算数

塾長です。

いよいよ夏休みも後半です。

学生のキミたち、そろそろ読書感想文や自由研究に着手しましょう。

ということで、自由研究ネタを１つご提供します。

算数の研究です。

しかし、内容が深くてプログラミングもありますから、きっと中学生でも使えるでしょう。

算数や数学で「文章問題が苦手」という人には、特にチャレンジして欲しいです。

そもそも「かけ算」や「わり算」の意味とは？

もしも小学１年生や２年生から、次のように質問されたら、どのように答えますか？

• 「かけ算」とは何ですか？
• 「わり算」とは何ですか？

塾長は、次のように答えます。

• 「かけ算」とは「たし算の繰り返し」です
• 「わり算」とは「ひき算の繰り返し」です

なぜなら、

人類で初めて「かけ算」や「わり算」を発明した人は、きっと上のように考えたに違いない！

塾長は、そうに思うからです。

これをプログラミングで確かめていきたいと思います。

「たし算」で「かけ算」をプログラミングする

もしも「かけ算」が「たし算の繰り返し」なら、その通りに計算ができるはずです。
やってみましょう。

具体的な例から「かけ算」のパターンを考える

５×３の場合

例えば、５×３の計算を考えましょう。

５×３＝５＋５＋５＝「５を３個たす」＝１５（積）
ここで「たし算」の「＋」記号は２個です。

つまり、

５を「３個」たすときは、たし算を「２回」使います。
たし算の回数は３－１＝２回です。

７×６の場合

もう１つの例、７×６の計算ではどうでしょう。

７×６＝７＋７＋７＋７＋７＋７＝「７を６個たす」＝４２（積）
ここで「たし算」の「＋」記号は５個です。

つまり、

７を「６個」たすときは、たし算を「５回」使います。
たし算の回数は６－１＝５回です。

「かける数」は「たした個数」

まとめます。

ｍ×ｎの場合

一般化して、ｍ×ｎの積を計算する方法を考えます。

上の２つの例から、これは「ｍをｎ個たす」です。
そして、たし算を使う回数は（ｎ－１）回です。

つまり、

ｍ×ｎとは、ｍに（ｎー１）回だけｍをたし算すること

まとまりました。

スクラッチでプログラミング

それでは上のｍ×ｎの手順をプログラムにしてみましょう。

ｍにｍをｎー１回たす

これをプログラミングしたのが次です。

1. 「積」という変数を用意して、それにｍを代入
2. 「積にｍをたす」という処理を（ｎー１）回くりかえす
3. 「積」を表示

試しに、４×９でプログラムを実行しました。結果は３６で正しいです。

つまり「たし算」を繰り返せば、確かに「かけ算」を計算できることが分かりました。

そしてこのプログラムは、どんな自然数どうしのかけ算でも計算できます。

プログラムのカイゼン

ところで、このプログラムは１つ分かりにくい所があります。

「×ｎ」なのに、繰り返す回数が「ｎ－１回」です。
「かける数」と「回数」が１つズレています。

これを同じにできれば、もっとプログラムが分かり易くなります。

そこで、こう考えたらどうでしょうか。

変更前：　最初に「積」という変数を用意して、それにｍを代入します。
変更後：　最初に「積」という変数を用意して、それに０を代入します。

こうすれば、繰り返し回数もｎになります。
つまりプログラムがこうなります。

プログラムがシンプルで見やすくなりました。

「かける数」は「０にたした回数」だった！？

プログラムを見やすくするために、上のように改善しました。

逆に、このプログラムが行っている処理を式で表すと、どうなるでしょうか。

例えば、７×６の場合に戻れば、こうなります。

変更前：　７×６＝　　７＋７＋７＋７＋７＋７＋７
変更後：　７×６＝０＋７＋７＋７＋７＋７＋７＋７

単に「かける数」と「たす回数」が同じになるように工夫しただけですが、実は、こうした方が数学的にも良いことが分かっています。

それは「かける数」を３、２、１、０と小さくしていけば分かります。
変更前の考え方では、

７×３＝「７に７を２回たす」
７×２＝「７に７を１回たす」
７×１＝「７に７を０回たす」
７×０＝「７に７を？回たす」

となってしまい、７×０を考えることができません。
一方、変更後の考え方ならば、

７×３＝「０に７を３回たす」
７×２＝「０に７を２回たす」
７×１＝「０に７を１回たす」
７×０＝「０に７を０回たす」

となりますから、ちゃんと７×０＝０も計算できます。

ちなみに０という数も人類が「発明」した数なのだそうです。

「ひき算」で「わり算」をプログラミングする

たし算と同じように、わり算についても考えてみましょう。

もしも「わり算」が「ひき算の繰り返し」なら、その通りに計算ができるはずです。

やってみましょう。

具体的な例から計算のパターンを考える

９÷３の場合

例えば、９÷３の計算を考えましょう。

９÷３＝「９の中に３がいくつあるか？」＝「９－３－３－３＝０だから９から３を３回ひけた」＝３（商）
ここで「ひき算」の「－」記号は３個です。

つまり、

９から３を「３回」ひき算できたから、商は３です。

１２÷５の場合

もう１つの例、１２÷５の計算ではどうでしょう。

１４÷５＝「１４の中に５はいくつ？」＝１４－５－５＝２だから２回ひけて４あまった」＝２（商）あまり４
ここで「ひき算」の「－」記号は２個です。
まだ４余っていますが、３回目の引き算まではできません。

つまり、

１４から５を「２回」ひき算できて４余るから、商は２、あまりは４です。

「商」とは「引くことができた回数」

まとめます。

ｍ÷ｎの場合

一般化して、ｍ÷ｎの商とあまりを計算する方法を考えます。

上の２つの例から、商は「ｍからｎを引ける回数」です。
しかし、ひき算できる回数は、計算してみなければ分かりません。
１回引いてみて、まだ引けそうならもう１回引いてみて・・・という計算を繰り返します。

ｍ－ｎ＝〇　もしも　〇＞ｎ　ならば　もう１回引ける・・・

という判断を繰り返してい良く計算です。
ですから、

わり算で商と余りを求めるとは、

ｍ－ｎ－ｎ・・・－ｎ＝△　かつ　０≦△＜ｎ
ｋ回引けたので商がｋ、余りが△

という処理をすること

まとまりました。

スクラッチでプログラミング

それでは上のｍ÷ｎの手順をプログラムにしてみましょう。
それが次です。

1. 商（引けた回数）を０回に設定、余り（引き算の残り）をｍに設定
2. 余り　に　余り―ｎ　を代入し、商に１をたす（引いた回数を数える）
   これを　余り＜ｎ　になるまで繰り返す
3. 商と余りを表示

「あまり」は文字通り「余りもの」だった！？

上の処理からわかるように、余りは文字通りの余りでね。

ｍからｎを何度もひき算して、もうこれ以上はひき算できない。
けれども中途半端に数が残っている。

それが余りです。

「わり算」を「お茶くみ」の手順で考えれば、商が小数でも解ける！？

ところで、これまで「わり算」の意味を

ｍ÷ｎ＝「ｍの中にｎがいくつあるか？」

としていました。
しかし、ｍ÷ｍの意味は、もう１つあります。

ｍ÷ｎ＝「ｍをｎ当分したら、１つあたりいくつになるか？」

これは、お茶くみの手順で考えれば、解くことができます。

ｍミリリットルのお茶をｎ個のコップに入れていくと、１人あたり何ミリリットル？

ｍミリリットルを全て急須にいれて、ｎ個のコップを並べます。
急須から少しずつｎ個のコップへお茶を注いでいき、均等になるようにしますよね。

そして、急須の中の量が少なくなるにつれて、分配するお茶の量も少なくしていきますよね。
最後の１周は１滴ずつとか（そこまでやらないか）。

この手順をプログラムにすればよいのです。

• まず、１ミリリットルずつ順番にｎ個のコップに入れていきます。
• そして、余りが１×ｎミリリットル未満になったら、今度は０．１ミリリットルずつ入れていきます。
• そして、余りが０．１×ｎミリリットル未満になったら、今度は０．０１ミリリットルずつ入れていきます。
• そして、余りが０．０１×ｎミリリットル未満になったら、今度は０．００１ミリリットルずつ入れていきます。

・・・これを繰り返していき、最後に１つのコップに入っているお茶の量が商になります。

このようにすると、商が小数になるようなわり算でも「ひき算」の繰り返しで計算できることが分かるでしょう。

プログラミングは、みなさんの宿題にしたいと思います。

たし算の記号「＋」と、かけ算の記号「×」が似ている理由

上で見たように、かけ算はたし算で計算できます。

そう考えると、かけ算の記号「×」と、たし算の「＋」が似ているのも納得ですよね。

「＋」を少しだけ変えて「×」が作られています。
というか、角度を４５度かたむけただけですね。

似ているどころか、形は何も変わっていません。

よく考えられていますね。

ひき算の記号「－」と、わり算の記号「÷」が似ている理由

わり算は、ひき算の繰り返しでしたから、

わり算の記号「÷」と、ひき算の「－」が似ているのも納得です。

ただ、形も変わっています。
真ん中の横線は共通ですが、それに上下の「・」マークが追加されています。

これは「わり算」＝「分数」だからでしょう。

ｍ÷ｎ＝$ \frac{n}{m} $

と書けることは、小学５年生の算数の単元「等しい分数」で習います。
分数の形をデフォルメすれば、正に「÷」というピクトグラムになりますね。

よく考えられています。

わり算のもう１つの記号「／」

ところで、エクセルやプログラミングの計算式では、わり算の記号を「／」で表しています。

たし算の記号「＋」を傾けて、かけ算の記号を「×」としたように、
ひき算の記号「－」を傾けて、わり算の記号を「／」とした方が、統一感があります。

グーグル検索で調べてみると、海外の学校や教科書では、むしろ「／」を採用している方が普通のようです。

さらにコロン「：」を使っている国もあるそうですよ。
なるほど、その手もありますね。

これからコンピューターの利用が進んでくると、わざわざキーボードにない「÷」を使うのはめんどうですね。
もしかしたら日本も将来は「／」になるのかもしれません。

ちなみにプログラミング言語 Pythonでは、

• m／n　・・・　ｍ÷ｎの商（小数）
• m//n　・・・　ｍ÷ｎの商（整数）
• ｍ％ｎ　・・・　ｍ÷ｎの余り（整数）

という使い分けをしています。

コンピューターは「たし算」と「ひき算」しかできない！？

今から１０年以上前に、塾長は趣味で望遠鏡を動かすプログラミングをしていました。

乾電池で動くような、とても小さなコンピューターを動かすプログラムでした。
このような小さなコンピューターは「マイコン」と呼ばれています。

マイコンにも色々ありますが、指先に載るような小さなものになると、使える命令がとても少ないです。

そのとき使っのは、PIC16Fなんちゃら、というマイコンでした。
それには四則計算の命令が「たし算」と「ひき算」の２つしかありませんでした。

「かけ算」と「わり算」が無いのです。

電卓を買ったら「×」と「÷」のボタンがなかった・・・というくらい衝撃でした。

「かけ算」や「わり算」が１回で計算できるコンピューターは高級品なのだと、そのとき知りました。
逆に、そのような高性能なコンピューターでも、中身は「たし算」と「ひき算」の組み合わせだけで作られているのだと実感しました。

考えてもみれば、これは当然です。

コンピューターはデジタルですから、０と１の数字をたくさん並べて計算しています。

０に１をたしたら１で、１から１を引いたら０です。
そのような処理を、膨大な数だけこなして、結果的にたくさん複雑な処理をしています。

だから究極的には、たし算とひき算しかしていません。

そう考えると今回は、

コンピューターの原理だけを使って「かけ算」や「わり算」をプログラミングした

とも言えます。
ちょっと大袈裟ですかね。

何はともあれ、計算には意味があります。
上のように「かけ算」や「わり算」の意味を深く理解してしまえば、文章題も怖くはありません。

あとがき

教科書が分かりやすくなり、一部はデジタル化しました。
無料で多くの分かりやすい解説動画が視聴できるようになりました。

分かりやすい教材があふれている今日ですが、だからといって、昔に比べて優秀な生徒が増えたという印象はありません。
つまり今も昔も、相変わらず

計算はできるけど文章題ができない

というのが、多くの生徒たちの悩みです。

計算の「やり方」はドリルで訓練しやすいです。
早く計算する「テクニック」も指導の良いネタです。

その一方で、

計算の「意味」や本質を考えさせるようなコンテンツは、なかなかウケません。
むしろ眠くなります。

しかし、それらにこだわって勉強しなければ、なかなか文章問題が得意にはならないでしょう。
そこが腕の見せどころ、と言ったところでしょうか。
きっとベテランの先生は、そういうのが得意なのだと思います。

ですから、より本質をつくようで、なおかつ面白くて飽きさせないようなコンテンツが、
きっとこれから先、どんどん登場してくることでしょう。

もしもプログラミングを活用した上のような事例が、その好例になるのなら幸いです。

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