<解法1>―――

※ この解法1は「個別学習のセルモ 日進西小学校前教室」の西尾先生からご提供ただきました。ぜひ西尾先生のブログもご参照くださいませ。

接線が引かれているので、円の接線の性質「中心から接点に引いた半径は、接線と垂直」を使えないだろうかと考えて補助線を引いてみる。

愛知県公立高校2021年3月B日程数学_問3(1)-4

外角の公式より、∠AOC=∠OCE+∠CEO=$90^{\circ}+42^{\circ}=132^{\circ}$
円周角の定理「中心角は円周角の2倍」より、
∠CDA=∠AOC÷2=$132^{\circ}\div 2=66^{\circ}$

 

―――<解法2>―――

求める∠CDAは円周角であるから、円周角の定理を使うことを考える。そこでDを円周上のどこかに移動すると解けるかもしれないと考えて補助線を引いてみる。

愛知県公立高校2021年3月B日程数学_問3(1)-2

またCが接点であるから、円の接線の性質「中心から接点に引いた半径は、接線と垂直」を使えないだろうかと考えて補助線を引いてみる。
すると、OBとOCはともに半径だから二等辺三角形ができる。「二等辺三角形は底角が等しい」が使えそうである。

愛知県公立高校2021年3月B日程数学_問3(1)-3

$\triangle$OECについて、
∠COE$=180^{\circ}-42^{\circ}-90^{\circ}=48^{\circ}\ $だから、
∠OBC=$(180^{\circ}-48^{\circ})\div 2=66^{\circ}$

∠CDA=∠OBC=$66^{\circ}$

 

―――<解法3>―――

※ この解法3および下の図は、大阪の「あおい塾」の神田先生からご提供いただきました。大阪方面の方は神田先生のブログもぜひチェックしてみてください。

∠ADCが円周角であるから、Dを円周上で動かして利用しやすくなるように考える。角度がわっている∠BECに近づけたら何かあるだろうと考えて、DをBまで動かしてみよう。
そう考えて補助線BCをひく。
次に「接弦定理」を思い出して、これを利用してみようと思いつく。そう考えて補助線ACをひく。

愛知県公立高校2021年3月B日程数学_問3(1)-5

円周角の定理から∠ADC=∠ABC、かつ、∠ACB=$90^{\circ}$
接弦定理より∠ACF=∠ABC

まず接線上の角度の合計は$180^{\circ}$だから、
[緑の〇]+$90^{\circ}$+[赤の〇]=$180^{\circ}$
整理して
[緑の〇]+[赤の〇]=$90^{\circ}$ …①
∠ABCが$\triangle$BECの外角だらか、外角の公式を使って
[緑の〇]+$42^{\circ}$=[赤の〇] …②

①と②を連立方程式のように解けばよい。[赤の〇]を出すのが目的だから①-②で[緑の〇]を消すのが良い。
式①-式②より
[赤の〇]-$42^{\circ}$=$90^{\circ}$-[赤の〇]
2×[赤の〇]=$90^{\circ}+42^{\circ}$=$132^{\circ}$
[赤の〇]=$66^{\circ}$

 

(2)【中3】 図で、四角形ABCDは正方形であり、Eは辺DCの中点、Fは線分AEの中点、Gは線分FBの中点である。

AB=$8\ cm\ $のとき、次の①、②の問に答えなさい。

愛知県公立高校2021年3月B日程数学_問3(2)

 

①【中3】 線分GCの長さは何$\ cm\ $か、求めなさい。

―――<解法1>―――

やたらと中点が多いので「中点連結定理」を使えないだろうかと考える。
中点連結定理に必要なのは、

①三角形
②1辺に中点
③中点から伸びる底辺に平行な線

の3つである。
これらの条件をGCの周りでそろえていけば解けそうである。

まず②としてFBの中点Gがある。すると③はGCとなりそうだ。ならばFEが底辺になりそうだが、①の形が未完成。
そこで次のように補助線を引く。

愛知県公立高校2021年3月B日程数学_問3(2)-5

AEをEの方へ延長し、またBCをCの方へ延長し、その交点をHとした。
するとパッと見は$\triangle$BFHで中点連結定理のような図形になった。本当にそうか確かめよう。

まず、$\triangle$ADE≡$\triangle$HCE
となるから、AD=CH=BCとなる。つまりCはBHの中点と分かる。
よって中点連結定理より、$GC\ //\ FH$であり、同時に
$GC=\frac{1}{2}FH$
である。
確かに中点連結定理の形になっている。

だから、あとはFHを求めればよい。

ここで分かっている長さを確認すると、

愛知県公立高校2021年3月B日程数学_問3(2)-6

$\triangle$ADEについて、三平方の定理を使って、
AE=$\sqrt{8^{2}+4^{2}}=\sqrt{64+16}=\sqrt{16(4+1)}=4\sqrt{5}$
よって
HE=$4\sqrt{5}$
FはAEの中点だから
AF=FE=$\frac{1}{2}\times 4\sqrt{5}=2\sqrt{5}$
よって
FH=FE+HE=$2\sqrt{5}+4\sqrt{5}=6\sqrt{5}$

以上から

$GC=\frac{1}{2}FH=\frac{1}{2}\times 6\sqrt{5}=3\sqrt{5}\ cm$

 

―――<解法2>―――

まず題意から分かる情報を書き込む。

愛知県公立高校2021年3月B日程数学_問3(2)-2

斜めの線の長さと言えば三平方の定理であるが、求める線分GCを含む$\triangle$GBCは直角三角形かどうかわからない。
そこで補助線を引いて直角三角形をつくり出そうと考える。
また、この問題では「中点」がやたらと多いので「中点連結定理」が使えないかとも考える。
このような思案を経て次のような補助線を引く。

愛知県公立高校2021年3月B日程数学_問3(2)-3

$\triangle$AEDに中点連結定理を用いれば、FH=AD×$\frac{1}{2}$=4であり、EH=HD=2である。
よってCH=8-2=6だから、CI=IH=3となる。

CGを求めるために線分GIの長さが必要になる。それを知るために、さらに補助線を引く。

愛知県公立高校2021年3月B日程数学_問3(2)-4

$\triangle$AEDに中点連結定理を用いれば、AJ=JD=4
よってBK=AJ=4
今度は$\triangle$FBKに中点連結定理を用いれば、
GL=BK×$\frac{1}{2}$=2
FH=LI=4だから
GI=2+4=6

以上から$\triangle$GCIに三平方の定理を用いて、
$GC=\sqrt{6^{2}+3^{2}}$
$=\sqrt{45}$
$=3\sqrt{5}$

 

―――<解法3>―――

※ この解法3は「個別学習のセルモ 日進西小学校前教室」の西尾先生からご提供ただきました。ぜひ西尾先生のブログもご参照くださいませ。
※ この解法がおそらく最短かつエレガントかもしれません。ただし厳密な証明には高校数学の「ベクトル」の知識が必要です。

辺ABの中点をHとし、線分HGを書き込みます。

愛知県公立高校2021年3月B日程数学_問3(2)-8

AH//EC、かつ、AH=EC、だから四角形AHCEは平行四辺形
よって
AE=HC

もしもHGとGCが一直線上にあれば、
GC=HC-HG
で求まる。

まず中点連結定理より
HG//AF
HG=$\frac{1}{2}AF$ …①
よって
HG//AE//HC
だからHGとGCは同一直線上にある(※)

三平方の定理より
AE=$\sqrt{8^{2}+4^{2}}=4\sqrt{5}$
AEの中点がFだから
AF=$\frac{1}{2}AE=\frac{1}{2}\times 4\sqrt{5}=2\sqrt{5}$
①より
HG=$\frac{1}{2}AF=\frac{1}{2}\times 2\sqrt{5}=\sqrt{5}$
よって
GC=HC-HG=AE-HG
$=4\sqrt{5}-\sqrt{5}=3\sqrt{5}$

(※)注意事項!

HGとGCが同じ直線上?

HG//AE//HC から HGとHCが同一直線上にあることが言えますが、厳密には、まだHGとGCが同じ直線上であるとは言えません。
しかし作図をすれば、どうやってもHGとGCが同じ直線上になるようにしか描けません。
ですから「AGCは一直線だ!」と分かったのが直感的だったとしても、解ければよいと思います。
式を使って厳密な証明をするには、高校2年生の「ベクトル」の知識が必要です。

 

②【中3】 四角形FGCEの面積は何$\ cm^2\ $か、求めなさい。

―――<① を解法1 で解いた場合>―――

四角形FGCEの面積=$\triangle$FBH-$\triangle$GBC-$\triangle$ECH
で求めることにする。
$\triangle$FBHの面積を求めるためには、その高さを求めたい。そこで次のように補助線を引く。

愛知県公立高校2021年3月B日程数学_問3(2)-7

$\triangle$ABH∽$\triangle$FIH
である。また
$BI=8\div 2=4\ $
$IH=BH-BI=16-4=12$
であるから、相似比は
$16:12=4:3$
である。よって、
FI=$AB\times \frac{3}{4}=8\times \frac{3}{4}=6$

以上から
$\triangle$FBH=$\frac{1}{2}\times BH\times FI=\frac{1}{2}\times 16\times 6=48$

$\triangle$BCGと$\triangle$BHFの相似比は$\ 1:2\ $だから面積比は$\ 1:4\ $
よって
$\triangle$BCG=$\frac{1}{4}\times \triangle FBH=\frac{1}{4}\times 48=12$
また
$\triangle$ECH=$\frac{1}{2}\times 8\times 4=16$

以上から

四角形FGCEの面積=$\triangle$FBH-$\triangle$GBC-$\triangle$ECH
$=48-12-16=20\ cm^{2}$

 

―――<① を解法2 で解いた場合>―――

四角形FGCEの面積=$\triangle$FGL+台形FLIE+$\triangle$GCI
$EI=HI-HE=3-2=1$
だから、
$=\frac{1}{2}\times 2\times 3+\frac{1}{2}\times (1+3)\times 4+\frac{1}{2}\times 6\times 3$
$=3+8+9$
$=20\ cm^{2}\ $

 

(3)【中1&中3】 図で、立体OABCは$\triangle$ABCを底面とする正三角すいであり、Dは辺OA上の点で、$\triangle$DBCは正三角形である。

OA=OB=OC=$6\ cm\ $、AB=$4\ cm\ $のとき、次の①、②の問に答えなさい。

愛知県公立高校2021年3月B日程数学_問3(3)

 

①【中3】 線分ADの長さは何$\ cm\ $か、求めなさい。

※ この解法は「個別学習のセルモ 日進西小学校前教室」の西尾先生からご提供ただきました。ぜひ西尾先生のブログもご参照くださいませ。

線分ADを含む$\triangle$OABについて考える。問題文で与えられた長さも書き込むと下図のようになる。

愛知県公立高校2021年3月B日程数学_問3(3)-3
$\triangle$DBCは正三角形だから、AB=DB=4cm

すると$\triangle$OABと$\triangle$BADが相似なのではないかと思えてくるので確かめる。

$\triangle$OABと$\triangle$BADについて、
$\triangle$OABは二等辺三角形であるから∠OAB=∠OBA
$\triangle$BADも二等辺三角形であるから∠BAD=∠BDA
また共通の角であるから∠OAB=∠BAD
よって2角がそれぞれ等しいので
$\triangle$OAB∽$\triangle$BAD

以上から、

$OA:AB=BA:AD$
$6:4=4:x$
$6x=16$
$x=\frac{16}{6}$
$=\frac{8}{3}\ cm$

 

②【中3】 立体ODBCの体積は正三角すいOABCの体積の何倍か、求めなさい。

全問いから、
$OA:DA=6:\frac{8}{3}=18:8=9:4$
よって
三角すいOABCと三角すいDABCの高さの比も$\ 9:4\ $
両者は底面積が共通なので、体積の比も$\ 9:4\ $

立体ODBCの体積=三角すいOABC-三角すいDABCだから、
三角すいOABCと立体DABCの体積の比は、$\ 9:(9-4)=9:5\ $

以上から、立体DABCの体積は正三角すいOABCの
$5\div 9=\frac{5}{9}\ $倍

 

謝辞

解法と解説の作成にあたりましては、

にご協力いただきました。
おかげさまで図形問題の解説にあたっては、よりエレガントな解き方を用意することができました。
この場を借りて、あらためて御礼申し上げます。

あとがき

A日程にくらべると、大問3の図形問題が難化した印象です。

大問2は数学というよりも読解問題の様相が強いです。どの教科も全体的に論理国語の1点に集約していくような方向性は、あまり好ましくありません。
文字列だけで問題文を長くして難易度を上げようとする姿勢は、今後コンピューターを活用していく時代には向けては、あまり相応しいとは言えません。

より多様な情報提示のあり方で問題を作っていくべきというのが、今後の課題と言ったところでしょう。
もしも問題を作成する人たちが、コンピューターで読み書きできる情報が文字列しかない、というのであれば、それは能力上の問題です。
なぜ、こんなにもダラダラと長い問題文になってしまったのか、大いに反省すべきでしょう。

日本から国際競争力のある人材をどんどん輩出するのなら、早くこのボトルネックを解消すべきです。

 


進学実績

卒塾生(進路が確定するまで在籍していた生徒)が入学した学校の一覧です。
ちなみに合格実績だけであれば更に多岐・多数にわたりますが、当塾の理念に反するので生徒が入学しなかった学校名は公開しておりません。

国公立大学

名古屋大学、千葉大学、滋賀大学、愛知県立大学、鹿児島大学

私立大学

中央大学、南山大学、名城大学、中京大学、中部大学、愛知淑徳大学、椙山女学園大学、愛知大学、愛知学院大学、愛知東邦大学、同朋大学、帝京大学、藤田保健衛生大学、日本福祉大学

公立高校

菊里高校、名東高校、昭和高校、松陰高校、天白高校、名古屋西高校、熱田高校、緑高校、日進西高校、豊明高校、東郷高校、山田高校、鳴海高校、三好高校、惟信高校、日進高校、守山高校、愛知総合工科高校、愛知商業高校、名古屋商業高校、若宮商業高校、名古屋市工芸高校、桜台高校、名南工業高校

私立高校

中京大中京高校、愛工大名電高校、星城高校、東邦高校、桜花学園高校、東海学園高校、名経高蔵高校、栄徳高校、名古屋女子高校、中部第一高校、名古屋大谷高校、至学館高校、聖カピタニオ高校、享栄高校、菊華高校、黎明高校、愛知みずほ高校、豊田大谷高校、杜若高校、大同高校、愛産大工業高校、愛知工業高校、名古屋工業高校、黎明高校、岡崎城西高校、大垣日大高校

(番外編)学年1位または成績優秀者を輩出した高校

天白高校、日進西高校、愛工大名電高校、名古屋大谷高校

※ 成績優秀者・・・成績が学年トップクラスで、なおかつ卒業生代表などに選ばれた生徒

 


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愛知県公立高校入試 2021A 数学を全部解説してみた

愛知県公立高校入試2021年度A数完全解説

塾長です。

愛知県の公立高校受験。A日程が面接まで終わりました。そして明日からB日程。本日が学科試験に向けた最後の対策です。

中学2年生のキミたち。もう受験が始まっています。ぜひ今のうちに入試問題を見ておいて欲しいと思います。
中2までに習った範囲で、もう半分近く解けるはずなんだよ!

そこで、A日程の数学について、フル解説を作りました。考え方や発想法、何年生で解けるようになるかなど、できるだけ詳しく書きました。
ちょっとチャレンジしてみてね。

【1】次の(1)~(10)までの問に答えなさい。

(1)【中1】 $5-(-6)\div2$  を計算しなさい。

$5-(-6)\div2=5-(-3)=5+(+3)=8$

(2)【中2】 $\frac{3x-2}{4}-\frac{x-3}{6}$ を計算しなさい。

$\frac{3x-2}{4}-\frac{x-3}{6}$
$=\frac{(3x-2)\times3}{12}-\frac{(x-3)\times2}{12}$
$=\frac{9x-6-2x+6}{12}$
$=\frac{7x}{12}$
$(=\frac{7}{12}x)$

(3)【中3】 $\frac{3}{\sqrt{2}}-\frac{2}{\sqrt{8}}$ を計算しなさい。

$\frac{3}{\sqrt{2}}-\frac{2}{\sqrt{8}}$
$=\frac{3\times\sqrt{2}}{\sqrt{2}\times\sqrt{2}}-\frac{2}{2\sqrt{2}}$
$=\frac{3\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}\times\sqrt{2}}$
$=\frac{3\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}$
$=\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{2}}{2}$
$=\frac{2\sqrt{2}}{2}$
$=\sqrt{2}$

(4)【中3】 $(2x+1)^{2}-(2x-1)(2x+3)$ を計算しなさい。

$(2x+1)^{2}-(2x-1)(2x+3)$
$=\{(2x)^2+2\times(2x)\times 1+1^{2}\}-\{(2x)^2+(-1+3)\times(2x)+(-1)\times(+3)\}$
$=\{4x^2+4x+1\}-\{4x^2+4x-3\}$
$=4x^2+4x+1-4x^2-4x+3$
$=4$

(5)【中3】 連続する3つの自然数を、それぞれ2乗して足すと$365$ であった。もとの3つの自然数のうち、もっとも小さい数を求めさい。

<解法1>

計算を楽にするため3つの自然数の真ん中を$n$とおく。
すると3つの自然数は$(n-1),\ n,\ (n+1)$とおける。
題意より方程式を立てて解けば、
$(n-1)^2+n^2+(n+1)^2=365,\ (n>0)$
$n^2-2n+1+n^2+n^2+2n+1=365,\ (n>0)$
$3n^2+2=365,\ (n>0)$
$3n^2=363,\ (n>0)$
$n^2=121,\ (n>0)$
$n=11$
よって、もっとも小さい数は$(n-1)$に代入して
$n-1=11-1$
$n=10$
である。

<解法2>

素直に、問われている「もっとも小さい数」を$n$とおいた場合は次のようになる。
$n^2+(n+1)^2+(n+2)^2=365,\ (n>0)$
$n^2+n^2+2n+1+n^2+4n+4=365,\ (n>0)$
$3n^2+6n+5=365,\ (n>0)$
$3n^2+6n+5-365=0,\ (n>0)$
$3n^2+6n-360=0,\ (n>0)$
$n^2+2n-120=0,\ (n>0)$
$(n+12)(n-10)=0,\ (n>0)$
$n=10$
今回はこちらでも計算は難しくなかった。

(6)【中1】 次のア~エの中から$y$が$x$ の一次関数であるものをすべて選んで、そのかな符号を書きなさい。

ア 1辺の長さが$x\ cm$である立方体の体積$y\ cm^{3}$
イ 面積が$50\ cm^{2}$である長方形のたての長さ$x\ cm$と横の長さ$y\ cm$
ウ 半径が$x\ cm$である円の週の長さ$y\ cm$
エ $5\ \%$の食塩水$x\ g$に含まれる食塩の量$y\ g$

それぞれ$y$を$x$の式で表すと
ア $y=x^3$
イ $xy=50\ $より$\ y=\frac{50}{x}$(反比例)
ウ $y=2\pi x$(比例)
エ $y=\frac{5}{100}x$(比例)
である。
よって、一次関数の式$\ y=ax+b\ $または$\ y=ax\ (b=0\ のとき)\ $に当てはまるものは、
ウとエ
である。

(7)【中2】 5本のうち、あたりが2本はいっているくじがある。このくじをAさんが1本ひき、くじをもどさずにBさんが1本くじをひくとき、少なくとも1人はあたりをひく確率を求めなさい。

キーワード「少なくとも~」が出てきたら[1―逆の確率]が使えることが多いのだった。
そこで、
[少なくとも1人はあたりをひく]
の逆は
[1人もあたらない]=[2人とも外れる]
であることを考えて、

[少なくとも1人はあたりを引く確率] = 1―[2人とも外れる確率]

を求めればよい。

そこで、まず
[2人とも外れる確率]
から求める。これは、
[1人目が5本のうちのハズレ3本のどれかをひき]なおかつ[2人目が残り4本のうちのハズレ2本のどちらかをひく]とき
の確率である。1人目がハズレを1本引いているので、2人目に残されたハズレは3-1=2本で、総数も5-1=4本になるからである(※)。
これを計算すると、
$\frac{3}{5}\times \frac{2}{4}=\frac{3\times 2}{5\times 4}=\frac{3\times 1}{5\times 2}=\frac{3}{10}$

よって求める確率は、
$1-\frac{3}{10}$
$=\frac{10-3}{10}$
$=\frac{7}{10}$

(※)もちろん樹形図を描けば明白です。

愛知県公立高校2021年3月A日程数学_問1(3)の樹形図

全部で20通りのうち、[2人とも外れる確率]は6通りだから、
[2人とも外れる確率]=$\frac{6}{20}=\frac{3}{10}$

(8)【中1】 $y$が$x$に反比例し、$x=\frac{4}{5}$のとき$y=15$である関数のグラフ上の点で、 $x$座標と$y$座標がともに正の整数となる点は何個あるか、求めなさい。

反比例 $\ y=\frac{a}{x}\ $の式より$\ xy=a\ $ だから $a=\frac{4}{5}\times15=4\times3=12\ $
よって、
$\ xy=12\ $
を満たす正の整数$x$と$y$の組$(x,y)$が何個あるかを考えれば良い。
12の約数で考えれば、$x=1,2,3,4,6,12\ $ と順番に考えれば、
$(x,y)=(1,12),\ (2,6),\ (3,4),\ (4,3),\ (6,2),\ (12,1)$
であるから6個。

(9)【中2】 2直線$\ y=3x-5,\ y=-2x+5\ $ の交点の座標を求めなさい。

2つの式を連立方程式で解く。代入法により、
$3x-5=-2x+5$
$3x=-2x+5+5$
$3x+2x=10$
$5x=10$
$x=2$
これを$\ y=3x-5\ $に代入して($\ y=-2x+5\ $ に代入しても、どちらでも良い)
$y=3\times2-5=1$
よって答えは
$(2,\ 1)$

(10)【中3】 図で、A,B,Cは円Oの周上の点である。円Oの半径が$6\ cm$、∠BAC$=30^{\circ}\ $のとき、線分BCの長さは何$cm$か、求めなさい。

愛知県公立高校2021年3月A日程数学_問1(10)

<解法1>

「Aが円周上」→「円周角の定理を使う」と着想する。
さらに、
「半径が$6cm$」→「半径$6cm$または直径$12cm$を使ってBCを求める」と着想する。
さらにここから「直径に対する円周角は$90^{\circ}\ $ 」という性質も連想する。
以上の発想から次のように⊿A’BCを作図する。

愛知県公立高校2021年3月A日程数学_問1(10)_補助線

円周角の定理より、∠BAC=∠BA’C=$30^{\circ}\ $ かつ ∠BCA’=$90^{\circ}\ $ である。
よって三平方の定理から$BC:A’B=1:2$とわかる。
これは三角定規でお馴染みの$30^{\circ}、60^{\circ}、90^{\circ}\ $の直角三角形だから、辺の比は既知である。
よって、
$1:2=BC:12$
$2\times BC=1\times12$
$BC=6$
より
$BC=6cm$

 

<解法2>

「Aが円周上」→「円周角の定理を使う」→「中心角」を連想する。
そこでOからB、Cに半径を引く。

愛知県公立高校2021年3月A日程数学_問1(10)_補助線2

円周角の定理「中心角=円周角×2」から、
∠BOC=$30^{\circ}\times 2=60^{\circ}\ $
さらにOB=OCから二等辺三角形の性質「底角が等しい」をつかって、
∠OBC=∠OCB=$\{180^{\circ}-60^{\circ}\}\div 2=60^{\circ}\ $
よって$\triangle OBC\ $は正三角形となるので、
OB=OC=BC
つまり、
$BC=6cm$

 

【2】次の(1)~(3)までの問に答えなさい。

(1)【中3】 図で、Oは減点、A,Bは関数$\ y=\frac{1}{4}x^2\ $ のグラフ上の点で、点Aの$x$座標を正、$y$座標は9、点Bの$x$座標は―4である。また、Cは$y$軸上の点で、直線CAは$x$軸とへいこうである。
点Cを通り、四角形CBOAの面積を二等分する直線の式を求めなさい。

愛知県公立高校2021年3月A日程数学_問2(1)

まず題意より各点の座標を求めて書き込むと次のようになる。

愛知県公立高校2021年3月A日程数学_問2(1)_座標

ここで題意の「点Cを通り、四角形CBOAの面積を二等分する直線」が辺OBを通るのか、辺OAを通るのかを知る必要がある。
そこで⊿OCBと⊿OACの面積を求めて比較すれば、大きい面積の方を通ると分かる。どちらもOCを底辺と考えれば、
$\triangle OCB=\frac{1}{2}\times9\times4=18$
$\triangle OAC=\frac{1}{2}\times9\times6=27$
よって、求める直線は⊿OACを通るため、辺OAと交わる。
その交点をEとし、その$x$座標を$t$としておく。

直線OAの式は、原点を通り、傾き=$\frac{9}{6}=\frac{3}{2}$である比例の式だから、
$直線OA: \ y=\frac{3}{2}x\ $である。
よって交点Eの座標は$\ (t, \frac{3}{2}t)\ $である。

これを図示すれば、次のようになる。

愛知県公立高校2021年3月A日程数学_問2(1)_座標2

直線CEは四角形CBOAの面積を二等分するから、次の等式となる。
$\triangle OCB+\triangle OCE=\triangle OAB-\triangle OCE$
ここで
$\triangle OCE=\frac{1}{2}\times 9\times t=\frac{9t}{2}$
だから、
$18+\frac{9t}{2}=27-\frac{9t}{2}$
これを解いて、
$\frac{9t}{2}+\frac{9t}{2}=27-18$
$9t=9$
$t=1$
よって点Eは、$\ (t, \frac{3}{2}t)=(1, \frac{3}{2})\ $である。

最後に、直線CEの式 $\ y=ax+b\ $ の$\ a,\ b\ $を求める。

切片$\ b\ $は9である。

$C(0,9)→E(1,\frac{3}{2})$での変化の割合$\ a\ $は、教科書にある定義どおりに式を立てると、
$$a=\frac{\{ \frac{3}{2} – 9\} }{\{1-0\}}$$
という複雑な式になるが、分母は1なので分子だけ計算すればよい。
$a=\frac{3}{2} – 9 $
$=\frac{3}{2}-\frac{18}{2}$
$=\frac{-15}{2}$

以上から、
$$y=-\frac{15}{2}x+9$$

 

―――【参考】―――
もしも
$$\frac{分数}{分数}=\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}$$
となってしまったら?

分数の中に分数が出てきたら困ってしまいますね。そういうときは
$\frac{A}{B}=A\div B$
を思い出しましょう。
$A=\frac{a}{b},\ B=\frac{c}{d}$ と考えれば、
$\frac{分数}{分数}$
$=\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}$
$=\frac{A}{B}$
$=A\div B$
$=\frac{a}{b}\div \frac{c}{d}$
$=\frac{a}{b}\times \frac{d}{c}$
$=\frac{a\times d}{b\times c}$
$=\frac{ad}{bc}$

とすればよいです。つまり
「分母の分数を逆数にしてかける」
と考えればよいです。

 

(2)【中1】 次の文章は、体育の授業でサッカーのペナルティキックの練習を行ったときの、1人の生徒がシュートを入れた本数とそれぞれの人数について述べたものである。
文章中の【A】にあてはまる式を書きなさい。また、【a】、【b】、【c】にあてはまる自然数をそれぞれ書きなさい。
なお、3か所の【A】には、同じ式があてはまる。

愛知県公立高校2021年3月A日程数学_問2(2)

この問題文の日本語には少し難があるが、シュートに1回成功した人が1人、2回成功した人が2人・・・5回成功した2人・・・などと調査したという意味である。
つまりシュートに成功した回数について、何人が成功したかを度数とする度数分布表になっている。

まず【A】について考える。
題意より「シュートすべての合計=120」という式を立てればよい。よって
$0\times 0+1\times 1+2\times 2+3\times x+4\times 3+5\times 2+6\times y+7\times 2+8\times 3+9\times 1+10\times 1=120$
$0+1+4+3x+12+10+6y+14+24+9+10=120$
$84+3x+6y=120$
$3x=-6y+120-84$
$3x=-6y+36$
$x=-2y+12$

ここで$\ x>0,\ y>0\ $であるから、この式を見ながら$\ y=1,\ 2,\dots\ $と代入していけば、$\ x\ $と$\ y\ $の組合わせは、
$\ (x,y)=(10,1),\ (8,2),\ (6,3),\ (4,4),\ (2,5)\ $
である。よって
【a】は「5」組となる。

しかし、題意の「最頻値は6本」を満たすためには、
$\ y>3\ $かつ$\ y>x\ $
でなければならない。これを満たす組合わせは、
$\ (x,y)=(2,5)\ $
だけである。よって
【b】は「2」
【c】は「5」

 

(3)【中2】 図のような池の周りに1周$\ 300\ m\ $ の道がある。

愛知県公立高校2021年3月A日程数学_問2(3)-1

Aさんは、S地点からスタートし、矢印の向きに道を5周走った。1周目、2周目は続けて毎分$\ 150\ m\ $で走り、S地点で止まって3分間休んだ。休んだ後すぐに、3周目、4周目、5周目は続けて$\ 100\ m\ $で走り、S地点で走り終わった。
Bさんは、AさんがS地点からスタートして9分後に、S地点からスタートし、矢印の向きに道を自転車で1周目から5周目まで続けて一定の速さで走り、Aさんが走り終わる1分前に道を5周走り終わった。
このとき、次の①、②の問いに答えなさい。

① Aさんがスタートしてから$\ x\ $分間に走った道のりを$\ y\ m\ $とする。AさんがスタートしてからS地点で走り終わるまでの$\ x\ $と$\ y\ $の関係を、グラフに表しなさい。

愛知県公立高校2021年3月A日程数学_問2(3)-2

まずAさんが行った順に、時間の経過を計算する。
1周目と2周目は、それぞれ$\ 300\div150=2\ $分であり、2周の合計は4分間。つまり最初の0分~4分の間はこのペース。
次に3分の休憩を取ったので、4~7分は距離が変わっていない。
その後3周目から5周目までは、それぞれ$\ 300\div100=3\ $分であり、3周の合計は9分間。つまり7分~16分の間はこのペース。
以上の時間の流れを図に色分けして書きこむと次のようになる。

愛知県公立高校2021年3月A日程数学_問2(3)-2-Aさんの時間

そして1周$\ 300\ m\ $と決まっているので、マークからマークの間は必ず$\ y\ $は$\ 300\ $ずつ増えていく。
ただし休憩の間は$\ y\ $が変わらず、水平線になる。
これらに注意して、次のように印をつけることができる。

愛知県公立高校2021年3月A日程数学_問2(3)-2-Aさんの変化の割合

最後に、これらの点を線で結べばグラフが完成する。

愛知県公立高校2021年3月A日程数学_問2(3)-2-完成

 

② BさんがAさんを追い抜いたのは何回か、答えなさい。

Bさんが走り始めた9分目のとき、Aさんは残り3周あった(2周しか完走していなかった)。
2人が一緒に走っていた時間帯は、9分目~15分目までである。

愛知県公立高校2021年3月A日程数学_問2(3)-2-Bさんの出発

Bさんの方が早く完走したので、Bさんは、Aさんが残り3周を走る様子をすべて目撃できたことになる。
よって追い抜いた回数は3回と分かる。

直感的にはこれで解答できるが、もう少しグラフで考える。

上のグラフは$\ y\ $軸が「走った合計」の距離になっているので分かりにくい。
Aさん、Bさんのそれぞれが「何分後に何周目の何メートル地点を走っているのか」を分かりやすく表示するためには、1周$\ 300\ m\ $を走るごとに、距離($\ y\ $)を0メートに戻すようなグラフを描くべきである。具体的には次のようになる。

愛知県公立高校2021年3月A日程数学_問2(3)-2-Bさん追い抜く様子

黒い線がAさんが走った様子であり、赤い線がBさんが走った様子である。黄緑の点が交点、つまり追い抜いた点である。

よってBさんはAさんを3回追い抜いた。

 

【3】次の(1)~(3)までの問に答えなさい。

ただし、答えは根号をつけたままでよい。

(1)【中2】 図で、Dは$\triangle ABC$の辺AB上の点で、DB=DCであり、Eは辺BC上の点、Fは線分AEとDCとの交点である。
∠DBE=$47^{\circ}\ $、∠DAF=$31^{\circ}\ $のとき、∠EFCの大きさは何度か、求めなさい。

愛知県公立高校2021年3月A日程数学_問3(1)

DB=DCより二等辺三角形の性質により、∠DBC=∠BCD=$47^{\circ}\ $。
また外角の公式から、∠ADC=∠DBC+∠BCD=$47^{\circ}+47^{\circ}=94^{\circ}\ $。
よって、∠EFC=$180^{\circ}-(94^{\circ}+31^{\circ})=180^{\circ}-125^{\circ}=55^{\circ}$

 

(2)【中3】 図で、四角形ABCDは、AD//BC、∠ADC=$90^{\circ}\ $の台形である。Eは辺DC上の点で、$DE:EC=2:1\ $であり、Fは線分ACとEBとの交点である。
$AD=2\ cm$、$BC=DC=6\ cm$のとき、次の①、②の問に答えなさい。

愛知県公立高校2021年3月A日程数学_問3(2)

①【中3】 線分EBの長さは何$cm\ $か、求めなさい。

題意から分かる長さや角度を書き込むと下図のようにいなる。

愛知県公立高校2021年3月A日程数学_問3(2)-長さ

三平方の定理から
$EB=\sqrt{6^2+2^2}=\sqrt{36+4}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$
よって
$2\sqrt{10}\ cm$

 

②【中3】 $\triangle ABF$の面積は何$cm^2\ $か、求めなさい。

$\triangle ABF=\triangle ABC-\triangle FBC$ で計算する方針でいこう。

すると$\triangle CEF$の面積を求める必要があるので、それを出しておく。そのために$\triangle CEF$∽$\triangle BEC$ を示す。

まず、$\triangle ACD\equiv\triangle EBC$
よって、∠EBC=∠ACD

$\triangle CEF$と$\triangle BEC$について、
∠EBC=∠ACD
また共通の角だから、
∠CEF=∠BEC
2角が等しいので、
$\triangle CEF$∽$\triangle BEC$

相似比から、
$EB:EC=2\sqrt{10}:2=2:EF$
$2\sqrt{10}EF=4$
$EF=\frac{4}{2\sqrt{10}}=\frac{2}{\sqrt{10}}=\frac{2\sqrt{10}}{10}=\frac{\sqrt{10}}{5}$
よって、
$EF:EB=2\sqrt{10}:\frac{\sqrt{10}}{5}=2:\frac{1}{5}=10:1$
よって、
$\triangle FBC=\frac{9}{10}\triangle EBC=\frac{9}{10}\times \frac{1}{2}\times 6\times 2 = \frac{27}{5}$
以上から、
$\triangle ABF=\triangle ABC-\triangle FBC=\frac{1}{2}\times 6\times 6 – \frac{27}{5}=18-\frac{27}{5}=\frac{18\times5-27}{5}=\frac{90-27}{5}=\frac{63}{5}$
よって、
$\frac{63}{5}\ cm^2$

 

(3)【中1・中3】 図で、Dは$\triangle ABC$の辺BC上の点で、$BD:DC=3:2\ $、AD⊥BCであり、Eは線分AD上の点である。
$\triangle ABE$の面積が$\triangle ABC$の面積の$\frac{9}{35}$倍であるとき、次の①、②の問に答えなさい。

愛知県公立高校2021年3月A日程数学_問3(3)

①【中1】 線分AEの長さは線分ADの長さの何倍か、求めなさい。

$BD:DC=3:2\ $より、$\triangle ABD$は$\triangle ABC$の$\frac{3}{5}$倍である。
よって、線分AEの長さは線分ADの長さの$\ x\ $倍だとすると、
$\triangle ABC\times\frac{9}{35}=\triangle ABC\times\frac{3}{5}x$
よって、
$\frac{9}{35}=\frac{3}{5}x$
であるから、これを解いて
$x=\frac{3}{7}$倍

 

②【中3】 $\triangle ABE$を、線分ADを回転の軸として1回転させてできる立体の体積は、$\triangle ADC$を、線分ADを回転の軸として1回転させてできる立体の体積の何倍か、求めなさい。

まず回転してできる円錐の底面の半径は$\frac{3}{2}$倍であるから、底面積は$\frac{9}{4}$倍である。
そして高さは$\frac{3}{7}$倍であるから、合わせて、
$\frac{9}{4}\times \frac{3}{7}$
これを計算して
$\frac{27}{28}$倍

 

あとがき

毎年の難易度に比べれば、全体的には標準的な内容でした。
高得点を狙う受験生にとっては、つぎの問題が合格点の分かれ目になったかもしれません。

大問1-(2)の問題は、作業ミスを誘発しやすかったかもしれません。多くの人が「xを代入してyを求める」手順に慣れていると思います。しかし【a】では逆に「yからxを求める」手順に逆転していました。人によっては情報を整理する過程で、xとyを逆に書くという作業ミスを誘発しやすい問題でした。【b】は「最頻値」からxやyの変域や大小関係を思いつけたか否かがポイントになったことでしょう。

大問2―(3)―②の問題は「1回」と誤答した人が多かったかもしれません。単純にBさんのグラフを書き込むと交点が1つしか見つけられなかったので違和感を覚えて困った人も多かったのではないでしょうか。

大問3―(2)―②の問題は、直感的に方針が立ちにくいです。大局的に計算の方針を定めて、逆算して細かな計算を行うという「作業の段取り」を意識することが大切でした。

大問3―(3)―②の問題は、立体の「高さ」の本質を理解していなければ、①の答えが②で「高さの倍率」として使えることを思いつけなかったかもしれません。小学生で三角形の面積が高さに比例することを色々とやりましたが、その感覚があれば思いついたのかもしれませんね。

余談ですが、

大問2―(2)の問題は、日本語がおかしいです。ちょっと出題ミスにギリギリ近い日本語の崩壊。すぐに度数分布だと分かった人は良いですが、読解力のある人ほど混乱したかもしれません。コロナ禍で出題の方針が急変更され、問題作成の現場はとても混乱していた様子がうかがえます。

解説に登場したグラフや図、数式の表示について

図やグラフについて

前半の円や二次関数のグラフはプログラミングで作成しました。
後半の図は公開されている問題をスキャンした画像と、それを2次加工した画像です。

数式について

数式はパソコンで入力するのが難しいですよね。
このブログでは$\TeX$(「テフ」と読みます)という、数式専用の言語を使って数式を書いています。だから数式がキレイに表示できます。
これもプログラミングみたいなものです。

$\TeX$は理系の大学生がレポートや論文を書くときに便利です。
理系の大学生は知っておくと便利です。
高校生でもバカロレアDPコースの生徒たちなど、レポート提出の多い人には便利だと思いますよ。

興味のある方は調べてみてください。

図やグラフはプログラミングで作成

大問1(10)および大問2(1)のグラフや図を作るのにつかったプログラムは以下です。
プログラミング言語はPython(パイソン)です。
残念ながら中学生では理解するのがとても難しいです。高校の数学を使います。

なお、パイソンのプログラミングは、プログラミング教室「マイクラミング」の「プロコース」で開講しています。
小学生から大学生まで受講しています。興味のある人は、お問い合わせくださいませ。

---------------------

import random as rd
import time as tm
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import math

def initGraph(title="graph", xLabel="x", xMin=-1.0, xMax=1.0, yLabel="y", yMin=-1.0, yMax=1.0, N=100):
  fig = plt.figure(figsize=(5,5), dpi=N)
  axs = fig.add_subplot(1, 1, 1)
  plt.title(title)
  plt.xlabel(xLabel)
  plt.ylabel(yLabel)
  plt.xlim(xMin, xMax)
  plt.ylim(yMin, yMax)
  plt.gca().spines['right'].set_visible(False)
  plt.gca().spines['top'].set_visible(False)
#  plt.xticks(fontsize=20)
#  plt.yticks(fontsize=20)
  axs.set_aspect(1)
  return axs

def addDot(axs, x, y, text=True, arg="", c="black", fs=5):
  axs.plot(x, y, '.', markersize=10, c=c)
  if text:
    if arg != "":
      plt.text(x, y ,arg, fontsize=fs)
    else:
      plt.text(x,y," ({}, {})".format(x,y), fontsize=fs)

def addDots(axs, x, y, args="", line=True, fs=5):
  c=0
  xs = []
  ys = []
  for t in x:
    xs.append(x[c])
    ys.append(y[c])
    if args!="":
      addDot(axs, x[c], y[c], text=True, arg=args[c], fs=fs)
    else:
      addDot(axs, x[c], y[c], text=False)
    c+=1
  if line:
    xs.append(xs[0])
    ys.append(ys[0])
    axs.plot(xs, ys, linewidth=1)

def addLines(axs, x, y, c="black", tx=0.0, ty=0.0, text="", fs=5):
  axs.plot(x, y, linewidth=1, c=c)
  if text!="":
    plt.text(tx,ty,text, fontsize=fs)

def addCircle(axs, x=0.0, y=0.0, r=1.0, s=0, e=2*np.pi, c="black"):
  theta = np.linspace(s, e, 100)
  xs = x + r*np.cos(theta)
  ys = y + r*np.sin(theta)
  axs.plot(xs, ys, linewidth=1, c=c)

def addDotsOnCircle(axs, r, thetas, args, line=True, fs=5):
  c=0
  xs = []
  ys = []
  for t in thetas:
    x=r*math.cos(t)
    y=r*math.sin(t)
    xs.append(x)
    ys.append(y)
    addDot(axs, x, y, text=True, arg=args[c], fs=fs)
    c+=1
  if line:
    xs.append(xs[0])
    ys.append(ys[0])
    axs.plot(xs, ys, linewidth=1)

def showGraph(arrows=True, grid=True):
  if arrows:
    #x軸
    plt.axhline(0, linewidth=1, color="black")
    #y軸
    plt.axvline(0, linewidth=1, color="black")
  if grid:
    #方眼線(グリッド線)
    plt.grid(True)
  plt.show()


def Toi1_10():
  A_theta = 4*math.pi/7
  B_theta = 4*math.pi/3
  C_theta = 5*math.pi/3
  AD_theta = math.pi/3
  Radis   = 6.0
  axs=initGraph(xMin=-7.0, xMax=7.0, yMin=-7.0, yMax=7.0)
  addDot(axs,0.0,0.0,True,"O", fs=20)
  addCircle(axs, r=Radis, c="gray")
  addDotsOnCircle(axs, r=Radis, thetas=[A_theta, B_theta, C_theta], args=['A','B','C'], fs=20)
  addCircle(axs, x=Radis*math.cos(A_theta), y=Radis*math.sin(A_theta), r=1.5, s=((A_theta+B_theta+math.pi)/2), e=((A_theta+C_theta+math.pi)/2), c="gray")
  plt.text(-1.5, 3.0, r"$30^{\circ}$", fontsize=12)
#  addDotsOnCircle(axs, r=6.0, thetas=[AD_theta, B_theta, C_theta], args=['A\'','B','C'], fs=20)
  addDots(axs, x=[0.0, Radis*math.cos(B_theta), Radis*math.cos(C_theta), 0.0], y=[0.0, Radis*math.sin(B_theta), Radis*math.sin(C_theta), 0.0], line=True)
  showGraph(arrows=False, grid=False)

def Toi2_1():
  axs=initGraph(xMin=-7.0, xMax=7.5, yMin=-1.0, yMax=12.0)
  plt.text(6.3,-0.9,"X", fontsize=20)
  plt.text(-0.9,11.0,"Y", fontsize=20)
#  addDots(axs, x=[0.0, 6.0, 0.0, -4.0], y=[0.0, 9.0, 9.0, 4.0], args=['O','A','C','B'], line=True, fs=20)
  addDots(axs, x=[0.0, 6.0, 0.0, -4.0], y=[0.0, 9.0, 9.0, 4.0], args=['O','A(6,9)','C(0,9)','B(-4,4)'], line=True, fs=20)
  x = np.arange(-7.0, 7.0, 0.01)
  y = x*x/4
  addLines(axs,x,y,"gray", -6.0, 9.0, r"$y=\frac{1}{4}x^{2}$", fs=20)
  addDot(axs, 1.0, 1.5, text=True, arg=r"$E(t,\frac{3}{2}t)$", c="red", fs=20)
  addLines(axs,x=[0.0,1.0],y=[9.0,1.5],c="red", fs=20)
  showGraph(arrows=True, grid=False)



if __name__ == "__main__":

  Toi1_10()
#  Toi2_1()

---------------------

※プログラムで難しいところ

三角関数($sin\theta,\  cos\theta$)や極座標を使っていますので、高校の数学です。円O上の点A,B,Cの座標を、円の半径 Radisと、x軸とOA、OB、OCのなす角、A_theta、B_theta、C_theta を使って求めています。その計算に三角関数を使います。

また∠BACを図示するために、円周上の点Aを中心に弧を描いています。点Aから見た、x軸方向とAB、ACのなす角を、A_theta、B_theta、C_theta を使って求める必要があります。この計算をするために、プログラミングする前に紙面上で幾何学の問題を解く必要がありました。

 


進学実績

卒塾生(進路が確定するまで在籍していた生徒)が入学した学校の一覧です。
ちなみに合格実績だけであれば更に多岐・多数にわたりますが、当塾の理念に反するので生徒が入学しなかった学校名は公開しておりません。

国公立大学

名古屋大学、千葉大学、滋賀大学、愛知県立大学、鹿児島大学

私立大学

中央大学、南山大学、名城大学、中京大学、中部大学、愛知淑徳大学、椙山女学園大学、愛知大学、愛知学院大学、愛知東邦大学、同朋大学、帝京大学、藤田保健衛生大学、日本福祉大学

公立高校

菊里高校、名東高校、昭和高校、松陰高校、天白高校、名古屋西高校、熱田高校、緑高校、日進西高校、豊明高校、東郷高校、山田高校、鳴海高校、三好高校、惟信高校、日進高校、守山高校、愛知総合工科高校、愛知商業高校、名古屋商業高校、若宮商業高校、名古屋市工芸高校、桜台高校、名南工業高校

私立高校

中京大中京高校、愛工大名電高校、星城高校、東邦高校、桜花学園高校、東海学園高校、名経高蔵高校、栄徳高校、名古屋女子高校、中部第一高校、名古屋大谷高校、至学館高校、聖カピタニオ高校、享栄高校、菊華高校、黎明高校、愛知みずほ高校、豊田大谷高校、杜若高校、大同高校、愛産大工業高校、愛知工業高校、名古屋工業高校、黎明高校、岡崎城西高校、大垣日大高校

(番外編)学年1位または成績優秀者を輩出した高校

天白高校、日進西高校、愛工大名電高校、名古屋大谷高校

※ 成績優秀者・・・成績が学年トップクラスで、なおかつ卒業生代表などに選ばれた生徒

 


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愛知県の大学入試と高校入試 コロナの影響 ポイントまとめ

入試会場に向かう学生(男女)の絵

塾長です。

新型コロナウィルスの臨時休校で学校の授業が遅れたり急加速したりしています。
特に受験生は受験の日程や試験範囲がどうなるのか気になります。

あのあと入試の対応はどうなったのでしょうか?

7月の時点でまとめました。

愛知県の公立高校

愛知県の公立高校入試については6月24日(水)に県から発表がりました。

公立高校入試は変更なし!

愛知県では、なんと公立高校入試の試験範囲を「削減しない」と発表しました。
例年どおり教科書の全てが入試の出題範囲となります。

愛知県で3学期制の中学校では、コロナ臨時休校の遅れを取り戻すために、

  • 夏休みを2週間くらい短縮
  • 授業数を週に1~2時間くらい増加
  • 1学期のテストを1回にまとめる

という対応をしているところが多いようです。

そして2学期以降のテスト日程は例年通りに戻っています。
つまり、

  • 8月末までに遅れを挽回完了!
  • 2学期からは例年通りに戻す!

という大方針のようです。

そのため高校入試の予定は「特に変更しない」という判断になったのでしょう。

ちなみに、

  • 8月31日(月) 1学期の終業式
  • 9月 1日(火) 2学期の始業式

という慌ただしさです。

第2波で10月に方針が修正される可能性

ただしコロナの第2波で影響があれば、また方針が変わるかもしれません。
その場合は10月にこの方針が修正されるようです。

他県と比べて愛知県は厳しい?

2021年の公立高校入試の出題範囲について、東京、大阪、名古屋の方針は次の通りです。
時系列に順を追って整理します。

  • 5月13日 文部科学省は、高校入試の出題から中3範囲の一部を削減してよいと発表
  • 6月11日 東京都は、中3の範囲を一部削減すると発表
  • 6月19日 大阪府は、例年より2割くらい範囲を縮小すると発表
  • 6月24日 愛知県は、例年通りで縮小しないと発表

東京と大阪は早い段階から、試験範囲の削減方針を打ち出しました。
これにより中学3年生で習う、数学の「三平方の定理」や英語の「関係代名詞」などが、高校入試の範囲から外れました。

これに対して、愛知県は最も発表が遅かった上に、例年通りとしました。

ちなみに入試日程について、東京、大阪、名古屋の間で大きな差異はありません。

大学入学共通テスト

2021年1月の大学入学共通テスト(旧センター試験)についてはどうでしょうか?

試験の「日程」と、「出題形式」の両方で注意が必要です。

現役生と本試の病欠者のための「第2日程」追加

まず日程としての配慮についてです。
例年の「追試」にあたる日程を「第2日程」と変更して対応するようです。

  • 本試日程: 2021年1月16日(土)~17日(日) 新形式
  • 第2日程: 2021年1月30日(土)~31日(日) 新形式、本試の追試または高校長が第2日程での受験を認めた場合
  • 特例追試: 2021年2月13日(土)~14日(日) 従来のセンター試験と同形式、第2日程の追試

例年の追試は、体調不良、事故、悪天候で受験できなかった人が利用できました。
それを今回だけ「コロナで勉強が遅れてます!」と学校長が認めた場合でも利用できるようになりました。
つまり浪人生が最初から第2日程を希望することはできません。
それが「第2日程」です。

「追試」が「第2日程」になってしまったので、さらにその追試「特例追試」が追加されました。
いわゆる「追試の追試」みたいなものです。
ですから、特例追試は昨年までの追試と同じで、体調不良、事故、悪天候で受験できなかった人が対象です。

ちなみに私立大学の個別試験は2月1日ころから始まってしまいます。
そう考えると、必ずしも第2日程や特別追試の受験が有利とは言えないです。

色々書きましたが、基本的には例年通り、本試日程がメインになります。
ただし高等学校の校長が必要と認めれば、コロナ対応での遅れを理由に第2日程で受験ができます。

なお、本試と第2日程の間で平均点に大きな隔たりが出たとしても、点数調整は行われないそうです。

英語の民間試験活用および国語・数学の記述問題が無くなった

コロナの影響で出題範囲が変わることは無いようです。

ただし準備不足が理由で、次の新しい出題形式の導入が見送られました。

導入が見送られたもの

  • 英語の民間試験の活用
  • 国語の記述試験
  • 数学1の記述試験

英語の民間試験は、入試の公平性や安全性がまだ確保されていません。受験料も高額で経済格差が指摘されています。
国語と数学の記述試験は、自己採点と実際の採点結果が一致しない問題や、採点体制の構築が間に合わない問題があり、まだ実用段階にありません。

こうした理由から時期尚早とされ、2021年の導入は見送られました。
なお、延期なのか廃止なのか部分導入なのか、などの詳細は不透明です。

論理的思考力や問題解決力は問われる

ただ記述試験が無くなったとはいえ、教育改革の趣旨が消えたわけではありません。
いくつかの仮説を比較させたり、実社会の問題に数学や理科の公式を当てはめさせるような、新しい出題形式は計画通りに出されます。
いわゆる論理的な思考力や問題解決力です。

また、多様な資料やディスカッションの記録などから必要な情報を選び出させるような問題の出題も増えるでしょう。
もっとも、すでにセンター試験にその傾向が表れていましたから想像はつくでしょう。

特例追試だけがセンター試験形式という謎

最も気を付けなければいけないのが「特例追試」の出題形式です。

特定追試は、もしも第2日程が体調不良、事故、悪天候で受験できなかった場合に受験する日程の試験です。
追試であるはずなのですが、なぜか出題形式が「本試験」や「第2日程」とは異なります。

特例追試だけが、従来のセンター試験の形式で出題されるのです。

たとえば英語なら、出題されなくなったはずの発音問題や文法問題が相変わらず出題されます。
時間配分や大問の構成が、センター試験そのものです。

もしも自分の高校が学校長の判断で第2日程で受験することになった場合、くれぐれも体調管理は気を付けましょう
風邪などをひいて特別追試で受験することになってしまうと、出題形式が変わってしまうからです。

過去問を解いておけば大丈夫かもしれませんが、時間の取れない現役生には酷な条件かもしれません。

気を付けてくださいね。

細かい変化は10月下旬に確認

東京都は3日連続で新規感染者の人数が100人以上となりました。
まだコロナの第2波が来る危険性が残っていそうです。

ということは、上で書いたことも、まだ変更される可能性があります。
あまり細かい情報まで気にしていると「また変更か・・・」と思って疲れてしまいます。

ですから、こういう時は、大まかな変化の流れだけをとらえておいて、細かいことは、いよいよ受験が近づいてきた時に確認すれば良いと思います。
10月の下旬ころにもう一度ニュースをチェックするのがよいでしょう。

少なくともそれまでは、上で書いたことは、およそ変化しないと思います。

文献

 


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中学校の教科書改訂 英語がヤバイことになっています

中学校の英語の教科書

塾長です。

しばらく作業が溜まっていてブログを書いていませんでした。
しかし、こんな記事を見てしまったら、そうも言ってはいられません。
これは皆さんにお伝えしなければ!

英語の長文化がヤバイ

来年度から中学校で使われる教科書が改訂されます。
数学、理科、社会、国語には「移行措置」が取られていて、もう変化が分かっています。
しかし英語には移行措置がありません。

いきなり4月から教科書が改訂されます。

これについて速報です。
ネクサスの伊藤先生のブログです。

2021年度から使う中学校の教科書を見てきました」(2010/6/29)

要点はこうです。

  • 長文が長くなる(現行の2~3倍)
    • 中1で50~60語
    • 中3で100~150語
  • 対話文が減って、説明文や随筆文が増える

何にどう影響するか?

英語の教科書が長文化すると、どんな影響が出てくるのでしょうか?

これは次のポイントを考えればわかります。

  • 愛知県の公立中学は全県で英語の教科書が統一(数学と国語も)
  • 公立高校入試の出題は、教科書の隅々からもれなく出題される
  • 教育改革は「入試が変われば現場も変わる」の「高大接続改革」

よって、教科書を隅々まで読ませて覚えさせるような出題が、学校の先生にとっても生徒にとっても正義なわけです。
今後もその傾向は続くわけです。

そうに考えれば、すべてが見えてきます。

英作文がヤバイ

まずテストの出題で英作文の量が増えると予想されます。
英作文の問題を作成するのは、学校の先生にとって楽ですし、生徒に対してもフェアだからです。

逆に、教育改革の意図にそって問題解決や主体的な学びを評価するような問題をつくるとなれば、これはかなり骨が折れます。
どうやっても難問になり過ぎて、解けない生徒が続出します。
英語という名の論理学のテスト、英語という名の知能指数テストになってしまっては、英語の意味がありません。

ですから教科書の本文に出てきた表現の範囲で出題する方がフェアだし、無難です。
特徴的な表現を教科書の本文から1つ1つ拾って、それを穴埋めにしたり英作文で出すのがもっとも無難なのです。

英語の定期テストは今に限らず、ずーっと緩やかに難化し続けてきました。
その最大の理由が「英作文の出題割合が増えてきたから」と言えます。

この傾向が続くと思われます。

テストの制限時間がヤバイ

中学の定期テストでは、初見文の長文はあまり出題されません。
たいていは教科書の本文や、授業中に扱われた副教材からの引用です。

つまり教科書を穴が開くほど読み混んでいれば解ける問題です。

公立高校の入試がそうなのですから、教科書の本文はめちゃ大切です。

となれば、教科書の本文が長文化したら、テストに引用される長文も長くなります。

長文を早く読めること。

これが大切になってきます。

難問を出さなくても学力に差がつく

定期テストは差をつけるためのテストです。
差がつかないと成績つまり内申点がつけられないからです。
40人いて全員が頑張ったから全員5というのが許されないからです。

これまでは差をつけるために出題の難易度を工夫してきました。

しかしこれからは量の問題で、授業について来れなくなる生徒が増えます。

語学、とくに「文字列を読む、書く」という能力は、とても差が付きやすい能力です。
「聞く、話す」よりも大きな差が付きやすいです。

つまり長文にするだけで成績に差が付きます。
学校の先生はトリッキーな難問を作る必要がなくなるでしょう。

無難な問題でも量で差が付きます。

「訳し下げ」で速く読む訓練を!

英語の語順を強く意識して勉強しないと話にならなくなります。

よくスラッシュリーディングを勧める先生がいますが、あれはよくありません。

スラッシュをどこに入れるのか、先生によってバラバラだからです。
正直に言いますと、私もどこにスラッシュを入れたらよいのか分かりません。

ちゃんとルールになっていない感覚的な手法は、かえって生徒が余計に混乱します。

ですから私は、小学校で教わった文法を大切にします。
小学4年生以降で何度となく教わってきた次のことを復習しましょう。

  • 主語、述語、修飾語の理解
  • 述語の2種類「○○です」「~する」を明確に区別

その上で、

英語は大まかに

  • 誰が、何を、どうする、どこで、いつ
  • 誰は、何だ/どんなだ、どこで、いつ

という語順で言葉が登場するので、それを予想しながら読め!

という指導を徹底していくのです。
そうやって速読できるようにしていくような指導です。

このような指導法が今後ますます大切になるでしょう。

I live in Tokyo.

〇 私は 住んでいる 東京に
× 私は 東京に 住んでいる

こんな感じです。

つまり小学校の主語、述語、修飾語が大切だった!

そうなると、小学校の勉強の時点で、かなり差が出てきてしまいそうです。

国語の文法。

小学校で習う範囲がめちゃ大切ということです。
小学校で習う文法は、英語にも日本語にも当てはまるからです。

助詞を覚えたり助動詞の活用を覚えたりするのは、正直、どうでもよいですが(言っちゃダメ)、

主語、述語、修飾語

これはちゃんと小学校のうちに勉強しておきましょう。
中学生でまだ理解できていない生徒は、必死に復習しましょう。

 


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学校の臨時休校はお母さんの負担ばかりが増えて大変です

臨時休校で困るお母さん

塾長です。

教室の近況です。

学校が臨時休校になって3日目。

特に問題もなく運営できております。

卒業式は簡略化されても楽しかった様子

昨日は中学校の卒業式でした。植田中学の生徒に聞いてみました。

卒業式は、在校生も来賓もなく、短時間で終わったそうです。

それでも中央公園で記念撮影をしたことなど、楽しそうに話してくれました。

卒業式は暖かい日になり、天気も晴れてくれて良かったです。

明日から公立高校入試

1日あけて、今日は雨。それほど寒くなく、空気がきれいになる気がして少しホッとします。

コロナウィルスを洗い流して欲しいです。

実は、植田学区では2月下旬にインフルエンザで学級閉鎖が出始めていました。

そんな中で臨時休校になりました。

これを機に、インフルエンザも沈静化してくれれば良いですね。

明日から始まる公立高校入試。無事に行われることを願います。

休校中の宿題が出なかった学校も多い

学校の臨時休校は、まだまだ続きます。

ところで一部の在校生の皆さんは、明確な宿題が出ていないそうです。

「臨時休校中の過ごし方」

というプリントは配布されたもの「○○を何ページまで」というような明確な課題は出されなかったようです。

まぁ、これは無理もありません。

2月27日(木)の夕方に行政の判断があって、翌日の2月28日(金)には臨時休校を全生徒に伝えなければならなかったのです。

おそらく学校の先生は徹夜にちかい状態で対応に追われたことと思います。

お家で何を勉強させたらよい分からない

何はともあれ、多くのご家庭では

「とにかくお家で勉強しましょう。」

という状態になっています。

「何を勉強させたらよいか分からない。」
「どう教えたらよいか分からない。」
「そもそも家にいてあげられない。」

そんなご家庭が増えています。

「塾は予定通りやります。」

という連絡をしたとき、複数のお母さま方から支持のコメントをいただきました。

もちろん、オンライン指導をご希望される方もいらっしゃいました。

意外だったのは、お休みして振替授業をされるご家庭の方が少数派だったことです。

学校のワークやドリルで総復習を

家で何をしたら良いか分からない。

そういう時は、学校から生徒に配られている教科書とワーク、ドリル、プリント類がどれだけあるのか、まず把握してください。

実は、それだけでも、けっこう量があると思います。

それらを次の優先順位で取り組んでください。

  1. 2月に学校の授業が進んだところまで追いつく
  2. ワークやドリル、プリントの最初から総復習する

中学生や高校生の場合は、

  • 今までの定期テストを全て解き直す
  • 今までの模擬試験を全て解き直す

というのも有効な勉強です。

作業が増えて大変

生活パターンを急に変えるのは大変です。

その大変さがお母さんに集中してしまうことが多いようです。

一部の商品が品薄で、いくつもお店を回ったり、インターネットで検索したり、買い物1つだって大変なんです。

手に入るものが限られれば、夕飯の献立も考え直さなければなりません。

しかもトイレットペーパーのデマ情報にも振り回されて迷惑です。

そこへ来て、子供の勉強のことまで考えなければなりません。

お母さんのご負担が、一気に増えています。

ヒーローズ植田一本松校では

  1. いつも通り通塾
  2. お休みして振替
  3. オンライン指導

の3通りで対応しています。

だから教室でもやることが増えて大変ですが、それはご家庭でも同じ。

塾としてできる範囲で、できるだけ変更を吸収できればと思います。

学校が自習室を開放?

3月に入って、愛知県は「自主登校教室」を小学校などに設置するよう県内各市町村に求めました。名古屋市も同様です。

しかし知事や市長が記者会見などで呼びかけただけです。

あれから愛知県や名古屋市のホームページを探しましたが、具体的にどうしたら利用できるのかは、何も書かれていませんでした。

近隣の小学校や中学校のホームページを見ても、自習室については何も掲載されていませんでした。

あるいは見つからなかっただけかもしれませんが、10分以上かけてネット検索しても見つからないのですから、現状では無いに等しい情報です(2020/3/4現在)。

公式に掲載されていることは、一貫して「できるだけお家で過ごしましょう」という言い方です。

また何か分かったら、このブログでも情報を掲載していこうと思います。

オンライン自習室の開放を準備中

今週は、まずは教室に来れない生徒に向けて、オンライン指導の準備などに集中しています。

オンライン自習室は、来週以降でできるように準備しています。もうしばらくお待ちください。

使うのは、ZOOMというアプリです。パソコン、スマートフォン、Macに対応しています。

学校が配布している資料では朝9時から午後3時までは、家庭学習をするようにとあります。

その時間帯の一部で家庭学習の助けになればと思います。

 


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教室の様子(360度カメラ) http://urx.blue/HCgL

新型コロナウィルス対応 通常どおり・振替・オンライン授業

新型コロナウィルスの対応

塾長です。

新型コロナウィルスへの対策として愛知県の小学校、中学校、高校が3月2日から2週間お休みになりました。
この期間について、ヒーローズ植田一本松校の対応方針を書きます。複数の手段を組み合わせて、できるだけ子供たちの勉強が困らないようにします!

小学校・中学校・高校の主な対応状況

まず学校側の対応を確認しましょう。お子様が学校からプリントを持ち帰ってきています。概ね次のような内容になっていると思います。

  • 3月2日(月)~2週間前後の臨時休み(部活も停止)
  • そのまま連続して春休み
  • 終業式は中止
  • 通知表は家庭訪問などで配付(学校による)
  • 卒業式は規模を縮小するなどして実施(学校による)
  • 公立高校入試は予定通り実施
  • 入学式と始業式の詳細は未定

一部の私立中学、私立高校では学年末テストも中止になりました。

お母さん、お父さんもご存知の通り、安倍首相、愛知県の大村知事、名古屋市の河村市長からの通達を受けて、教育委員会経由で方針が決まりました。トップダウンでの決断です。

塾としての対応

学校が臨時休暇になる3月2日(月)~3月24日(火)について、教室としての対応は以下の通りです。

  • 教室は通常どおり営業いたします。
  • ただし教室に来る前に、下の「塾からのお願い」を徹底してください。
  • 少しでも健康に不安がある人は、お休みしてください(要連絡)。
  • 保護者様の判断で任意にお休みしていただいても結構です(要連絡)。
  • お休みした分は、後で振替するか、オンライン授業で対応します。
  • 自習ができるのは受験生およびテスト期間の生徒だけに制限します。
  • オンライン授業をご希望する場合、あらかじめ環境のご用意をお願いします(無料、やり方は下に記載)。日時など詳細は別途お知らせします。
  • 万が一、教室の中で感染が確認された場合は、すみやかに休校にします。

塾からのお願い

教室に来る前に、お子様に次のことを徹底させてください。少しでも健康に問題があればお休みしてください(要連絡)。

  • 健康状態のチェック(発熱、せき、だるさ、疲労感、はきけ)
  • 検温
  • 手洗いとうがい

また、お電話またはComiruでご家庭に連絡することがあります。保護者の皆さまは、連絡が取れる状態の維持をお願いします。

マスク着用は必須ではない

健康であれば、マスクの着用は必須ではありません。今回は空気感染はしません。マスクが不足して手に入らない人もいます。マスクの着用は「できる範囲」でけっこうです。

そもそも健康な人がマスクをしても予防効果はありません。

マスクの着用が必要なのは「感染の疑いのある人」および「感染者をお世話している人」です。感染者の唾液や鼻水が飛散して濃厚接触が発生しないようにするためです。従ってマスクが必要な時点で、そもそも教室に来てはいけません

日本では、本当にマスクが必要な人たちにマスクが不足しています。マスクの抱き合わせ販売や転売、不適切な価格のつり上げ販売などについて、政府は規制する準備を進めています。
またWHO(世界保健機構)はマスクを予防に利用しない(そもそも予防とは関係ない)ように呼び掛けています。間違った利用者が多くなるとマスク不足が加速されてしまうからです。

オンライン指導をご希望される方にお願い

ご家庭からオンライン指導を受けるために、保護者様の管理の下で、次の準備をお願いします。
パソコンまたはスマートフォンにZOOMというアプリをインストールしておく必要があります。

ハードウェアの準備

インターネットに接続されている

  • スマートフォン
  • カメラとマイクの付いたパソコン

の少なくともどちらか1つをご用意ください。

ソフトウェアの準備

ZOOM Cloud Meetings (略してZOOM)という無料アプリをインストールして使います。
もとはテレビ会議用のソフトですが、便利なので授業に使います。生徒の皆さんが使う分には全て無料です(塾の方で契約しています)。

アカウント情報の用意

インストールにはアカウント登録が必要です。その時になって焦らないように、あらかじめ次の2つの情報を用意しておいてください。

  • 保護者のメールアドレス(未成年のものは使わない)
  • パスワード(好きなものを考えておく)

また後で困らないようにメモを取り、保護者様が大切に保管しておきましょう。

もちろんアカウントの作成も無料です。

ZOOMの入手とインストール

ZOOM開始の注意点

いきなり用語がわかりにくいので違いを書いておきますね。
インストール後に初めて利用する方は、まず「サインアップ」をしてください。

  • サインアップ: はじめての人がメールアドレスとパスワードを新規に登録することです。
  • サインイン : 登録済みの人がログインして利用することです。
  • サインアウト: ログインしている人がログアウトすることです。

ZOOMを使って授業に参加

あらかじめオンライン授業の希望を教室までお知らせください。

授業の時間になったら、アプリを起動して専用のIDを入力するか、または専用のURLをクリックして参加します。

専用のIDやURLは、Comiruを使ってお知らせします。

生徒用アプリComiru

ヒーローズ植田一本松校の保護者様には、全員にComiruの利用をお願いしております。よって、オンライン接続に必要な情報の連絡は、Comiruを通じて行います。

Comiruをログアウトしていらっしゃる場合は、あらかじめログインの状態にしておいてください。

もしも生徒IDやパスワードをお忘れの場合は、教室までお電話ください。

オンライン自習室

自宅での勉強がおろそかにならないよう、オンライン自習室を開放します。

上のZOOMを使って、塾長と繋がる時間をつくります。

対象は、塾生、体験生、または関係者から紹介のあったお子さんです。

塾長がチューターとして生徒たちの家庭学習を応援します。授業ではありませんので、できる範囲で質問に答えるような任意の対応になります。

詳細は追って連絡します。

ZOOMの準備やパソコン設定が難しい?

何か機械を使う時は、必ず何らかのトラブルがあるものです。

しかし小さなトラブルです。必ず解決するのでご安心ください。

もともと塾長はそういうのが得意です。

解決策は1万通りある!?

昔、私が受けた社会人研修の中で「解決策は1万通りある」とおっしゃる講師がいました。

本当に1万通りあるかは別として、何かの問題を解決するための方策というのは、とてもたくさん考えられるものです。

固定観念や思い込みを取っ払って、一度、頭を真っ白にし、その状態であらためて

「こんな状況の中でも、生徒たちのためにできることは何か?」

と自問自答しました。

その結果、1つの解決策では対応しきれないので、

  1. 通常通りの運用
  2. 授業の振り替え
  3. オンライン指導

の3種類を組み合わせて対応するという結論に至りました。

大村知事や河村市長の会見からまだ24時間たっていません。あれから緊急で考え、パソコン設定やZOOMの動作確認などを経て、こうした対応になっております。

これが最良なのかはわかりませんが、現状で私ができる最適解だとは思います。

ご理解とご協力を賜る事ができれば幸いです。

 


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愛知県の高校入試「公立はチャレンジ志願」の動きが加速!

愛知県公立高校入試倍率

塾長です。

公立高校入試について、今年の出願傾向を考察します。

ちょど愛知県の公立高校入試で出願の修正までが終わりました。これで最終的な倍率が確定したからです。

倍率は愛知県のホームページ「令和2年度入学者選抜の志願状況等」で確認できます(2020/2/25発表)。

このデータや生徒たちの動きから、出願の動向を見ていきましょう。

公立高校の倍率

愛知県の場合、公立高校入試の出願は次の手順で行われます(日付は令和2年の例)。

  1.  2月19~20日 願書の提出
  2.  2月20日21時 倍率の速報
  3.  2月21~25日 志望校の変更
  4.  2月25日21時 最終的な倍率の公表

2月20日の夜に倍率を確認して、不安なら翌日21日に志望校を変更します。例年なら、そこでまた生徒が動いて2~3割の高校は倍率が 0.01~0.02 ほど変動します。

ところが、今年はほとんど変動しませんでした。

つまり「出願後に志望校を変更した生徒がほとんどいなかった」というわけです。

ヒーローズ植田一本松校の生徒が良く出願する高校について、具体的に見てみましょう。

令和2年度の主な公立高校の倍率状況

※ 順番は愛知県の発表順です

高校名 倍率
出願時 最終 (昨年)
愛知商業 1.41 1.41 (1.35)
松陰 2.12 2.12 (2.74)
昭和 1.62 1.62 (2.10)
熱田 2.63 2.63 (2.73)
名南工業 1.89 1.89 (2.22)
日進西 1.86 1.86 (2.01)
長久手 1.70 1.70 (1.67)
1.76 1.76 (2.22)
山田 2.59 2.59 (2.45)
名東 2.11 2.11 (2.43)
若宮商業 1.61 1.61 (2.04)
愛知総合工科 1.93 1.93 (1.53)
名古屋西 2.55 2.55 (2.86)
天白 2.71 2.71 (2.79)
日進 1.01 1.01 (1.13)
東郷 1.79 1.79 (1.97)
菊里 2.42 2.42 (2.63)
名古屋商業 2.17 2.18 (1.93)

安全志向からチャレンジ志向へ

上の表の「出願時」と「最終」の列を見比べてみてください。今年の2月20日と2月25日の比較です。

今年は出願の修正がほとんどありませんでした。

もう少し詳しく見ていきましょう。

出願の変更がほとんど無かった

昨年アップしていた松陰、名南工業、日進西、愛知総合工科も、今年は変化がありませんでした。

名古屋商業(CA)高校だけが唯一、倍率の0.01ポイント増加させましたが、それ以外は数字が動きませんでした。

私立高校の授業料が無償化されますが、これが大きな要因かもしれません。

多くのご家庭にとって、私立も公立も授業料は無料です。

これが安心材料となり、公立高校をのびのびとチャレンジする、志望の意志を固くする、という生徒が増えたのかもしれません。

※高校無償化については、こちらの記事に詳しく書きました。

普通科は倍率ダウン、実学科は倍率アップ

つぎに昨年から変化した部分に注目します。昨年と今年の比較です。

全体的に、普通科の倍率が下がり、専門科の倍率が上がった傾向です。

つまり公立高校は「実学志向」が強まった感じがします。

普通科

昨年度に比べて、普通科の高校はほとんど倍率が下がっています。その原因として考えられるのは

  • 生徒数が減少
  • 私立高校の推薦の割合が増加

ということでしょう。

私立高校は4月から無償化されます(年収制限あり)。そのため私立高校に志願者が流れています。

※高校無償化については、こちらの記事に詳しく書きました。

商業科・総合学科

普通科とは逆に、商業科や総合学科の高校は倍率を上げています。

専門的な環境が必要な学科は、授業料も高くなりがちですが、公立高校なら安心です。愛知総合工科のように自治体のバックアップがあれば、なおさら就職への期待も高まります。

環境面で公立高校は専門学科への期待が高まっていると考えられるでしょう。

授業料に差がなくなってくれば、中身で選ばれるようになる、ということですね。

いかに学力格差を縮めるかが今後の課題

私立高校も公立高校も、授業料が無償化になって良かったです。

ただし注意点があります。

受験日程の関係で、どうしても次のような学力格差が生まれやすいです。

高校に入学するまでの「勉強量」の序列

公立高校 > 私立高校(一般入試) > 私立高校(推薦入試)

とても耳の痛い話です。

あらためて入試日程を見てみましょう(令和2年度の例)。

これが「受験勉強を止める日」です。

  • 1月上旬 私立高校の推薦の内々定
  • 2月6日 私立高校の一般受験の受験日
  • 3月9日 公立高校の受験日

公立高校を受験する生徒に比べて、私立高校の専願なら1カ月、私立高校の推薦なら2か月も早く、受験勉強を止めてしまいます。

具体的には、次の悪影響につながります。

中学3年が1月下旬~2月末までに学ぶこと

国語は教科書の構成上、学年末テストまでに全ての単元が終わります。一方、他の4教科は学年末テストが終わった後でも、まだ重要単元が残っています。

受験が早く終わった生徒たちは、次の単元について勉強不足になりがちです。

  • 英語 後置修飾のまとめ、必須英単語と熟語の残り(約60~70個)
  • 数学 三平方の定理と利用
  • 理科 天体、エネルギーの利用
  • 公民 国際社会

特に英語と数学は、高校に入ってからの基礎力になる単元です。

例えば、数1の「三角比」や数2の「三角関数」が苦手な高校生は、中3の冬の単元からやり直した方が良いかもしれませんよ。

私立高校が本命でも卒業まで勉強を続けるべし!

「世の中科」や「情報編集力」で有名な藤原和博先生によれば、

知識7割、思考3割

なんだそうです。ロボットや人工知能が発達する未来でも、人間にとって知識が大切であることには変わりません。

これまでの「詰め込み教育」が

知識9割、思考1割

だったとすれば、それが教育改革で大幅に見直されて、

知識7割、思考3割

に変わっていきます。大幅に改革しても、たった2割しか変わりません。要するに、

人間は知識が無ければ考えることができない!

ってことです。時代がどうなろうと、これは変わらないってことです。

そして、義務教育は考えるのに必要な「最低限の知識」を学ぶ期間です。

時間のある学生のうちに、できるだけ知識を詰め込んでおきましょう。大人になってから学ぶには、お金と時間がかかって大変ですよ。今のうちに学んでおくことです。

ちなみに、うちの教室では、私立推薦で合格を決めた生徒たちも、まだ自習に来てますよ。

 


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愛知県 公立高校入試 2019年の問題を解いてみた塾長の所感

2019年度愛知県公立高校入試問題の写真

こんばんは、塾長です。

公立高校の入試が終わりました。来週はいよいよ合格発表です。

今年は理科が難しかったと聞きますが、どんな入試問題だったのでしょうか?

さっそく分析しました!

と、本当は言いたかったのですが、こんなに日が過ぎてしまいました。
実はここ2週間、プログラミング教室の問い合わせや体験授業がとても多くて大変だったのです・・・という言い訳はともかく、とりあえず今年の出題はこんな感じでした・・・

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愛知県公立高校入試 直前講座 今やるべきこと

愛知県公立高校入試直前講座「今やるべきこと!」

ヒーローズ植田一本松校に通う高校受験生のみんな!
愛知県公立高校入試の本番まで、あと1週間をきりました!

この直前の時期の勉強法を解説動画にしました。
教室で繰り返し言っていることですが、自宅学習でも気にして欲しいので動画にしました。

もともとハスキーなのに花粉症で鼻声に。塾長の声がもうボロボロですが、そこは悪しからず。

 

 

 


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公立高校入試対策は電話帳級の問題集で更に得点1割アップ

愛知県公立高校入試対策のタイトル

こんにちは。塾長の松下です。
今朝は、公立高校入試対策の問題集を生徒ごとに振り分けています。

分厚いですよ。
生徒たちに見せたら「うわー」って言われそうです。

さて、今頃は・・・

試験会場にいる生徒たちの姿が想像できます。
今日で愛知県の私立高校一般入試が終わります。
ちょうど今の時間、3教科目を必死に取り組んでいるでしょう。

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