二次方程式

塾長です。

今回は高校生からよく出る質問、というか疑問

虚数　$ i = \sqrt{-1} $　は実在しない数なのか？

について考えてみます。

２次方程式と２次関数のおさらい

解の公式

まず中学３年生が１学期で習う「２次方程式の解の公式」を思い出してみましょう。

２次方程式$ ax^2+bx+c=0 $の解の公式

$$ x = \frac{ -b \pm \sqrt{b^2-4ac} }{ 2a } $$

判別式

高校１年生になると、さらに「判別式」を習います。
１学期の後半または２学期の初めくらいです。

実数$ｘ$について、２次方程式$ ax^2+bx+c=0 $の判別式をDとすると、

• $D < 0$ のとき、解は０個（解なし）
• $D = 0$ のとき、解は１個（重解）
• $D > 0$ のとき、解は２個

続いて、２次関数$ y=ax^2+bx+c $のグラフと判別式Dとの関係について習います。

２次方程式$ ax^2+bx+c=0 $の解を、次の連立方程式の解とします。

$$ \begin{cases}
y=ax^2+bx+c \\
y=0
\end{cases} $$

$x-y$平面上で２式それぞれのグラフを描くと、その交点が解になっているのでした。
つまり、

２次方程式$ ax^2+bx+c=0 $の判別式をDとする。
$ y=ax^2+bx+c $と$x$軸との共有点は、

• $D < 0$ のとき、０個
• $D = 0$ のとき、１個（接する）
• $D > 0$ のとき、２個（交わる）

この様子を直感的なグラフで表すと、次のようになります。

複素数

高校２年生では、虚数単位 $ i = \sqrt{-1} $ を導入して、$x$を実数から複素数へ拡張します。
すると方程式の解を必ず求めることができるようになります。

２次方程式$ ax^2+bx+c=0 $の判別式をDとすると、

• $D < 0$ のとき、解は複素数で２個
• $D = 0$ のとき、解は実数で１個（重解）
• $D > 0$ のとき、解は実数で２個

であり、どの場合でも解は、

$$ x = \frac{ -b \pm \sqrt{b^2-4ac} }{ 2a } $$

と表すことができる。
特に$D < 0$ のときは$ i = \sqrt{-1} $ として、

$$ x = \frac{ -b \pm \sqrt{|D|} i }{ 2a } $$

である。

ざっと、ここまでが中３、高１、高２の二次方程式と二次関数のおさらいです。

複素数の世界では必ず共有点がある？

素朴な疑問

さて、ここで塾長は、ふと疑問に思いました・・・

せっかく複素数まで拡張して、判別式$D<0$の場合でも解が求まるようになったのに、対応するグラフの共有点が無いままって、寂しくない？

寂しいですよね！？

疑問です。というか、不満です。
なんとかして、このモヤモヤを解消する必要があります。

問題解決というヤツです。

仮説を立ててみる

そこで、

もしかしたら、グラフを複素数まで拡張すれば、共有点が２つに見えるのではないか？

という仮説を立ててみました。

本当にそうなるのでしょうか？

コンピューターの力を借りて、そのグラフを描くことにチャレンジすることにしました。

仮説を立てて確かめるってヤツです。

４次元のグラフは描けない！！

コンピューターは具体的な数値しか扱うことができません。
そこで今回は、つぎの関数を例に、グラフを描いてみることにします。

$$y=x^2-2x+2 $$

もちろん、これの判別式Dは負です。

$$D=(-2)^2 – 4 \times 1 \times 2 = 4-8 = -4 < 0$$

そして方程式$x^2-2x+2=0$の解は

$$x=1 \pm i$$

という虚数解です。

今回の目的

今回の目的を次のように設定します。

ｘを複素数としたときに、
$$ \begin{cases}
y=x^2-2x+2 \\
y=0
\end{cases} $$
の共有点が２つあることをグラフで示す！

実数と複素数で何がどう変わる？

高校１年生までは、$x$も$y$も実数ですから、これは、

実数$x$ を与えると、実数$y$ が１つに定まる関数のグラフ
つまり、
数直線上の１つの実数$x$を、また別の数直線上の１つの実数$y$へ移し変える関数のグラフ

ということになります。
つまり「２本の数直線」があれば、話ができます。
よって、

$x$ が実数ならば、
$y=x^2-2x+2 $ のグラフは、ｘ軸とｙ軸で構成される「平面（２次元空間）」の上に描くことができる

ということです。
直線は「１次元」ですから、２本の直線で表現できる空間は、せいぜい「２次元空間」となります。

さて、

ここで$x$を複素数に拡張します。
そこで２つの実数$a,b$を使って$x=a+bi$としましょう。

$$ \begin{cases}
y=x^2-2x+2 \\
x=a+bi \\
i = \sqrt{-1}
\end{cases} $$

すると、式の計算結果$y$も複素数になります。
そこで２つの実数$c,d$を使って$y=c+di$としましょう。
すると、これは、

複素数$x=a+bi$ を与えると、複素数$y=c+di$ が１つに定まる関数のグラフ
つまり、
実数平面上の座標$(a,b)$を別の実数平面上の座標$(c,d)$に移し変える関数のグラフ

ということになります。
つまり「２つの平面」があれば、話ができます。
よって、

$x$ が複素数ならば、
$y=x^2-2x+2 $ のグラフは、平面a-bと平面c-dで構成される「４次元空間」の中で描くことができる

ということです。
平面は「２次元」ですから、２つの平面で表現できる空間は、せいぜい「４次元空間」となります。

拡張し過ぎた

上の考察から、コンピューターで「４次元のグラフ」を描けば、今回はミッションクリアできそうです。

・・・ん？

無理です！

私たちはどんなに精神を研ぎ澄ませても、３次元までしか空間の広がりを認識することができません。
ましてやグラフを描くことも見ることもできません。

これはコンピューターでも表示できません。

（計算だけならできます。表示が無理ということです）

グラフを３次元にまとめる！

ということで、何とかして３次元で済ませる方法を考えなければいけません。

グラフを３次元で描けるようにする

という「課題」が生まれてしまいました。

どうしたらよいでしょうか？

【豆知識】
問題解決の世界では、最終的に解決する「目的」のことを「問題」と呼びます。
そして、問題を解決する過程（途中）で乗り越えるべき「目標」のことを「課題」と呼びます。

そもそも何がしたかったのか？

道に迷ったら、目的の再確認です。

目的さえ達成すればよいのです。
もしかしたら「やらなくても良いこと」で悩んでいたりするかもしれません。

今回は、$y=x^2-2x+2 $ と $y=0 $ の共有点が２つあることをグラフで描きたかったのでした。

あ、な～るほど！

次元を減らす

目的の式をじーっと眺めていたら、思いつきました。

$ y=0 $なのですから、$y$の方は２次元も必要ありませんね。

だって０（ゼロ）の時だけ考えればよいのですから。そこで、

ｙの次元を２次元から１次元に減らす！

ことを考えましょう。

グラフ表示の方針

ということで、グラフに表示する方針をまとめましょう。

実数の世界のグラフは、横軸がｘ軸、縦軸がｙ軸です。

今回は$ｘ$を複素数$a+bi$へ拡張したのですから、そのグラフは、

• $ｘ軸$を複素平面$a+bi$へ拡張（平面：２次元）
• $ｙ軸$も複素平面$c+di$へ拡張（平面：２次元）

としたかったのですが、無理でした。
これではグラフの座標が (a,b,c,d) の４次元になってしまい、描けないからです。
そこで次の方針としたのでした。

• $ｘ軸$を複素平面$a+bi$へ拡張（平面：２次元）
• $ｙ軸$は１次元に落とした値（直線：１次元）

つまり、

• 横軸だったｘ軸は、横に広がる複素平面に拡張
• 縦軸だったｙ軸は、実数の数直線のまま

これなら３次元の立体的なグラフで表すことができます。

あとは、縦軸のｙをどのような値に決めるか、ですね！

案１：ｙの実数だけを縦軸にとる　→　失敗！

そもそもグラフは実数しか描けません。
そのため、１つの複素数を２つの実数の組に対応させ、それを平面上に表すのでした。

であるならば、安直ではありますが、ｙの実部だけをグラフに採用すればよいかもしれません。

• 横軸：複素数$ x=a+bi $（平面：２次元）
• 縦軸：$ｙ=c+di $の実部$c$（直線：１次元）

それでは、この案でグラフを描いてみましょう。
こうなりました。

馬の鞍みたいな形のグラフになりました。
最後の考察で、このグラフも少し使いますから、とりあえず「馬の鞍型」のグラフとでも呼んでおきましょう。

ちなみに、赤い線が、実数の$x-y$平面上のグラフ（平面 $ b=0 $ で切った切り口）です。

さて、これで目的は果たせたでしょうか・・・？

うーん、何だかよく分かりません。

$x$を複素数に拡張したおかげで、確かに平面$y=0$との共有点は存在しそうです。
しかし「共有点が２つ」である様子が、これでは分かりません。

よく考えてみたら、これはダメです。

もしも４次元のグラフが描けるとすれば、本来のグラフは、

(a,b,c,d) の４次元でグラフを描き、それを平面$c=0$でカットした切り口が、求める３次元のグラフ

が本当のグラフです（※）。
４次元のグラフは描けませんが、本来はそんな感じです。

そう考えると、無条件に$y$の虚部を捨ててしまったのがダメでした。

（※）【豆知識】
４次元の立体を平面で切ると、その切り口が３次元の立体になります。
私たちの世界は３次元です。私たちの世界で立体は３次元です。
例えば、スイカを包丁で切った時の断面を想像してみてください。
スイカは３次元の球です。それを２次元の平面でスパッと切ると、切り口が２次元の円になります。
４次元の世界は、私たちの世界よりも１つ次元が上ですから、上の考察をすべて１つずつランクアップして考えます。
つまり、４次元の中で球体を切ると、切り口が３次元の球になります。

案２：ｙの絶対値を縦軸にとる　→　成功！

そこで、数学的に条件を壊さないことを考えます。

$y=c+di=0$

すなわち、

$c=0$かつ$d=0$の場合

を考えたグラフであれば目的を達成できるわけです。

ところで、

$|y|=0$も同様に$c=0$かつ$d=0$です。

ですから縦軸を$|y|$とすれば、これは実数ですから、うまく１次元に収まります。

• 横軸：複素数$ x=a+bi $（平面：２次元）
• 縦軸：$|ｙ|$すなわち$\sqrt{c^2+d^2} $（直線：１次元）

それでは、この案でグラフを描いてみましょう。
こうなりました。

うまくいきました！

グラフの２カ所が尖っていて、２つの虚数解

$$x=1 \pm i$$

の所で平面$y=0$に突き刺さっていそうです。
共有点は「２だけ」ですから、平面$y=0$上で、それぞれ１点ずつ、チョン、チョンと、くっ付いているはずです。

グラフの解像度の問題で「点」まで鋭利に描き切れていません。
念のため、１００倍に拡大してみましょう。

$x=1 + i$の付近を１００倍に拡大してあります。
この倍率で$x=1 – i$も同時に描くのは不可能なので、１つだけで確認します。

どうです？

共有点の１つ$x=1 + i$の位置へ、グラフが突き刺さっている感じがしますよね。
このグラフを１０００倍にしても、１００００倍にしても、ずっとこんなグラフになります。

「１点に突き刺さ差っている！」

のですから、倍率をどこまで上げても、こんな感じです。
もちろん、$x=1 – i$ についても同様です。

これで本当に

「たった２点」だけの共有点を持つ！

ことが、グラフで表示できたのではないかと思います。

思ったより大変でした。

教えてエライ人！

上のような考察をFacebookにアップしていたら、色々な人からご意見をいただきました。
なかでも吉田先生には色々と教えていただきました。

ということで、今回のエライ人は、吉田信夫先生です！

吉田先生はあの「大学への数学」で原稿を書かれていた先生の内の１人です。
超すごくないっすか！

先生のブログ「yoshidanobuo’s diaryー高校数学の“思考・判断・表現力”を磨こう！」はこちらです。

グラフで虚数解を見える化するにあたり、いろいろとご指導をいただきました。
また数学的におかしな用語の使い方についてもご指摘いただき、修正することができました。

用語の誤用

今回やってしまった用語の誤用を２つ紹介します。

どこが間違っているのか、考えてみてください。

• 誤用１：「$y=x^2-2x+2$の判別式の値は負です。」
• 誤用２：「複素数$x=a+bi$と実数$y$において、$y=|x^2-2x+2|$のグラフ(a,b,y)は、平面$y=0$と２点で接しています。」

わかりますか？

私は吉田先生に指摘されるまで気づかなかったです。まさに

「それは違反です」

という感じで、御用とあいなりました。

大学入試の２次試験で記述回答を予定している人は、気を付けてくださいね。

さて、上のものは次の点で間違っていました。

• 誤用１：関数に対して判別式を語ったところがアウト。判別式は方程式「$0=x^2-2x+2$」に対して定義されるもの。
• 誤用２：「接する」は「微分可能な領域」で定義されるもの。今回は尖っていて微分不可（微分する向きによって微分係数が異なる）。

さぁ、どうでしたか？

滑らかに「接する」グラフにする

さらに誤用２に関連して、グラフが２つの$x=1 \pm i$で「接する」ようなｙの取り方も教えていただきました。

みなさん、分かります？

• 横軸：複素数$ x=a+bi $（平面：２次元）
• 縦軸：$|ｙ|^2$すなわち$ c^2+d^2 $（直線：１次元）

それでは、この案でグラフを描いてみましょう。
こうなりました。

ｙの値が２乗されているので、グラフが大きくなりすぎて「２点」どころではなくなってしまいました。
そこで例によって、$x=1 + i$の付近を１００倍に拡大してみましょう。

おお、本当に滑らかに接してそうですね！

例によって「１点」で接しているので、このグラフを１０００倍にしても、１００００倍にしても、ずっとこんなグラフになります。

次元を減らすもう１つの方法

さらにさらに、吉田先生からもう１つのグラフ表示の方法を教えていただきました。
$x=a+bi$ としたときに$y=0$を満たすような

$y=0$　を　(a,b)　だけで描く！

です。

つまり、(a,b)に色々な実数を当てはめて　$x=a+bi$　を動かしたときに、$y$　がどのように動くかを図示します。
もう少し正確に言うと、$y=0$　を満たすような「ｙの実部」と「ｙの虚部」をそれぞれ平面(a,b)上に図示します。

$y$　の値もまた　(a,b)　の関係式として表現されるため、グラフの次元は(a,b)の２次元だけで済みます。
１つの複素平面だけで示すやり方です。

やってみましょう。まず、

$$ \begin{cases}
y=x^2-2x+2 \\
x=a+bi \\
y=c+di
\end{cases} $$

について、

$x=a+bi$　を　$y=x^2-2x+2$　に代入して整理すれば、

$$ y=a^2-b^2-2a+2+2b(a-1)i $$

です。

$y=c+di=0$　すなわち　$c=0$かつ$d=0$　の場合を考えるわけですから、

$$ \begin{cases}
a^2-b^2-2a+2=0 \\
かつ\\
2b(a-1)=0
\end{cases} $$

すなわち、

$$ \begin{cases}
b = \pm \sqrt{(a-1)^2+1} \\
かつ \\
a=1　または　b=0
\end{cases} $$

です。
これらの交点が求める解になります。

あらためて、実部の$a$を$x$とし、虚部の$b$を$y$として、複素平面$x-y$にグラフを図示したのが下です。
これは吉田先生からいただいたグラフです（軸が$x-y$になっていますが、$a-b$に読み替えてください）。

$a^2-b^2-2a+2=0$のグラフが青で、$a=1$と$b=0$のグラフが赤です。

確かに複素平面の世界では、２点の共有点がありました。
そしてグラフの交点はそれぞれ、$ 1+i $　と　$ 1-i $　です。

これは感動です！

考察とまとめ

もしも

$$ \begin{cases}
y=x^2-2x+2 \\
x=a+bi \\
y=c+di=0
\end{cases} $$

のグラフを４次元　$(a,b,c,d)$　の空間上に描けたとしましょう。

すると、上の吉田先生からいただいた平面グラフは、その４次元グラフを　$y=0$　で切った切り口であるといえます。

やってみました。それが下のグラフです。

緑の実線が、実数の世界での２次関数のグラフです。
赤の実線と青の実線は、それぞれ上の平面グラフに対応しています。

このグラフをもとに、これまでの話を全て振り返ってみます。

まず青い曲面が、最初に描いた「馬の鞍型」のグラフです。
これは４次元グラフを平面 $ d=0 $ で切ったときにできる立体です。
そして、この青い曲面をさらにｙ＝０で切ると、青い実線の双曲線になります。

次に、４次元グラフを平面 $ c=0 $ で切ったときにできる立体も考えます。
それが、上のグラフの赤い曲面です。
そして、その赤い曲面をさらにｙ＝０で切ると、赤い実線の２直線になります。

そして青い双曲線と赤い直線の交点が、まさに　$ 1 \pm i $　となっています。

これらの様子を総合すると、２次方程式の虚数解　$ 1 \pm i $　は、

• ３次元空間　(a, b, c)　の曲面（縦軸をｙの実部としたグラフ）
• ３次元空間　(a, b, d)　の曲面（縦軸をｙの虚部としたグラフ）
• ｙ＝０の水平な平面

の３つを重ねた時にできる共有点

であることがグラフで確認できました。

グラフ表示に使ったPythonプログラム

今回、グラフを描くのにプログラミング言語の「パイソン（Python）」を使いました。
以下が、そのプログラムです。
Jupyterという環境を使いました。

ちなみに、パイソンのプログラミングを学ぶなら、無料で使える Google Colaboratory がオススメです。
もちろん下のプログラムも Google Colaboratory で動作します（動作確認済）。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
%matplotlib inline
fig = plt.figure(figsize = (8, 8))

# Axes3D
ax = Axes3D(fig)

# タイトルを設定
ax.set_title(“$y=|x^2-2x+2|$”, size = 20)
#ax.set_title(“$ y = |x^2-2x+2|^2 *100 $”, size = 20)

# 軸ラベルを設定
ax.set_xlabel(“x-Real”, size = 14)
ax.set_ylabel(“x-Image”, size = 14)
ax.set_zlabel(“y”, size = 14)

# 表示角度の設定
ax.view_init(elev=10, azim=35)

# 座標のメッシュ
rr = np.linspace(-1.5, 3.5, 200)
ii = np.linspace(-1.5, 3.5, 200)
#rr = np.linspace(0.9, 1.1, 200)
#ii = np.linspace(0.9, 1.1, 200)
i0 = np.zeros(200)
r,i = np.meshgrid(rr, ii)
z = r + i*1j

# 曲線・曲面を描画
y0 = r*r-2*r+2
ax.plot_wireframe(rr, i0, y0, color = “red”)
y = np.abs( z*z-2*z+2 )
#y = ( np.abs( z*z-2*z+2 ) )**2 *100
ax.plot_surface(r, i, y, color = “yellow”, alpha=0.4)
plt.show()

あとがき

どの学年も文字式と関数の季節になりました。

今年から中学生は教科書改訂で「主体的な学び」が重視され、プログラミング教育も強化されました。
来年からは高校生でもそうなります。

そういう流れの中で、今回は、

高校生のレベルで数学を題材に「主体的な学び」を「プログラミング」も活用して行ったらどうなるか？

を実践してみました。

さらに今後の常識というか、新しい価値観である

「集合知」で「問題解決を加速する」という姿勢

も取り入れてみました。
ですから、問題解決の用語や流れも、それとなく意識してあります。

これが次世代型の教育であり、同時に、いま日本で遅れてしまっている教育でもあります。

今のところ私はそのように思っております。

教育者も間違えます。
先生が何でも知っていて間違いを起こさない聖人君子である、なんていう時代は終わっています。
そもそも非科学的で不合理です。

もう、１人の聖人君子や、優れたリーダー、１部の天才に問題の解決を任せるよな時代では、ありません。
というか、そんな人はいません。
幻想です。

今や、世界中の人たちがコンピューターでつながっているのです。
みんなが意見や知恵を出し合う「集合知」で、いち早く問題を解決していこう！
そのように考える方が大切です。

このような価値観でコンピューターを活用しながら問題解決を実践できる人。

それが、これから日本で、いや世界で多く必要とされる人たちなのだと思います。

現場からは以上です。

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ＴＥＬ：０５２－８９３－９７５９
教室の様子（360度カメラ）　http://urx.blue/HCgL