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公立高校

中学2年生からの質問 今から受験に備えてやるべきこと

基礎固め≠簡単

塾長です。

中学2年生の女子から質問をもらいました。

今から少しずつ受験に備えて勉強していくとすれば、何がおすすめですか?

はい、お答えします!

当たり前なんだけど、なかなかできない。

みなさんなら何と答えますか?

中2から準備する高校受験の対策ベスト3

  1. 英単語を覚える
  2. 漢字を覚える
  3. 計算練習

これです!
即答でした。
順位は人によりますが、どれも外すことはできません。

なぜですか?

それぞれ次の理由があるからです。

  1. 必須単語が約1200もあって大変だから
  2. 必須漢字が約2100もあって大変だから
  3. 計算できなければ応用もできないから

勉強で最初に克服すべきものとは?

もっと根本的には、次のような勉強の定石があります。

  1. 数が多いもの
  2. 土台になるもの

は早いうちからコツコツやるべし!

英文法は中3から起死回生が可能です。ただし英単語が全く頭に入っていなければ不可能です。
計算ができなければ文章題はおろか、地理の時差計算や理科の濃度や密度の計算もできません。

数が多いものとは?

上でも書きましたが、まず何といっても漢字と英単語です。

これだけで合計3300個以上もあります。
およそ半分は「読める」だけでよく、残り半分は「書ける」までの実力が必要です。

そして漢字の多くは二字熟語で練習しますから、その過程で語彙力もかなり身につきます。

英単語の意味を確認する過程でも同様です。
英語と日本語の意味を比較しながら真面目に取り組めば、漢字と英単語の練習だけでも、かなり読解力が底上げされるでしょう。

同時に、英単語や漢字を練習することは、言葉1つ1つの意味を注意深く捉える練習にもなります。

読解が苦手な子は1つ1つの単語の意味をとらえていません。
1つの文を全体として、何となくボヤンと意味をとらえてしまう癖があります。

この現象は英語の和訳をやらせれば、素人の目にも明らかでしょう。
ご家庭でもお子様にやらせてみてください。
簡単にチェックできます。

こうした悪い癖を直すのは難しいのです。
なぜかというと、言葉1つ1つの意味をとらえる練習をする必要があるからです。

漢字や英単語の練習をすれば、そうした練習のかなりの部分を兼ねることができるでしょう。

「理解しているけど書けない。」

そう言う子の弱点は、たいてい単語力や漢字の力です。
しかも自分が思っているほどは、実は理解できていないものです。

しかも、数が多いので受験生になってから焦ってやっても間に合いきれません。

土台になるものとは?

土台になるものとは、計算力と読解力です。

ただし読解力の方は、漢字力と語彙力さえ身に着いていれば受験生になってからでも起死回生が可能です。
一方、計算力の方は根が深いです。

読解力と計算力のどちらが土台か、と問われたら、私は計算力の方を挙げます。
もちろん、これは究極の選択で、どちらも外すことはできませんよ!

それはともかく、

土台になっているものは、着手が遅れると全ての勉強が遅れます。
影響範囲がとても広いのです。

読解力が極端に低ければ、理科や社会の文章題の意味がくみ取れません。
計算力が無ければ、社会の資料問題、理科の計算問題などが全て解けません。

このように色々なものの基礎になっています。
ですから、そのような勉強は早めに手を付けておく必要があります。

基礎=簡単ではない!

私立高校の推薦入試がメインになってきました。
そのため、最近は夏休みが終わって秋になってから

「受験対策をお願いします!」

と慌てて塾に来られる人が増えてきました。

もちろん、可能な限りのサポートはします。
しかし、例えばお子様のIQが120未満であれば、ご期待に添えるのは難しいです。
何かの特殊能力や事情でも無い限り、普通は難しいです。

さて、多くの人は、

基礎

と聞けば、

簡単

というイメージを持たれるかもしれません。
しかし上で述べてきました通り、

基礎 = 多数 かつ 土台

というのが本当です。

勉強が苦手で嫌いで、そのま秋になってしまった・・・
そのようなお子様は多くの場合、入試では国語の漢字と記述問題、および英語をまるっと捨てる運命になります。

もちろん私立中学のお受験経験者とか、IQが高いとか、何かチートな設定があれば、それこそドラマのような超人的な努力によって奇跡的な挽回を狙うことは可能です。

でもね、それができるのは、たいてい自分ではないのです。私もそうでしたが。
そんなに都合よく一発逆転とはいかないものです。

最近は転生したら最強だったというチート系のアニメや小説が流行っているようですが、それは自分ではありません。

受験の終盤になってから焦っても、間に合いません。

何はともあれ、数が多いものや土台となるものは、学習に時間がかかります。
できるだけ中1からコツコツとやって欲しいです。
着手が遅れると得点力を落とします。

中2から基礎の鍛え直しに気付いた君はラッキーだ!

それでも、中2で気が付けば、まだラッキーです。
ぜんぜん、十分に挽回できます!

頑張ってちょ!!

あとがき 甘い言葉には要注意!?

漢字も英単語もあまり書けない。

中3の夏休みまで勉強らしい努力をせず、盆休み明けに駆け込みで相談してきた親子がありました。

私は上で述べたような現実的な話をして、できることを提案しました。
これまで、同じくらいの成績の生徒たちが、どの高校へどうやって進学して行ったかをお話ししました。
また高校には行ってから目覚めて、化ける生徒もいたことをお話ししました。

高校受験だけではなく、高校へ進学した後も継続して努力する、という話も含めて、勉強の話や実力をつけることの意味を説きました。

しばらくして、その親子は、家庭教師にお世話になることにしたと、わざわざ連絡をしてくれました。
ちょうど同じ時期に、訪問販売で売り込みに来たのだそうです。
それはそれで良い選択をされたと思いました。

しかし気になることを言いました。

その訪問販売員は、私のアドバイスの話をしたら、私の話しを馬鹿にしたそうです。
そして、

「うちなら絶対に成績を上げて、○○高校に行けるようしにますよ!」

と言われたそうです。
それが決め手だったようです。

「松下先生は、絶対に○○高校に合格させるとおっしゃっていただけませんでしたよね。」

「はい。指導経験から嘘偽りなく、言葉を選んでお話ししているつもりです。○○高校はとても努力して来た生徒が合格しています。」

「でも、その家庭教師は『絶対に行ける』と言ってくれたんです。それにかけてみようと思ったんです。」

「わかりました。吉報をお待ちしております。」

私は不安になりました。

後で聞きましたが、成績は上がらず、当初から私と相談していた高校に進学したそうです。
そして教科書改訂にも対応していない、多くの教材を買わされたそうです。

現実を隠して「がんばれ」と非現実的なアドバイスを言う人は、信用してはいけません。
気持ちの良いことを言うのは霊感商法と同じです。

ただし、人生はそれほど単純ではありません。
幸いなことに、その子の人生がそれで狂ってしまったのかと言えば、そんなことはありません。

進学した私立高校で、充実した3年間を送ってくれたようです。

受験の苦い経験は、決して無駄にはならないでしょう。

塾長も高校受験で公立を不合格になって、大学受験でも浪人しました。
受験の失敗くらいで、人生まで失敗してしまうことにはなりません。

そういうことを教えるのも仕事です。

 


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愛知県公立高校入試 2020 競争が緩和され得点率が下落

受験戦争は終わりました

塾長です。

生徒の皆さん、朗報です。
受験戦争が終わりつつあります。

しかも私立高校も公立高校も無償化されています。

みなさん、好きな高校へ行きましょう!

愛知県公立高校入試 過去4年間の平均点

愛知県のホームページ「高等学校への入学」に昨年度の平均点が掲載されました。
公立高校入試の平均得点(22点満点)について以下の通りです。

国語 数学 社会 理科 英語
R02 受検者 14.1 14.2 10.8 9.7 12.8 12.4 10 10.7 10.9 10.8
合格者 14.7 14.7 11.5 10.1 13.4 13 10.7 11.3 11.5 11.4
H31 受検者 13.6 13.5 12.7 12 12 12.6 8.5 9.6 11 11.2
合格者 14.1 13.8 13.1 12.4 12.5 13 9.1 10.1 11.7 11.5
H30 受検者 13.8 14.2 12.4 11.2 13.4 11 10.3 10.8 11.1 11.4
合格者 14.5 14.8 13 11.8 13.8 11.6 10.8 11.4 11.6 12
H29 受検者 15.3 13.6 10 13.5 13.9 11.6 11.4 11 11 12.3
合格者 15.7 14.1 10.3 13.9 14.4 12 11.9 11.5 11.3 12.8

※ 出典: 愛知県HP「高等学校への入学」-「(6) 学力検査得点の平均点(全日制課程)」

全体的な傾向としては、毎年どんどん平均点が下がってきているようです。

ただし表のままでは分かりにくいですね。
他の情報も含めて分析していきましょう。

過去5年の推移

科目別に平均点を見てしまうとバラツキが大きいです。
そこで5教科の合計点で見ることにします。
各方面や各先生のブログなどから次の情報を集めてみました。

  1. 公立高校入試5教科総合得点の平均点
    個別学習のセルモ 日進西小学校前教室 西尾先生のブログ
    https://www.selmo-nisshin.jp/2019-06-21-enter-exam-average/
  2. 公立高校定員割れによる二次募集の人数(県の合計)
    未来義塾 守田先生のブログ
    https://miraigijuku.com/2020/03/28/28-3/
  3. 中学生の人数(県の合計)
    愛知県 令和元年度 学校基本調査結果「学校調査(PDFファイル)」P20
    https://www.pref.aichi.jp/uploaded/attachment/321931.pdf
  4. 普通科全体の受験倍率
    2018~2019年度 愛知県ホームページ
    https://www.pref.aichi.jp/soshiki/kotogakko/0000027366.html
    2015~2017年度 さくら個別指導学院 國立先生のブログ
    https://sakura394.jp/aichi-hi-school/owari-kouritu/how-to-read

次の表にまとめました。

愛知県公立高校入試 年度推移

卒業年度 二次募集
人数
中学生数
(人)
倍率 平均得点率 (%)
A日程 B日程
2015 420 216944 2.43 59.6 57.4
2016 550 213816 1.9 55.1 56.9
2017 789 210948 1.88 56.0 56.4
2018 1,064 206910 1.96 55.5 53.3
2019 1,560 206367 1.91 52.5 53.5

せっかくなので表にしました。

  • 青色系が平均点の推移です。
  • 赤色~オレンジ系が定員に関する動態です。

愛知県公立高校入試の年度推移_2020

 

なぜ入試の平均点が下がり続けるのか?

上の青い折れ線のグラフを見れば、年々、入試の平均点が下がっているのは明らかです。

「脱ゆとり教育」や「高大接続教育改革」などで指導要領が増えて難易度も上がっていることは確かです。
ということは、やっはり、入試が難しくなってきたので平均点が下がっていると見るべきでなのでしょうか?

塾長は今年の入試問題について次のように分析してブログを書きました。

愛知県 公立高校入試 2020年の問題を解いてみた塾長の所感

この中で全体的に問題文が長くなる傾向や、思考力を試す問題が増えている傾向をだと書きました。
確かに少しずつ問題が難しくなっているのだと思います。

ただし気になるのが赤い折れ線のグラフです。

公立高校の定員割れが、どんどん目立ってきているということです。

また、オレンジ色の折れ線のうち、上の折れ線は中学生の人数、下のは公立入試の競争倍率です。

生徒数が減少しているにもかかわらず、入試の倍率が2倍弱で安定しているのは、公立高校の定員が調整されているためです。

これについて考察してみましょう。
グラフには書いてないことも含めて、一昨年前から昨年にかけて、次の変化が分かっています。

  • 中学生の人数が540人くらい減少した
  • 公立高校の定員が320人減少した
  • 私立高校の定員が約100人減少した
  • 公立高校の二次募集人数が496人増加した
  • 高校進学率は9割以上である
  • 私立高校のほとんどが定員の50~80%を推薦入試としている
  • 私立高校も含めて高校が無償になった

まず生徒数が540人減ったけど定員は420人しか減っていません。この時点で定員に余裕があります。

同時に、私立高校の推薦枠が増大し、私立も無償化されました。であれば入試日程の遅い公立高校の人気は下がります。

結果として公立高校は定員割れをおこして二次募集の人数が増えています。

志願時点までは受験倍率を2倍弱にキープできていますが、実際には途中から多くが私立高校に流れていることが浮き彫りになってきました。
公立高校は定員割れを起こしており、その人数が増加しいていることから、実質的な倍率は低下していると言えましょう。

つまり高校の受験競争は緩くなってきていると言えます。

これはもう確実でしょう。

つまり、そんなに難しい問題まで解けなくても合格できる状況にあると言えます。

受験生の学力が例年通りだと仮定しても、問題が難しくなれば平均点が下がるだけと予想され、実際に数字がその通りになっています。

つまり入試の問題を難しくしても平均点が下がるだけで、教育的な効果は無いと言えます。

受験や競争が勉強する理由にはならなくなってきた

上のことを簡単にまとめますと、

  • 子供の数より高校の定員の方が多い
  • 推薦入試の方が定員が多いし受験も早く終わる
  • 私立高校も含めて高校は無償で行けることになった

という時代になりましたので、無理して勉強しなくても進学できるようになりました。だから、

  • 入試の問題を難しくしても、だれもそこまで勉強しない
  • 入試の難易度をx点分難しくすれば、平均点がx点分だけ下がる

という状況になりつつあります。

従いまして、

教育改革の方向性として、入試の問題を難しくする路線は間違い(意味ない)

という結論になりそうです。

そして、この状況は大学入試も同様です。

大学の方が、もっと定員が余っています。

おそらく大学入試の新テストはセンター試験よりも平均点が下がるでしょう。

同時に、新テストで導入された難しい問題は、受験生の学力を上げる効果には繋がらないでしょう。

意外に思われるかもしれませんが、実は塾長としては、それはそれで良いことだと思っています。

二極化が起こり、次に差別化が起こり、最後に個別化が起こる

このように全体としては大きく早い変化の最ただ中です。

しかし人々の価値観は、変化に気づいてから追従するかたちで、ゆっくりと変化します。

二極化のフェーズ

ですから当面は

「偏差値が高い高校」=「良い高校」

という価値観は存続するでしょうし、姿を変えて永続もすることでしょう。

つまり一生懸命3月まで勉強する生徒と、あまり勉強しない生徒で、学力の格差がものすごく開きます。

あくまで偏差値という見方をすれば、おそらく中堅クラスの高校という存在が無くなっていきます。

偏差値の難易度は、難関校はさらに偏差値が上がり、中堅以下はどんどん偏差値が下がります。

差別化のフェーズ

私立高校は推薦枠を広げて一般入試の定員を絞ることで、一応、偏差値ランクの維持を試みます。

しかし生徒数はさらに減ります。

そのような対策もすぐに限界が来るでしょう。

同時に、推薦で受け入れた生徒たちをしっかりモチベートし、勉強してもらうように導かなければなりません。
その子たちが卒業した後で、高校の名誉を上げてくれなければ、高校が続きません。

だからといって偏差値で競争して大学の進学実績を上げる作戦には無理があります。
推薦で受け入れた生徒たちは偏差値の競争が苦手だからです。
しかも大学はもっと二極化が進んでいて、名の通る大学は、さらに偏差値の難易度が上がっています。

では、どうするか?

進学実績以外で、高校の存在意義をアピール数しかありません。

他の高校との差別化です。

  • 注目度の高い部活を強くする
  • かるた部など新しい分野の部活で一気に有名になる
  • 大学とのパイプを太くする
  • 交換留学のパイプを太くする
  • 資格試験に強い学校にする
  • 特殊学科を増やす

などです。

すると今度は、推薦入試のマッチングがもっと大切になってきます。

高校の活動や特長に賛同してくれる生徒を1人でも多く一本釣りするような入試になります。

こうなると入試というよりは「お見合い」です。

高校全体としては、むしろ一般入試で偏差値の高い学生を受け入れるよりも良い結果をうむでしょう。

このように「お見合い」入試をする高校は現在どんどん増えています。

もちろん大学も同様です。

個別化のフェーズ

差別化はさらに細分化し、最終的には、生徒ひとり一人に合った教育をしていく所まで行きつくでしょう。

これまでは不可能だったかもしれませんが、ITSで可能になってきます。

個別化です。

しかし、このフェーズにある高校は、まだほとんどありません。

これからです。

これからの学力とは?

上のようなことを書くと、

学力の向上が置き去りにされてしまうのではないか?

と心配になる人もあるでしょう。

もちろん学力は大切です。

ただ「学力」の意味を問い直したうえで「新しい学力」の向上をはかる、という意味で大切です。

そういう時代に来ていることは確かだと思います。

難解な文章の読み書きが、本当に国語力なのか?

塾長は文を書くのが好きですが、分かりやすい文章で書こうと思うと、すごく書くのに苦労します。
こうしてブログを書くからには、多くの人に読んてもらわないと役に立ちません。
しかし難解な文章を書いていたら、だれも読んではくれません。

そのようなことに気を遣うと、作業の効率が悪くなるのです。
だから塾長は、文章力がないというか、本当の国語力がまだまだ足りないと思っています。
まだまだ国語を勉強しいてます。

そう考えますと、

あれ?

学校や入試対策では、今まで逆のことをやってきましたよね。

お偉い評論家の書いた難しい文章を、正確に緻密に読み解く訓練をしてきました。
生徒に現代文を指導するときも、そんな感じで指導すると点数が伸びます。

だからパズルのように深い意味が編み込まれた文章を書ける方が偉いのだと、何となく思わされてきました。

しかし社会に出て、

  • ブログを書くとき、
  • 広告を書くとき、
  • 報告書を書くとき、

どうでしょう?

難しい文章を書こうものなら、

  • 誰にも読んでもらえません、
  • 注目されずに成果が出ません、
  • 上司から「わからん!」などと怒られます

おかしいですよね。

今まで勉強してきた国語力とやらを発揮すればするほど、役に立ちません。

日本の国語の教育は、本当に正しいのでしょうか?

私は最近、難解な文章の読解を試すような教育は、正しくないと思うようになりました。

それどころか職場で使えない人間を量産してしまう危険性すらあります。

表現方法を多種多様にするべし!

上のような国語教育の失敗がなぜ起こってしまうのかを考えましょう。
次のことを考えてみてください。

これまでの偏差値教育の最大の欠点は何でしょうか?

これについて私なりに答えを持っています。
私がこの問題に名付けた名前からご想像ください。

「文字列依存症」

こうに呼びたいと思います。

※ 中二病でもよいですが、これには色々な意味がありすぎるようなので、別の名前にしました。

その問題とは、

教科が何であれ「読む」「書く」「聞く」「話す」という4技能のすべてが「文字列」だけに依存しているということです。

例えば、社会の試験なのに、漢字で書けなければ失点、とかは単なる罰ゲームです。
時間の無駄とは言いませんが、その採点基準をクリアするための努力は時間と体力の消耗でしかありません。

情報処理の資格試験でさえ、回答が漢字でないとダメみたいですから、もう病気ですね。
パソコンを使う技術者に漢字調べや漢字の自動変換を許さないと言っているようなものですから。

難しい文章で説明するより、図表を使った方が分かりやすいのであれば、図表を使うべきです。

情景を表現するのは文章だけではありません。

文章を読み書きする力と、絵や図表で読み書きする力は、教科を問わず等しく扱われるべきですよね。

既存のくだらない採点基準を一発で亡き者にできる方法があります。

試験には、辞書でもパソコンでも持ち込み可能にしてしまえばよいです。
これだけで教育のすべてが改善されるでしょう。

今までこれができなかったのは、情報の伝達手段が貧弱で高価だったからです。

本当の学力とは?

今は違います。

文でダメなら絵で、あるいはスピーチや動画で。

情報のインプットもアウトプットも、色々な手段があるので、どれか1つの手段で解釈に成功すれば〇がもらえれば良いでしょう。

そのような教育体系に早く進化させるべきでしょう。

試験の問題は多種多様な表現手段と膨大な情報量で構成されるべきでしょう。
回答形式も自由で良いと思います。

その前に、そもそも試験は不要になるという問題もあります。
ITSで生徒たちの学習過程の全てがロギングされていれば、評価のためにわざわざ試験を行うなんて必要がありませんから。

これからの学力は5感のどれかで、あるいは全てを使って回答を導く能力のことだと、塾長は思います。

しかも問題が複雑化する現代にあっては、模範解答ではなく、最適解が求められるのです。

ますます多様な表現手段が必要です。

これまでは、教育の世界で扱うことができた情報伝達手段がショボかったので、そのシュボさに合わせて文字列依存症の教育になっていました。

文字列というごく狭くて限られた世界で、文字列を扱う能力が伸ばせた人だけが高い偏差値をとって「優秀」とされてきました。

今もです。

早くその状態を脱するために、教育のITS化があるのだと思います。

 


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愛知県で良かった。私立高校の無償化が大幅に拡大!

家計簿でニコニコお母さんのイラスト

塾長です。

2020/1/31に嬉しいニュースがありました。愛知県は恵まれていますね。

私立高「無償」世帯拡大へ 愛知県、年収720万未満対象に」(中日新聞

もともと愛知県は独自に助成を行い、全国より先駆けて私立高校の無償化に取り組んできました。来年度からやっと国の助成がそのレベルに追いつきました。そしたら、愛知県は更に対象を拡大することにしたのです。
そして国は入学金の補助はありませんが、愛知県は20万円まで補助され、その対象も今回は同様に拡大されます。

常に全国の先を行く高校の無償化。それが愛知県ですね!

そこで1月10日に書いたブログを更新しました。

知っておきたい高校の授業料と無償化の実際(愛知県用 改定版)

具体的に誰に何がどうなったのかは、上記をご覧くださいませ。
ただし愛知県の県議会で予算が通るのはこれから。あくまでも予算案の段階でニュースになりました。つまり具体的な金額はこれから決まります。上記ブログの更新では推測額を青色表示にしました。

現場からは以上です。

 


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知っておきたい高校の授業料と無償化の実際(愛知県用 改定版)

家計簿をつけるお母さんのイラスト

塾長です。

2020年4月から高校の無償化が拡大します。申し込みは高校を通じて行ってくださいね。
実は1年前にも「同じテーマの記事」を書きました。そちらは古いので、こちらをご参照ください。

※ 2020/2/3 に記事を修正しました。愛知県の補助金が拡大されたのを反映しました。

主な変更差分

2020年4月からの改正ポイントをまとめると、次のようになります。

  • 愛知県では、今まで授業料の補助が手薄だった世帯年収350~720万円の層も私立高校が無償化される
  • 愛知県では、今まで入学金の補助が手薄だった世帯年収350~720万円の層も私立高校が無償化される
  • 国が一律に支援するため、世帯年収590万円までは都道府県による支援格差が是正される

上記の条件に当てはまらないご家庭にとっては、大きな変更はありません。総じて、

年収720万円未満までなら一律に私立高校まで実質無償化!+入学金20万円まで補助

と考えればよいでしょう。

ただし月額33,000円よりも授業料が高い私立高校は、その差額分の自己負担が必要です。これは今まで通りです。
また年収720~910万円のご家庭で私立高校に通う場合は一部が自己負担になり、年収910万円以上では補助金の対象外です。これも今まで通りです。

この報道のインパクトは大きかったです。

県からの補助金拡大のニュースがあったのは2020/1/31でした。残念ながら、私立高校の願書を提出した後でした。つまり来年からは私立高校の志願者がさらに増えるでしょう。例えば少し通学に不便な公立高校などは、倍率が1倍を切って全員合格ということも出てきそうです。

さて、高校の授業料と補助金について、詳細にまとめます。1年前からの差分は赤で示しました。

高校の授業料(全日制)

ご存知、高校は義務教育ではないため、授業料を支払う必要があります。

高校の入学以降で必要になるお金は、受験料、入学金、授業料、PTA会費、施設費などの他、制服代や文房具代、教材費などがあります。
中でも大きな金額を占めるのが、入学金と授業料です。主にこの2つが補助の対象です。

もしも何も補助金が無かった場合、高校の授業料は、だいたい次の表のとおりです。

愛知の県立高校
入学金 授業料(月)
5,650円 9,900円
愛知の私立高校
入学金 授業料(月)
200,000円前後 30,000~40,000円

※私立高校の授業料は全国平均で年間約40万円と言われています

何が減免される?

現状、国や自治体などから受けられる主な支援は次の種類があります。
多くの人にとって公立高校および私立高校が実質無料、または減免となります。
※世帯年収によって補助金が変わり、約910万円以上は対象外です。

  1. 消費税の免除(高校に限らず学校全般)
    ・・・そもそも学校の授業料には消費税がかかりません
  2. 国の「就学支援金」
    ・・・国から受けられる授業料の補助(金額は所得による)
  3. 愛知県の「入学料補助金」
    ・・・愛知県から受けられる授業料の補助(金額は所得による)
  4. 愛知県の「授業料軽減補助金」
    ・・・愛知県から受けられる授業料の補助(金額は所得による)
  5. 高校独自の助成制度
    ・・・各高校が独自に用意した特待制度など(学校による)
  6. 国の「高校生等奨学給付金」
    ・・・授業料以外も支援する給付金(生活保護・非課税の世帯のみ)

※ 国は「支援金」、県は「補助金」と呼びますが、ブログの本文中では便宜上「補助金」で統一します。

いくら減免される?

国からは授業料について支援金があります。2019年12月20日に閣議決定されました。
愛知県からは入学金と授業料について補助金の拡大がありました。2020年1月31日に発表されました。
両方を併用することができ、合計金額が実質的な補助金になります。

入学金の減免額
世帯年収 県の補助金
350万円未満程度 200,000円
350万円~720万円未満程度 200,000
720万円~840万円未満程度 100,000
840万円以上程度 0円
授業料の減免額(月額)
世帯年収 国の支援金 県の補助金 減免の合計額
270万円未満程度 33,000 200 33,200
270万円~350万円未満程度 33,000 200 33,200
350万円~590万円未満程度 33,000 200 33,200
590万円~720万円未満程度 9,900円 23,300 33,200
720万円~840万円未満程度 9,900円 11,700 21,600
840万円~910万円未満程度 9,900円 0円 9,900円

赤い表示は改訂された部分(確定部分)
青い表示予想です(まだ報道が無いので不明)
※ 黒い通常の表示は昨年度から変更がないと仮定した値
世帯年収の算定方法が地方税の「所得割額」から「課税所得」に変更されました
※ 実際に高校へ支払った額が上限になります(差益が出ることはありません)

愛知県の発表はこれからか?

国が助成拡大を発表した2019年12月以降では、2020年1月31日に「年収720万円未満まで無償化」の報道がありました。しかし県議会で正式に予算が通るのはその後なので、具体的な金額の報道がまだありません。ですから愛知県からは何も正式な発表がありません。そのため2019年9月に愛知県が発表した水準から変更がないものと仮定するしかありません。

2020年2月の内に、また発表があるでしょう。少なくとも高校のホームページやパンフレットに同封されていた資料よりは多い補助機がもらえます。くれぐれも今後の報道や高校からの説明や高校から受け取る資料などをご確認くださいませ。

その上で、上表の青色のように予想しました。理由は次のとおりです。

国からの補助金の上限額は年間39万6,000円と決まりました。これを12カ月で割ると33,000円/月になります。これは愛知県が昨年まで基準にしていた33,200円/月に近い金額です。愛知県はこの基準額を引き上げるのか否か、まだ分かりませんので、現状維持を仮定しました。
ですから変更があるとしても数百円/月くらいだろうと予想しました。
また720万円~840万円未満の世帯がもっとも予想が難しいのですが、840万円~910万円未満の世帯に変化がないと仮定すれば、590万円~720万円未満の世帯との中間値くらいになるのが慣例です。
以上から、上記の青地のような推測をしました。あくまでも推測ですよ。

なお、申請用紙のフォーマットなど細かい手順も変更されるでしょうから、高校側の説明によく耳を傾けて注意してください(手続きは高校で行います)。

いつ、どうやって補助される?

ご家庭に現金が支給されたり口座に補助金が振り込まれるわけではありません。
あくまで高校に支払う時に減免される仕組みです。

そして実は、入学時から減免されるわけではありません。
少し遅れてから補助されます。
特に入学前は、入学金と授業料をいったん支払う必要があります。

手続きの流れ

助成金も補助金も申請しなければ得られません。

高校の入学手続き(4月)のときに、申請書に課税証明書(所得証明書)などを添えて高校へ提出します。
課税証明書は区役所や市役所で発行してもらいます。

この申請書を提出した後で減免される金額が決定されます。

いったん支払って、後から清算

入学した4月の時点では、まだ減免額が決定されていません。
そのため、いったん入学金や授業料を支払っておかなくてはなりません。
そして次に支払う時に、納めすぎた分が相殺された形で学校から請求されます(学校によっては請求が0円か、または過剰分が返還されます)。

あとがき

高校の授業料を減免する制度は、民主党政権時代に国会で「高校無償化」が議論され2010年度から始まりました。年収制限はあるものの、ほとんどの人にとって公立高校であれば授業料は無償になりました。私立高校も半額くらい減免されることになりましたが、その時はまだ無償にまで手が届いていませんでした。

それから私立高校の無償化まで支援枠を広げるよう訴える運動が続きました。自民党と公明党の連立政権に変わっても国会で議論が続きました。教育の機会に格差があってはならないという議論です。公立高校と私立高校の授業料の格差を、公的にどのように埋められるのか。しばらくは地方自治体の裁量で埋めることになりました。その結果、都道府県による格差が指摘されるようになりました。

愛知県は私学協会やNPOアスクネットを通じた市民活動などが盛んなこともあり、早くから独自に助成拡大に取り組み、他県よりも一足先に、私立高校無償化を実現しつつありました。

2016年12月、国が進める「人生100年時代構想会議」の中間報告で「私立高校の実質無償化」が盛り込まれました。
2019年1月の国会の施政方針演説で、また2019年12月13日の内外情勢調査会全国懇談会で、安倍首相は「来年4月から、公立高校だけでなく、私立高校も実質無償化を実現します」と明言しました。
2019年12月20日に令和2年度政府予算案が閣議決定され、同日中に萩生田光一文部科学大臣が記者会見を行い、今回の私立高校無償化を正式に発表しました。
2020年1月31日に愛知県の無償化が年収720万円程度まで拡大されるニュースがありました(中日新聞)

高校までの学習をしっかり行えば、多くの職場でスタートラインには立てます。
何かの専門性を高めるにしても、専門書を読んだり調べたりすることはできるでしょう。

スタートラインに立つまでの教育を無償化することには大賛成です。税の使い方は難しいですが、教育は守ってほしいですね

そして次に問題になるのは、生きがいや目的意識を持って、本人が一生懸命にやれるかどうか。

今後は「モチベーション格差」の時代がやってきます。

 


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対数関数 log で1カ月悩んだ高校生が15分の解説でスッキリした話し

対数関数が分からないと悩む学生の絵

塾長です。

高校2年生の数Ⅱでは、対数関数で混乱する生徒が多いです。$ \log_3{\frac{1}{3}}=-1 $ とか $ y=\log_3{x} $ とかです。対数関数は独学ではなかなか理解できない単元の1つです。

そういえば数年前、天白高校の男の子も悩んでいました。しかも1か月間も。あの時は、私が15分説明しただけでスッキリしてくれました。ちょっとコツがあるんですよね。まぁ何がコツかは生徒それぞれなのですが。

そこで今回は、その15分で説明した内容を書きます。
とは言え、文章にすると、けっこうな量になってしまいました。初学者は15分では読めないかもしれません。やっぱり授業はライブの方が効率が良いですね。

対数関数の意味が分からない

数学Ⅱで登場する新しい関数といえば、三角関数指数関数対数関数
中でも対数関数で混乱する生徒が毎年多いです。

この関数だけが全く新しい考え方をしているように思えるからでます。それで、

「はぁ? だから何? 何がうれしいの?」
「いきなり、いったい何なの?」

という反応になります。怒りすら覚えます。
そういう時は、いきなり対数関数の性質やグラフを云々ではなく、まず

対数関数で何がしたいのか

を説明した方が良いです。

数学で分からなくなったら「何がしたいのか?」をとらえる

新しい単元に入ったら、まず目的を共有します。
それができないのに説明しても頭に入りません。

一方、教科書では指数関数を学んでから対数関数を学びます。その流れで

対数関数は指数関数の逆関数である!」

などと端的に書かれています。
数学の好きな人には「簡潔で美しい」と飲みこめるのでしょうが、一般の人には味が濃すぎて喉を通りません。
初学者には難しい説明ですね。

同じ意味でも、もっとかみ砕いて

「対数関数 $y=\log_{n}{}x$nは、xを『nの〇乗』で言い直す関数です。」

と考えた方が解りやすいです。
さらに、それがどういうことなのか、いくつか具体的に経験して納得するのが良いでしょう。

  • 直ぐに具体例を書き出してみる
  • 何かを当てはめてやってみる

それが理解の近道です。

対数関数は「何桁の数か」を調べる関数

いくら難しい「対数関数」と言えども「関数」です。自動販売機と一緒です。

  • 自動販売機: 「ボタンを押せば、ジュースが出てくる」
  • 関数   : 「xを決めたらyが決まる

という仕組みです。

  • 「ボタンがx、ジュースがy」
  • xが原因、yが結果

くらいに考えればOKです。この大枠は関数が何であろうと一緒です。
そこで、まず、なにか新しい関数が出てきたら「xの意味とyの意味」を押さえましょう。

ここで先に対数関数の「感覚」を身に着けてもらうために、しばらくの間は $ y=\log_{10}{x} $ だけに話を絞ります。もちろんその後で $ y=\log_{2}{x} $ や $ y=\log_{3}{x} $ などの話しもします。

対数関数 $ y=\log_{10}{x} $ の意味

対数関数 $ y=\log_{10}{x} $ は、xに正の実数を入れると、それが「10の何乗か」を答えてくれる関数です。

  • 対数関数: 「xが実数、yが ”10の何乗” 」

仕組みとか計算方法とか、とりあえず細かい話は横に置いておきましょう。
とにかく対数関数はxを決めるとyは「〇乗」を表す値になります。
つまり、

$ y=\log_{10}{x} $ の$x$ に $1000=10^3$ を代入すると $y=3$ になります。

$ y=\log_{10}{1000}=3 $

そして実は、これで「何桁の数か」も分かります。

具体的に並べれば、

$10^1=10$ は2桁の数
$10^2=1000$ は3桁の数
$10^3=1000$ は4桁の数
$10^4=10000$ は5桁の数
・・・
$10^y=100 \dots 0$ は(y+1)桁の数

と考えられるからです。つまり、次のことが分かる関数です。

$ y=\log_{10}{x} $

  • $x$ は $(y+1)$ 桁の数
  • $x$ は $10$ の $y$ 乗

桁数を知って何に利用する?

物理や化学では、桁数を求める計算をよく使います。極端に大きな数や極端に小さな数を扱うからです。
たとえば炭素12グラムに含まれる炭素原子の数は$6.02 \times 10^{23}$個などと言われます。

602000000000000000000000個です。

こうなると

6020839862345984129123223個 だろうが、
602010000000000000531000個 だろうが、

ほとんど同じです。数が多すぎて原子を1つ1つ数える人はいないですし、数えたところでその数字の利用価値はないです。そんな細かい数字の正確さよりも「24桁の数」というサイズ感の方が重要です。
酸やアルカリの強さを計算するときや、電波で通信したりコンピューターの性能を表すときなんかもそうです。
大きすぎる数や小さすぎる数を扱う時、桁数を知ることがまず重要になってきます。

そういう時に対数関数が良く使われます。

あらゆる数を「10の〇乗」で表したらどうなるか?

突然ですが、もしも

「指数でしか数字を理解できない」

そんな宇宙人がいたらどうでしょう。彼らの宇宙語は、いったいどんな数でしょうか?

その翻訳には対数関数が使えます。私たちが日常使っている数を「10の何乗か」つまり「指数」に言い換えられるからです。さっそく翻訳に取り掛かりましょう。

$1=10^0 ⇔ \log_{10}{1}=0  \Longrightarrow  1 は宇宙語で0$
$10=10^1 ⇔ \log_{10}{10}=1  \Longrightarrow 10 は宇宙語で1$
$100=10^2 ⇔ \log_{10}{100}=2  \Longrightarrow 100 宇宙語で2$
$1000=10^3 ⇔ \log_{10}{1000}=3  \Longrightarrow 1000 宇宙語で3$

こんな感じでしょう。
それなら、例えば次の場合はどうでしょう?

$500=10^{?} ⇔ \log_{10}{500}=?  \Longrightarrow 500 は宇宙語で?$

100 < 500 < 1000
ですから、
$ log_{10}{100} < log_{10}{500} < log_{10}{1000} $
$ log_{10}{10^2} < log_{10}{500} < log_{10}{10^3} $
$ 2 < log_{10}{500} < 3 $
となって、おそらく

$ 500=10^{2.???}  \Longrightarrow  500 は宇宙語で2と3の間の数?$

となりそうです。
しかし、これ以上は計算(翻訳)ができません。

どうしましょう?

ちなみに

「ちょうど100と1000の間だから$10^{2.5}$ かな?」

と思う方がいるかもしれません。
ナイスチャレンジ!ですが、残念ながら違います。

これは、逆に $10^{2.5}$ の値を確認すればわかります。
電卓で計算できますから、ちょっとやってみましょう。
電卓で $\sqrt{10}=3.162 \dots$ と計算できますから、これと指数の法則を使って確かめてみます。

$10^{2.5}=10^{(2+\frac{1}{2})}=10^{2}\times 10^{\frac{1}{2}} = 100\sqrt{10} = 100 \times 3.162 \dots = 316.2 \dots$
よって
$10^{2.5} = 316.2 \dots$
となりました。
500 よりも小さい数ですね。ということは、少なくとも、

$ 10^{2.5} < 500 $
$ 2.5 < log_{10}{500} < 3 $

ということになりました。先程よりは範囲を絞れましたが、まだよくわかりません。
実は、さらに $ \log_{10}{500} $ をもっと正確に計算する方法があります。

常用対数表

数Ⅱの教科書や参考書の巻末、あるいはセンター試験の問題冊子の巻末などに「常用対数表」が載っています。
常用対数表は「10の何乗か」が分かる一覧表です。
普通は 1.00~9.99 までの数が、それぞれ10の何乗か載っています。
つまり、

$y=\log_{10}{x}, (1.00 \leqq x \leqq 9.99)$ (x は0.01刻み)

についてyの値が小数第4位までズラリと並んでいます。その表を使えば近似の計算ができます。

それでは、指数の法則を思い出しながら500 が10の何乗か計算してみましょう。
常用対数表で見ると

$y=\log_{10}{5}=0.6990\dots$
つまり
$5=10^{0.6990\dots}$
です。これを利用して、

$500=100 \times 5 = 10^2 \times 5 =10^2 \times 10^{0.6990\dots} = 10^{(2+0.6990\dots)} = 10^{2.6990 \dots}$

よって500の場合は次のようになります。

$500=10^{2.6990\dots}$
$\log_{10}{500}=\log_{10}{10^{2.6990\dots}}=2.6990\dots$

一般に、この数は無理数になります。終わりのない小数になります。
他の数についても同様です。

たとえば 713 ならば、
常用対数表から $\log_{10}{7.13} = 0.8531\dots   \Longrightarrow  7.13=10^{0.8531 \dots}$
$713=100 \times 7.13 = 10^2 \times 10^{0.8531 \dots} =10^2 \times 10^{0.8531\dots} = 10^{(2+0.8531\dots)} = 10^{2.8531 \dots}$
よって
$713=10^{2.8531\dots}$
$\log_{10}{713}=2.8531\dots$

などと求められます。他にも、

$3=10^{0.4771\dots}$
$11=10^{1.0414\dots}$
$59=10^{1.7709\dots}$
$500=10^{2.6990\dots}$
$713=10^{2.8531\dots}$
$1280=10^{3.1072\dots}$
・・・

そして、10のn乗の数は(n+1)桁の数でした。そう考えれば、

$3=10^{0.4771\dots}  \Longrightarrow  $ 3 は約1.4771桁の数
$11=10^{1.0414\dots}  \Longrightarrow  $ 11は約2.0414桁の数
$59=10^{1.7709\dots}  \Longrightarrow  $ 59 は約2.7709桁の数
$500=10^{2.6990\dots}  \Longrightarrow  $ 500は約3.6990桁の数
$713=10^{2.8531\dots}  \Longrightarrow  $ 713 は約3.8531桁の数
$1280=10^{3.1072\dots}  \Longrightarrow  $ 1280は約3.1072桁の数
・・・

この様に対数関数はどんな数でも全て「10の〇乗」で表せますし、「〇桁」とも表せます。
(ただし後でやりますが正の実数に限ります)。

計算サイト

余談ですが、常用対数表の代わりにコンピューターを使えば速いです。
カシオの「ke!san」という神サイトが有名です
https://keisan.casio.jp/exec/system/1260332465

対数関数 $ y=\log_{10}{x} $ でやりたいこと

対数関数は「正の数」を「指数だけの表現」に言い直す関数ということが分かりました。

それを式で書くと、次のようになります。

$ y=\log_{10}{x} $

  • $x$ は $(y+1)$ 桁の数
  • $x$ は $10$ の $y$ 乗

さて、指数でしか数を数えられない宇宙人の話しでした。
どうやらは彼らは、日常的に小数を使うようです。しかも無理数です。
もっとも無理数をどうやって読み上げるのかは不明ですが。

さて、次に対数関数をもうすこし一般化します。

対数関数 $ y=\log_{n}{x} $ の意味

今度は対数関数 $ y=\log_n{x} $ について考えます。 $ y=\log_{10}{x} $ ではありません。 $ y=\log_n{x} $ です。

用語

その前に用語を先に説明します。その方が後々の説明で困りません。

関数 $ y=\log_n{x} $ について、

  • のことを「真数(しんすう)」と呼びます
  • のことを「(てい)」と呼びます
  • 特に $n=10$ のときの $\log_{10}{x}$ を「常用対数」と呼びます

n進数

これまで見たように指数と桁数の関係は

(指数+1)桁

ということが分かりました。ただし、これは私たちが日常使っている「10進数」での話です。
高1の「数A」や「情報」という科目で「n進法」または「n進数」というのを習ったことがあるでしょう。
数の表し方は10進数だけではありません。他にも色々あることを学びました。

あらためて、普通の数を「10進数」と言います。$100 \times 10 = 1000$のように10倍すると桁が上がります。
お馴染みのように10進数の世界では、数を次のように数えますね。

$0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, $
$11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, \dots$

10進数では10ごとに桁が繰り上がります。そのため各位の数には0~9の数しか使いません

一方で例えば、2倍すると桁が上がるような数を2進数といいます。
2進数の世界では次のように数を数えます。

$0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001, 1010, $
$1011, 1100, 1101, 1110, 1111, 10000, 10001, 10010, 10011, 10100, \dots$

2進数では2ごとに桁が繰り上がります。そのため各位の数には0~1の数しか使いません
しかも10進数に比べて、桁の上がり方が速いです。

それでは、2進数で表した数の場合、指数と桁数の関係はどうなっているのでしょうか?

2進数の例

上で見たように、例えば2進数の $1011$ とは10進数の11のことです。
詳細は数Aや情報に譲りますが、2進数を10進数へ直す計算は以下の通りです。

$1010_{(2)}=1\times 2^3 + 0 \times 2^2 + 1 \times 2^1 + 1 \times 2^0=11_{(10)}$

このように2進数の世界で4桁の数は、10進数の世界ではたったの2桁です。
同じ数でも「表し方が何進数か」で「桁」が変わってしまいます。

そして2進数で表した数の $y$ 桁目の数は「$2^{(y-1)}$」の係数になっていました。

$2^0=1_{(2)}$ は2桁の数
$2^1=10_{(2)}$ は2桁の数
$2^2=100_{(2)}$ は3桁の数
$2^3=1000_{(2)}$ は4桁の数
$2^4=10000_{(2)}$ は5桁の数
・・・
$2^y=100 \dots 0_{(2)}$ は(y+1)桁の数

2進数以外でも同様です。
つまり、たとえ何進数であろうと次のことが言えます。

  • 10進数の世界: $10^y$ は $(y+1)$桁の数
  • 2進数の世界: $2^y$ は $(y+1)$桁の数
  • n進数の世界: $n^y$ は $(y+1)$桁の数

n進数の桁数

上の考察を一般化しましょう。

$n^0=1_{(n)}$ はn進数で1桁の数
$n^1=10_{(n)}$ はn進数で2桁の数
$n^2=1000_{(n)}$ はn進数で3桁の数
$n^3=1000_{(n)}$ はn進数で4桁の数
$n^4=10000_{(n)}$ はn進数で5桁の数
・・・
$n^y=100 \dots 0_{(n)}$ はn進数で(y+1)桁の数

これでn進数で表した数xが何桁かを調べることを考えられます。
そのために対数関数 $y=\log_{n}{x}$ が登場します。
よく見てください。$y=\log_{10}{x}$ ではなく $y=\log_{n}{x}$ です。「10」が「n」に変わっています。

つまり関数 $y=\log_{n}{x}$ は、xにある数を入れると、yが「nの何乗か」を表す数になります。
以上から次のことが分かります。

$ y=\log_{n}{x} $

  • $x$ は $(y+1)$ 桁の数
  • $x$ は $n$ の $y$ 乗
  • $x=n^y \Longrightarrow x=n^{\log_{n}{x}}$

こうして、扱う数が何進数であろうと、確かに対数関数は指数や桁数を調べる関数なのだと言えます。

常用対数と一般の対数

ここまでの話を少しまとめます。

対数関数 $ y=\log_n{x} $ は、実用面では n=10 すなわち $ y=\log_{10}{x} $ で用いて「10の何乗か」を求めることが多いです。そのため  $ y=\log_{10}{x} $ のことを特に「常用対数」と呼びます。
数Ⅱではnの表示を省略して単に $y=\log{x}$ と書けば、それは $ y=\log_{10}{x} $ の意味になります。

そして n を色々な数に変えて使うことができます。この様子を式に書いたのが以下です。

  • $ y=\log_{10}{x}   \Longrightarrow$ 10進数の世界でxは(y+1)桁の数
  • $ y=\log_2{x}   \Longrightarrow$ 2進数の世界でxは(y+1)桁の数
  • $ y=\log_3{x}   \Longrightarrow$ 3進数の世界でxは(y+1)桁の数
  • $ y=\log_n{x}   \Longrightarrow$ n進数の世界でxは(y+1)桁の数

負の数はダメ!

対数関数について使用上の注意です。

注意事項

対数関数の「n」や真数「x」必ず0より大きい正の実数でなければなりません。

さて、どうしてnが正なのか。
逆にnが負の数だと何が不都合なのか。
まず、それについて補足しておきます。

負の数と指数の関係を見てみましょう。

  • $(-2)^1=-2, (-2)^2=4, (-2)^3=-8, (-2)^4=16, (-2)^5=-32$
  • $(-n)^1=-n, (-n)^2=n^2, (-n)^3=-n^3, (-n)^4=n^4, (-n)^5=-n^5$

このように負の数のべき乗は、指数が奇数の時は負で、指数が偶数なら正の数になります。
指数が1つ増えるたびに符号が反転してめんどうです。
しかし、面倒なのはこれだけではありません。

  • $(-2)^{1.33}=?$
  • $(-n)^{1.33}=?$

この様に、指数を小数にした瞬間、意味が分からなくなってしまいます。
正の数と負の数の中間の世界???
・・・そんなのありません。

そんなわけで、対数関数の世界では、必ず「底nは正」です。
したがって $ x=n^y $ ですから「真数xも正」です。

※大学で「複素関数論」を学べば真数が負でも計算できるようになります。その場合yは複素数になります。

指数の法則がそのまま公式になっている

対数は指数を表していますから、指数の法則の指数部分の振る舞いが、そのまま公式になります。

指数の法則

  • $ a^x \times a^y = a^{x+y} $
  • $ a^x \div a^y = a^{x-y} $
  • $ (a^x)^y  = a^{x \times y} $
  • $a^0=1$

対数の性質

  • $ \log_a{(a^x \times a^y)} = \log_a{a^{x+y}} = x+y = \log_a{a^x} + \log_a{a^y} $
    よって、 $ log_a{(X \times Y)} = \log_a{X} + \log_a{Y} $
  • $ \log_a{(a^x \div a^y)} = \log_a{a^{x-y}} = x-y = \log_a{a^x} – \log_a{a^y} $
    よって、 $ log_a{(X \div Y)} = \log_a{X} – \log_a{Y} $
  • $ \log_a{ (a^x)^y } = \log_a{a^{x \times y}} = x \times y = \log_a{a^x} \times y =y \log_a{a^x} $
    よって、 $ log_a{X^y} = y\log_a{X} $
  • 上の式で特に $X-a, y=1$ のとき $ log_a{a} = 1 $
  • $\log_{a}{1}=\log_{a}{a^0}=0\times\log_{a}{a}=0\times 1 =0$
    よって、 $\log_{a}{1}=0$

対数の計算公式

  • $ log_a{(X \times Y)} = \log_a{X} + \log_a{Y} $
  • $ log_a{(X \div Y)} = \log_a{X} – \log_a{Y} $
  • $ log_a{X^y} = y\log_a{X} $
  • $ log_a{a} = 1 $
  • $\log_a{1} = 0$

この公式は難しそうですが、次のように言葉で理解してしまった方が覚えやすいです。

対数の計算公式の覚え方

  • かけ算はたし算に
  • わり算はひき算に
  • べき乗はかけ算に
  • 底と真数がそろったら1
  • 真数が1なら常に0

対数のこうした公式(性質)の利用法やメリットを知れば、もうすこし馴染みが出てきます。続いて、それを見てみましょう。

底の変換公式

数Ⅱの対数関数で重要な公式がもう1つあります。
ただし、これは丸暗記した方が速いので、成立する理由の説明は省略し、ただ載せるだけにします。

  • 底 nを底mに変換するための公式
    $$\log_{n}{x}=\frac{\log_{m}{x}}{\log_{m}{n}}$$

底の変換公式の覚え方

  • 古い底が分母、古い真数が分子

かけ算を足し算に、割り算をひき算に変換する!?

対数関数の便利な効能と、その使い方をご紹介します。

対数関数の効能(公式の意味)

  • かけ算を足し算に変換する
  • わり算をひき算に変換する
  • べき乗はかけ算に変換する

この性質を応用すると、指数でグチャっとなっている式を、足し算と引き算で解きほぐすことができます。

例えば、こんな問題です。

3つの正の実数 $x, y, a>0$ において、次の連立方程式 $ a^x=2a^y $ かつ $ x-2y=0 $ を満たすような a を求めよ。

与式 $ a^x=2a^y $ が指数のお化け団子です。これだけでは解きようがありません。そこで対数( log )を使います。

$ a^x=2a^y $ の両辺について、 $a$ を底とする対数をとると、

$ \log_a{a^x}=\log_a{(2a^y)} $
$ x=y\log_a{(2a)} $
$ x=y(\log_a{2}+\log_a{a}) $
$ x=y(\log_a{2}+1) $

ここで $ x-2y=0 $ すなわち $ x=2y $ を代入して

$ 2y=y(\log_a{2}+1) $

$y>0$ だから両辺を $y$ で割って

$ 2=\log_a{2}+1 $
$ 1=\log_a{2} $
$ a=2 $

このように対数を使えば求める事ができます。

まとめ

  • 対数関数 $ y=\log_{n}{x}, (n>0, かつ x>0)$
  • nに負の数が定義されることはありません!
  • xに負の数を入れてはいけません!
  • $ log_a{(X \times Y)} = \log_a{X} + \log_a{Y} $
  • $ log_a{(X \div Y)} = \log_a{X} – \log_a{Y} $
  • $ log_a{X^y} = y\log_a{X} $
  • $ log_a{a} = 1 $
  • $\log_a{1} = 0$
  • $\log_{n}{x}=\frac{\log_{m}{x}}{\log_{m}{n}}$
  • 対数を使えば指数でグチャっとなった式を解きほぐせる

1カ月も悩んだ生徒に15分講義したらスッキリ

学校の授業が全く分からない!

これは偏差値の低い高校だから起こる、というものではありません。少なくとも生徒たちの生の声を聞く限り、むしろハイレベル(偏差値60~65くらい)の高校の方が、そういう生徒の割合が高いです。
そして、この傾向は公立高校の方が私立高校よりも顕著です。

うちの生徒たちで言えば、天白高校、昭和高校、菊里高校ですね。

高校の先生にしてみれば、生徒の優秀さに期待して

「高度な授業を見せてやりたい。」

という熱意があると思います。

一方、それはなかなか厳しいのが現実のようです。
多くの生徒たちが、ついて行けなくなっている印象です。

たとえ優秀な高校の生徒であろうと、基礎を飛ばして応用はできないということですね。
予備校のハイレベルコースならともかく、現役の高校生は単元の基礎から初めてなのですから。

このことから、基礎と応用の間は、思ったほど距離が離れているワケではないのかもしれません。
むしろ基礎の奥深い理解こそが、応用とも言えますね。

もちろん偏差値の高い進学校では、教科書の予習はしてくるのが前提でしょう。
確かに、現在はネットで多くのことを自分で調べられるようになりましたから、予習はし易いと想像できます。
「高校は義務教育ではない」と言ってしまえばそれまでですが。

それでは100歩譲って、自分で予習しても学校の授業について行けなかったとしたら、その理由は何でしょうか?

それが上で述べたような「目的が分からない」ということだと思います。
要は納得感の問題です。
食わず嫌いで頭に入らなくなっています。

そこで、

  • 「この章では何がしたいのか?」
  • 「この数式は何がしたいのか?」

という話をします。
解法や暗記ポイントとは全く違う視点なのですが、優秀な生徒ほど、案外こうした動機付けが功を奏します。
きっと、そういう目的を最初に生徒たちへ明示する必要があるのでしょう。
実際、

「先生、学校の数学の授業なんですが、ここ1か月の間、ぜんぜん何やってるか分かりません!」

と助けを求めて来る生徒に、私が15分講義しただけでスッキリして帰る、という場合も珍しくありません。

そのような場合、私は大したことはしていません。
数学のその単元で

「何をしたいのか?」
「何を受け入れるべきか?」

というポイントを先に教えるだけです。
細かい計算や確認は、むしろ本人に任せてしまいます。もちろんチェックはしますけどね。
任せた上で、詰まった所だけフォローする方が効率的な場合もあるからです。

単元の「目的」が生徒の学習脳を動かす?

上記のような経験から言えることは何でしょうか。

「単元の目的を共有する」

これが学習の効率を高めるのだと私は思います。
このことは偏差値とは関係ないことも分ってきました。
どのようなレベルの高校の生徒だとしても、単元の目的を明確にしてあげると、勉強が加速します。

いざ問題を解き始めれば、生徒たちの頭の中には

「自分で理解して、自分で解き切りたい」

という欲求が強く働いています。
そのため、解法の全てを解説してしまうと、むしろしつこいというか、嫌がられます。

「あー、そこまでは自分で解けたかもしれないのに、なんで先に言っちゃうの!」

というふうに思われれしまいます。
推理小説で、先に犯人の名前を言われてしまうような、ネタばらしをされたような、そんな感覚です。

解く過程の全てまで教えてしまうのは、親切な事ではありません。
むしろ本人が自分の頭を使う機会を奪ってしまいます。成長のチャンスを奪ってしまうのです。
脳は動かさなければさび付いていきます。動かす機会を奪ってはいけません。

ですから、うちは余計な解説はしない、という指導水準になっています。
いかに良いヒントを出すか。それが講師の腕の見せ所です。

逆に、このことに納得できないと、成績は伸びません。

「手とり足とり教えます」

これが親切だと思われるのは錯覚です。塾長はそう思います。
そういう塾には自分の子供を入れたくないですね。
頭が悪くなりそうです。

〈余談〉高校の関数が難しいのには理由がある!?

実は、高等数学の関数が「難しい」と感じるのには、ちゃんとした理由があります。
それは関数の振る舞いが、人間のもつ「経験則」と合わないからです。
グラフの意味をなかなか想像できないからです。

人間は過去に繰り返された経験から

「きっと次も同じようになるだろう」

と予想して未来に備えるように進化してきました。
そして次のように、他の動物よりも「経験則」を細かく把握できます。

  • 川の水位が毎日3cmずつ増えているから、きっと明日も今日より3cm増えるだろう。(比例という経験則)
  • 村の人口が2倍、3倍に増えていけば、自分の収穫高は1/2、1/3に減っていく。(反比例という経験則)

つまり次のように理解するのが人間の持つ感覚です。

  • 「伴なって増える」→「比例」
  • 「相反して減る」→「反比例」

このように小学校や中学校からお馴染みの「比例」や「反比例」は、人間が本能的に持つ経験則を数字で表したものです。
もちろんグラフの読み書きは練習する必要がありますが、グラフの意味は人生経験に置き換えて理解することができます。
ですから、比例や反比例までなら義務教育で全員に学ばせても、そう無理はないだろう、ということです。

関数が難しい理由の本質とは?

そうすると、高等教育の数学において、

「関数がわかり易い」

と皆さんがおっしゃるのは、

「比例や反比例の感覚で納得ができる」

ということになるわけです。
逆に比例や反比例で解釈できないものは

「わかり難い関数」

ということになります。
これが関数が容易か難しいかの本質です。

そして三角関数や対数関数は、比例や反比例ではありません。

ですから11月~12月にかけて、多くの高校2年生が対数関数で頭を抱えます。

こうした生徒の理解構造まで把握したうえで、高等数学は教える必要があります。
ひたすら式の意味だけを説明したところで、ほとんどの生徒は納得できないわけです。

単元の目的を共有し、そして教え過ぎない。
特に新しい概念を導入する時は、生徒がそれまでに学んできた知識体系、つまり理解構造を意識して教える。

そのようなことが大切だと思います。

 


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合格実績 2011~2018 高校受験編

合格発表のイラスト

ヒーローズ植田一本松校とヒーローズ赤池校の開校以来の実績について、ズラ~と表にしました。

今回は高校受験編! みんなの行きたい高校はありますか?

なお、今年だけの実績は「祝合格! 2018」をご覧ください。

また、大学合格実績は「合格実績 2011~2018 大学受験編」をご覧ください。

※毎年ブログやチラシで公開しています。

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中学生のみんな、卒業おめでとう!

卒業アルバムのイラスト

昼間のこと―――

少し暖かい陽気でした。
街中で花を手にした制服姿を何人も目にしました。

今日は愛知県の多くの中学校で卒業式がありました。

中学3年生のみなさん、ご卒業おめでとうございます!

これまで中学校に通って来た3年間の思い出が、どっと湧き出たことと思います。
路上で友達と話し込む学生たちの姿は、何とも名残惜しそうでした。

植田中学校、御幸山中学校、神丘中学校、牧の池中学校、日進西中学校のそれぞれに、それぞれのドラマがあったことでしょう。

先週の記憶―――

卒業アルバムを見せてもらいながら、生徒たちから学校の思い出話しを少し聞かせてもらいました。
アルバムのページをめくると、学校の友達や学校の先生方のサインがびっしり書き込まれていました。

「先生も書いてください!」

生徒たちから素敵なお願いをされました。
もちろん講師たちも。

ちょっと照れながら贈る言葉を書かせてもらいました。

こういう時は、生徒のお父さんやお母さんの気持ちも想像してしまいます。
私も子を持つ親なので。

我が子って、親にとっては何時までも小さい子のままなんですよね。
0歳だった時の姿、1歳だった時の姿、2歳だった時の姿・・・15歳になった今の姿。
きっと、これまでの全ての姿が同時に重なって見えていることでしょう。

立派になったと褒めてあげたい。
小さい子みたいに抱きしめて守ってあげたい。
さすがに中学生を抱きしめるは無いな、などと思うのが寂しい。

そんな複雑な思いでいらっしゃるかもしれません。

夕方のこと―――

公立高校を目指す生徒は、今日も夕方から受験勉強でした。
その雰囲気に乗っかるように、私立高校で決まっている生徒たちも、黙って勉強していました。

 


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公立高校入試対策は電話帳級の問題集で更に得点1割アップ

愛知県公立高校入試対策のタイトル

こんにちは。塾長の松下です。
今朝は、公立高校入試対策の問題集を生徒ごとに振り分けています。

分厚いですよ。
生徒たちに見せたら「うわー」って言われそうです。

さて、今頃は・・・

試験会場にいる生徒たちの姿が想像できます。
今日で愛知県の私立高校一般入試が終わります。
ちょうど今の時間、3教科目を必死に取り組んでいるでしょう。

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私立高校 過去問の使い方 7割を目指そう

過去問を解く生徒たちのイラスト

教室では昨日から私立高校入試対策がはじまりました。
生徒たちから色々な高校の色々な年度の色々な教科の過去問についてランダムに質問が来ます。
入試問題を見た瞬間に解法を見破って即興で解説していくので、脳みそフル回転、毎日クタクタです。
疲れますが、このライブ感覚がいいんですよね。

さて当然ながら、こんな質問も出てきます。

過去問で何点取れれば合格ですか?

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