// 条件1に該当しない場合の処理

中学３年生

2021.03.11

愛知県公立高校入試　2021Ｂ　数学を全部解説してみたⅡ

塾長です。

昨日は公立高校入試Ｂ日程の学科試験でした。今日の面接試験で愛知県の高校入試がひと段落します。

さて前回に引き続き、Ｂ日程の数学についても解説をつくりました。

中学２年生までの知識でも半分くらいは解ける問題です。あとの半分は中学３年生になってからチャレンジしてみましょう。

さっそく植田中学では、２年生にＡ日程の問題を解かせて授業中に解説してくれたみたいです。流石です。
学校の授業中で消化しきれなかった入試問題について、生徒たちから質問が来るようになりました。このブログが家庭学習にも役立てば幸いです。

そのため、できるだけ発想や考え方の過程についても書いておきました。

【１】次の(1)から(10)までの問に答えなさい。

(1)【中１】　 $3 - 7 \times (5 - 8)$ 　を計算しなさい。

$3 - 7 \times (5 - 8)$
$= 3 - 7 \times (- 3)$
$= 3 + 21 = 24$

(2)【中２】　 $27 x^{2} y \div (- 9 x y) \times (- 3 x)$ 　を計算しなさい。

$27 x^{2} y \div (- 9 x y) \times (- 3 x)$
$= \frac{27 x^{2} y \times (- 3 x)}{- 9 x y}$
$= \frac{27 \times 3 \times x^{3} y}{9 x y}$
$= 9 x^{2}$

(3)【中３】　 $\sqrt{48} - 3 \sqrt{6} \div \sqrt{2}$ 　を計算しなさい。

$\sqrt{48} - 3 \sqrt{6} \div \sqrt{2}$
$= \sqrt{4^{2} \times 3} - 3 \sqrt{\frac{6}{2}}$
$= 4 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3}$
$= \sqrt{3}$

(4)【中３】　 $(x + 1) (x - 8) + 5 x$ 　を因数分解しなさい。

$(x + 1) (x - 8) + 5 x$
$= x^{2} + (1 - 8) x - 8 + 5 x$
$= x^{2} - 7 x + 5 x - 8$
$= x^{2} - 2 x - 8$
$= (x - 4) (x + 2)$

(5)【中３】　方程式　 $(x + 2)^{2} = 7$ 　を解きなさい。

$(x + 2)^{2} = 7$
$x + 2 = \pm \sqrt{7}$
$x = - 2 \pm \sqrt{7}$

(6)【中１】　 $a$ 個のあめを１０人に $b$ 個ずつ配ったところ、 $c$ 個余った。

この数量の関係を等式に表しなさい。

$a = 10 b + c$
( $10 b + c = a$ )
( $b = \frac{a - c}{10}$ )
( $\frac{a - c}{10} = b$ )
( $c = a - 10 b$ )
( $a - 10 b = c$ )
( $10 b = a - c$ )
( $a - c = 10 b$ )

※「 $a を b, c$ で表せ」などの指定がないため、上記のどれでも正解

(7)【中１】　男子生徒８人の反復横跳びの記録は、次のようであった。

$53 45 51 57 49 42 50 45 (単位：回)$

この記録の代表値について正しく述べたものを、次のアからエまでの中からすべて選んで、そのかな符号を書きなさい。

ア　平均値は、４９回である。
イ　中央値は、５０回である。
ウ　最頻値は、５７回である。
エ　範囲は、１５回である。

ア　平均値は、 $\frac{(53 + 45 + 51 + 57 + 49 + 42 + 50 + 45)}{8} = \frac{392}{8} = 49$ 回だから〇
イ　中央値は、資料を並び替えれば $42 45 45 49 50 51 53 57$ であるから $\frac{49 + 50}{2} = 49.5$ 回となって×
ウ　最頻値は、 $45$ 回だから×
エ　範囲は、最大値－最小値 $= 57 - 42 = 15$ 回であるから〇

以上から
ア、エ

(8)【中２】　大小２つのさいころを同時に投げる時、大きいさいころの目の数が小さいさいころの目の数の２倍以上となる確率を求めなさい。

全ての出目の組み合わせについて表で確認すれば、下図のようになる。

よって、 $\frac{9}{36} = \frac{1}{4}$

(9)【中３】　関数 $y = a x^{2} （ a は定数）$ と $y = 6 x + 5$ について、 $x$ の値が１から４まで増加するときの変化の割合が同じであるとき、 $a$ の値を求めなさい。

＜解法１＞
定義通りに式を立てる。
関数 $y = a x^{2}$ の変化の割合は $\frac{y の増加量}{x の増加量}$ であり、 $y = 6 x + 5$ のそれは傾き $6$ のことであるから、
$\frac{a \times 4^{2} - a \times 1^{2}}{4 - 1} = 6$
$\frac{16 a - a}{3} = 6$
$\frac{15 a}{3} = 6$
$5 a = 6$
$a = \frac{5}{6}$

＜解法２＞
関数 $y = a x^{2}$ の変化の割合は、公式を使えば $(1 + 4) a = 5 a$ であるから、
$5 a = 6$
$a = \frac{5}{6}$

(10)【中３】　図で、Ｄは $△ A B C$ の辺ＡＢ上の点で、∠ＤＢＣ＝∠ＡＣＤである。

ＡＢ＝ $6 c m$ 、ＡＣ＝ $5 c m$ のとき、線分ＡＤの長さは何 $c m$ か、求めなさい。

題意から分かることを図に書き込む。

すると、 $△ A B C$ と $△ A C D$ が相似であると分かる。
なぜなら、共通の角だから∠BAC＝∠CADとなり、題意の∠ＤＢＣ＝∠ＡＣＤと合わせて「２角が等しい」からである。
$△ A C D$ の三角形の向きを左右ひっくり返して向きをそろえて重ねると、もっと分かりやすい。

よって、求める線分ＡＤを $x$ とすれば、
$6 : 5 = 5 : x$
$6 x = 25$
$x = \frac{25}{6} c m$

【２】次の(1)から(3)までの問に答えなさい。

(1)【中２】　図で、Ｏは原点、Ａ、Ｂは関数 $y = \frac{5}{x}$ のグラフ上の点で、点Ａ、Ｂの $x$ 座標はそれぞれ１、３であり、Ｃ、Ｄは $x$ 軸上の点で、直線ＡＣ、ＢＤはいずれも $y$ 軸と平行である。また、Ｅは線分ＡＣとＢＯとの交点である。

四角形ＥＣＤＢの面積は $△$ ＡＯＢの面積の何倍か、求めなさい。

題意から分かる値を図に書き込む。

ＡとＢの座標は、 $y = \frac{5}{x}$ に $x = 1, 3$ をそれぞれ代入して求められる。
またＥの座標は、直線ＯＢの変化の割合を計算すれば求められる。それは
$\frac{5}{3} \div 3$
$= \frac{5}{3} \times \frac{1}{3}$
$= \frac{5 \times 1}{3 \times 3}$
$= \frac{5}{9}$
よって直線ＯＢの式は
$y = \frac{5}{9} x$
とわかる。これに $x = 1$ を代入すればよい。

（※）「変化の割合」とは「 $x$ が１増加した時の $y$ の増加量」だから、計算しなくても $\frac{5}{9}$ がそのままＥの高さになると分かる。
（※） $△$ ＯＢＤと $△$ ＡＥＣの相似比から $B D \times \frac{1}{3}$ と計算してもよい。

図から、ＢＤ＝ $\frac{5}{3}$ 、ＥＣＤ＝ $\frac{5}{9}$ 、ＣＤ＝２であるから、四角形ＥＣＤＢの面積は、台形の面積の公式より
$(\frac{5}{3} + \frac{5}{9}) \times 2 \times 12$
$= \frac{15}{9} + \frac{5}{9}$
$= \frac{20}{9}$

$△$ ＡＯＢ＝四角形ＣＤＢＡ＋ $△$ ＯＣＡ－ $△$ ＯＤＢ
$= (\frac{5}{3} + 5) \times 2 \times \frac{1}{2} + 5 \times 1 \times \frac{1}{2} - 3 \times \frac{5}{3} \times \frac{1}{2}$
$= \frac{5}{3} + \frac{15}{3} + \frac{5}{2} - \frac{5}{2}$
$= \frac{10}{6} + \frac{30}{6} + \frac{15}{6} - \frac{15}{6}$
$= \frac{40}{6}$
$= \frac{20}{3}$

以上から

$\frac{20}{9} \div \frac{20}{3}$
$= \frac{20}{9} \times \frac{3}{20}$
$= \frac{1}{3}$ 倍

―――【割合の復習】―――
「〇は△の◇倍」⇔「〇÷△＝◇」
だったから、
「四角形ＥＣＤＢの面積は $△$ ＡＯＢの面積の何倍か」
は
［四角形ＥＣＤＢの面積］÷［ $△$ ＡＯＢの面積］
である。

(2)【中１】　次の文章は、連続する２つの自然数の間にある、分母が５で分子が自然数である分数の和について述べたものである。

文章中の【Ⅰ】、【Ⅱ】、【Ⅲ】にあてはまる数をそれぞれ書きなさい。また、【Ⅳ】にあてはまる式を書きなさい。

まず問題文の意味を理解していこう。

「連続する２つの自然数の間にある、分母が５で分子が自然数である分数の和」

さらりと読んだだけでは何を言っているのか分からない。数学には数学専用の読解力が必要で、特にこういう問題はその訓練量が試される。こういうときは手を動かして、具体的な例で考えてみるに限る。
そして問題文の□囲みの中に、その様子が書かれているので、言われた通りに順を追って考えていこう。

まず「１から２までの間」で考えてみる。しかも「分母が５」であることに注意する。
まず１を分数にすると $\frac{5}{5}$ で、２を分数にすると $\frac{2 \times 5}{5}$ である。
よって「１と２の間で分母が５の分数の和」は、
$\frac{5}{5} + \frac{6}{5} + \frac{7}{5} + \frac{8}{5} + \frac{9}{5} + \frac{10}{5}$
である。
いや、ちがう。
「間」だから両端を含んではいけない。
だから、
$\frac{6}{5} + \frac{7}{5} + \frac{8}{5} + \frac{9}{5}$
となっている。
ここで分母がすべて５なのだから、分母は１つにまとめられる。要するに
$\frac{6 + 7 + 8 + 9}{5}$
とすれば分子だけ考えれば良くなる。この時点で分子の数の並びが、
「１×５と２×５の間（ただし１×５と２×５自身は含まない！）」
となっていることに気付けば、あとは楽になる。
ここまでが第１関門。

次に問題の「２から３までの間」。上と同様に考えれば、分子の並びは
「２×５と３×５の間（ただし２×５と３×５自身は含まない！）」つまり
「１０と１５の間（ただし１０と１５自身は含まない！）」
となるから、
$\frac{11 + 12 + 13 + 14}{5}$
$= \frac{50}{5}$
$= 10$ 【Ⅰ】

ちなみに分子の計算を
$11 + 12 + 13 + 14$
$= 10 + 10 + 10 + 10 + 1 + 2 + 3 + 4$
$= 10 * 4 + (1 + 4) + (2 + 3)$
$= 40 + 10$
$= 50$
などと工夫できたら暗算が楽になる。

同様に「３から４までの間」では分子が「１６から１９」だから
$\frac{16 + 17 + 18 + 19}{5}$
$\frac{10 \times 4 + (6 + 9) + (7 + 8)}{5}$
$= \frac{40 + 15 + 15}{5}$
$= \frac{70}{5}$
$= 14$ 【Ⅱ】

「４から５までの間」では分子が「２１から２４」だから
$\frac{21 + 22 + 23 + 24}{5}$
$\frac{20 \times 4 + (1 + 4) + (2 + 3)}{5}$
$= \frac{80 + 5 + 5}{5}$
$= \frac{90}{5}$
$= 18$ 【Ⅲ】

ここで分子の項は４つだけであることに注意しよう。よって、

「 $n, (n + 1)$ の間」のときは
$\frac{n \times 5 + 1 + n \times 5 + 2 + n \times 5 + 3 + n \times 5 + 4}{5}$
$= \frac{n \times 5 \times 4 + (1 + 4) + (2 + 3)}{5}$
$= \frac{20 n + 5 + 5}{5}$
$= \frac{20 n + 10}{5}$
$= \frac{5 (4 n + 2)}{5}$
$= 4 n + 2$ 【Ⅳ】

(3)【中２】　Aさんが使っているスマートフォンは、電池残量が百分率で表示され、０％になると使用できない。このスマートフォンは、充電をしながら動画を視聴するとき、電池残量は４分あたり１％増加し、充電せずに動画を視聴するとき、電池残量は一定の割合で減少する。

Aさんは、スマートフォンで１本５０分の数学講座の動画を２本視聴することにした。

Aさんは、スマートフォンの充電をしながら１本目の動画を視聴しはじめ、動画の視聴をはじめてから２０分後に充電をやめ、続けて充電せずに動画を視聴したところ、１本目の動画の最後まで視聴できた。

スマートフォンの電池残量が、Aさんが１本目の動画の視聴をはじめたときは２５％、１本目の動画の最後まで視聴したときはちょうど０％であったとき、次の①、②の問に答えなさい。

①【中２】　Aさんが１本目の動画を視聴しはじめてから $x$ 分後の電池残量を $y$ ％とする。Aさんが１本目の動画の視聴をはじめてから１本目の動画の最後まで視聴するまでの、 $x$ と $y$ の関係をグラフに表しなさい。

これまた情報量が多いので、必要な情報を探しながらグラフに描いていく。

ちなみに、グラフは $x$ 軸に沿って左から右へ描いていくのが基本である（関数は $x$ を決めたら $y$ が１つ定まる、という定義であり、その関数の様子を図示したのがグラフだから）。 $x$ 軸は経過時間（分）を表しているから、まず０分の時点から考えよう。

文脈から０分時点の電池残量は２５％だったとあるので（０，２５）に印をつけよう。

次に傾き（変化の割合）を知る必要がある。そうしなければ、右のどこの点を打てるのかが決まらない。

文脈から０～２０分は充電しながら視聴していたので、電池が増減する変化の割合は、「電池残量は４分あたり１％増加」があてはまる。
「４分で＋１％」ということは「２０分で＋５％」であるから、電池残量は２０分目では３０％になっているはずである。よって（２０，３０）に印をつけよう。

そして「１本目の動画の最後まで視聴したときはちょうど０％」とある。動画の長さは５０分だったらか（５０，０）に印をつけよう。

これらを線で結べばよい。

②【中２】　Aさんが１本目の動画の最後まで視聴したのち、２本目の動画の最後まで視聴するためには、２本目の動画はスマートフォンの充電をしながら何分以上視聴すればよいか、求めなさい。

これは逆算で考えていく。
つまり２本目の動画を見終わったときに電池残量が０％になるのが最低条件であるから、そこから逆算する。

上の問から、充電せずに動画を視聴した場合の変化の仕方は、グラフの２０～５０分の部分であった。２本目の動画も５０分間だから、この部分はこのまま使える。

そして２本目の動画を見はじめた時は電池残量が０％である。つまり０分目は０％から出発する。つまり原点から出発する。
充電しながら見るのだから、変化の割合は「電池残量は４分あたり１％増加」。これは「２０分で＋５％」だったから、２０分ごとに５％ずつ上昇するグラフになる。

よって、赤いグラフと青いグラフの交点のときが求める時間である。計算せずともグラフから読み取れば４０分である。よって

４０分以上

【３】次の(1)から(3)までの問に答えなさい。

ただし、答えは根号をつけたままでよい。

(1)【中３】　図で、C、DはＡＢを直径とする円Ｏの周上の点、Ｅは直線ＡＢと点Ｃにおける円Ｏの接線との交点である。

∠ＣＥＢ＝ $42^{\circ}$ のとき、∠ＣＤＡの大きさは何度か、求めなさい。

―――＜解法１＞―――

※ この解法１は「個別学習のセルモ　日進西小学校前教室」の西尾先生からご提供ただきました。ぜひ西尾先生のブログもご参照くださいませ。

接線が引かれているので、円の接線の性質「中心から接点に引いた半径は、接線と垂直」を使えないだろうかと考えて補助線を引いてみる。

外角の公式より、∠AOC＝∠OCE＋∠CEO＝ $90^{\circ} + 42^{\circ} = 132^{\circ}$
円周角の定理「中心角は円周角の２倍」より、
∠CDA＝∠AOC÷２＝ $132^{\circ} \div 2 = 66^{\circ}$

―――＜解法２＞―――

求める∠ＣＤＡは円周角であるから、円周角の定理を使うことを考える。そこでＤを円周上のどこかに移動すると解けるかもしれないと考えて補助線を引いてみる。

またＣが接点であるから、円の接線の性質「中心から接点に引いた半径は、接線と垂直」を使えないだろうかと考えて補助線を引いてみる。
すると、ＯＢとＯＣはともに半径だから二等辺三角形ができる。「二等辺三角形は底角が等しい」が使えそうである。

$△$ ＯＥＣについて、
∠ＣＯＥ $= 180^{\circ} - 42^{\circ} - 90^{\circ} = 48^{\circ}$ だから、
∠ＯＢＣ＝ $(180^{\circ} - 48^{\circ}) \div 2 = 66^{\circ}$

∠ＣＤＡ＝∠ＯＢＣ＝ $66^{\circ}$

―――＜解法３＞―――

※ この解法３および下の図は、大阪の「あおい塾」の神田先生からご提供いただきました。大阪方面の方は神田先生のブログもぜひチェックしてみてください。

∠ADCが円周角であるから、Dを円周上で動かして利用しやすくなるように考える。角度がわっている∠BECに近づけたら何かあるだろうと考えて、DをBまで動かしてみよう。
そう考えて補助線BCをひく。
次に「接弦定理」を思い出して、これを利用してみようと思いつく。そう考えて補助線ACをひく。

円周角の定理から∠ADC＝∠ABC、かつ、∠ACB＝ $90^{\circ}$
接弦定理より∠ACF＝∠ABC

まず接線上の角度の合計は $180^{\circ}$ だから、
[緑の〇]＋ $90^{\circ}$ ＋[赤の〇]＝ $180^{\circ}$
整理して
[緑の〇]＋[赤の〇]＝ $90^{\circ}$ 　…①
∠ABCが $△$ BECの外角だらか、外角の公式を使って
[緑の〇]＋ $42^{\circ}$ ＝[赤の〇]　…②

①と②を連立方程式のように解けばよい。[赤の〇]を出すのが目的だから①－②で[緑の〇]を消すのが良い。
式①－式②より
[赤の〇]－ $42^{\circ}$ ＝ $90^{\circ}$ －[赤の〇]
２×[赤の〇]＝ $90^{\circ} + 42^{\circ}$ ＝ $132^{\circ}$
[赤の〇]＝ $66^{\circ}$

(2)【中３】　図で、四角形ＡＢＣＤは正方形であり、Ｅは辺ＤＣの中点、Ｆは線分ＡＥの中点、Ｇは線分ＦＢの中点である。

ＡＢ＝ $8 c m$ のとき、次の①、②の問に答えなさい。

①【中３】　線分ＧＣの長さは何 $c m$ か、求めなさい。

―――＜解法１＞―――

やたらと中点が多いので「中点連結定理」を使えないだろうかと考える。
中点連結定理に必要なのは、

①三角形
②１辺に中点
③中点から伸びる底辺に平行な線

の３つである。
これらの条件をＧＣの周りでそろえていけば解けそうである。

まず②としてＦＢの中点Ｇがある。すると③はＧＣとなりそうだ。ならばＦＥが底辺になりそうだが、①の形が未完成。
そこで次のように補助線を引く。

ＡＥをＥの方へ延長し、またＢＣをＣの方へ延長し、その交点をＨとした。
するとパッと見は $△$ BFHで中点連結定理のような図形になった。本当にそうか確かめよう。

まず、 $△$ ADE≡ $△$ HCE
となるから、ＡＤ＝ＣＨ＝ＢＣとなる。つまりＣはＢＨの中点と分かる。
よって中点連結定理より、 $G C / / F H$ であり、同時に
$G C = \frac{1}{2} F H$
である。
確かに中点連結定理の形になっている。

だから、あとはFHを求めればよい。

ここで分かっている長さを確認すると、

$△$ ADEについて、三平方の定理を使って、
AE＝ $\sqrt{8^{2} + 4^{2}} = \sqrt{64 + 16} = \sqrt{16 (4 + 1)} = 4 \sqrt{5}$
よって
HE＝ $4 \sqrt{5}$
ＦはAEの中点だから
AF＝FE＝ $\frac{1}{2} \times 4 \sqrt{5} = 2 \sqrt{5}$
よって
FH＝FE＋HE＝ $2 \sqrt{5} + 4 \sqrt{5} = 6 \sqrt{5}$

以上から

$G C = \frac{1}{2} F H = \frac{1}{2} \times 6 \sqrt{5} = 3 \sqrt{5} c m$

―――＜解法２＞―――

まず題意から分かる情報を書き込む。

斜めの線の長さと言えば三平方の定理であるが、求める線分ＧＣを含む $△$ ＧＢＣは直角三角形かどうかわからない。
そこで補助線を引いて直角三角形をつくり出そうと考える。
また、この問題では「中点」がやたらと多いので「中点連結定理」が使えないかとも考える。
このような思案を経て次のような補助線を引く。

$△$ ＡＥＤに中点連結定理を用いれば、ＦＨ＝ＡＤ× $\frac{1}{2}$ ＝４であり、ＥＨ＝ＨＤ＝２である。
よってＣＨ＝８－２＝６だから、ＣＩ＝ＩＨ＝３となる。

ＣＧを求めるために線分ＧＩの長さが必要になる。それを知るために、さらに補助線を引く。

$△$ ＡＥＤに中点連結定理を用いれば、ＡＪ＝ＪＤ＝４
よってＢＫ＝ＡＪ＝４
今度は $△$ ＦＢＫに中点連結定理を用いれば、
ＧＬ＝ＢＫ× $\frac{1}{2}$ ＝２
ＦＨ＝ＬＩ＝４だから
ＧＩ＝２＋４＝６

以上から $△$ ＧＣＩに三平方の定理を用いて、
$G C = \sqrt{6^{2} + 3^{2}}$
$= \sqrt{45}$
$= 3 \sqrt{5}$

―――＜解法３＞―――

※ この解法３は「個別学習のセルモ　日進西小学校前教室」の西尾先生からご提供ただきました。ぜひ西尾先生のブログもご参照くださいませ。
※ この解法がおそらく最短かつエレガントかもしれません。ただし厳密な証明には高校数学の「ベクトル」の知識が必要です。

辺ABの中点をHとし、線分HGを書き込みます。

AH//EC、かつ、AH＝EC、だから四角形AHCEは平行四辺形
よって
AE＝HC

もしもHGとGCが一直線上にあれば、
GC＝HC－HG
で求まる。

まず中点連結定理より
HG//AF
HG= $\frac{1}{2} A F$ 　…①
よって
HG//AE//HC
だからHGとGCは同一直線上にある（※）

三平方の定理より
AE= $\sqrt{8^{2} + 4^{2}} = 4 \sqrt{5}$
AEの中点がＦだから
AF= $\frac{1}{2} A E = \frac{1}{2} \times 4 \sqrt{5} = 2 \sqrt{5}$
①より
HG= $\frac{1}{2} A F = \frac{1}{2} \times 2 \sqrt{5} = \sqrt{5}$
よって
GC＝HC－HG＝AE－HG
$= 4 \sqrt{5} - \sqrt{5} = 3 \sqrt{5}$

（※）注意事項！

HGとGCが同じ直線上？

HG//AE//HC から HGとHCが同一直線上にあることが言えますが、厳密には、まだHGとGCが同じ直線上であるとは言えません。
しかし作図をすれば、どうやってもHGとGCが同じ直線上になるようにしか描けません。
ですから「AGCは一直線だ！」と分かったのが直感的だったとしても、解ければよいと思います。
式を使って厳密な証明をするには、高校２年生の「ベクトル」の知識が必要です。

②【中３】　四角形ＦＧＣＥの面積は何 $c m^{2}$ か、求めなさい。

―――＜① を解法１で解いた場合＞―――

四角形FGCEの面積＝ $△$ FBH－ $△$ GBC－ $△$ ECH
で求めることにする。
$△$ FBHの面積を求めるためには、その高さを求めたい。そこで次のように補助線を引く。

$△$ ABH∽ $△$ FIH
である。また
$B I = 8 \div 2 = 4$
$I H = B H － B I = 16 - 4 = 12$
であるから、相似比は
$16 : 12 = 4 : 3$
である。よって、
ＦＩ＝ $A B \times \frac{3}{4} = 8 \times \frac{3}{4} = 6$

以上から
$△$ FBH＝ $\frac{1}{2} \times B H \times F I = \frac{1}{2} \times 16 \times 6 = 48$

$△$ BCGと $△$ BHFの相似比は $1 : 2$ だから面積比は $1 : 4$
よって
$△$ BCG= $\frac{1}{4} \times △ F B H = \frac{1}{4} \times 48 = 12$
また
$△$ ECH= $\frac{1}{2} \times 8 \times 4 = 16$

以上から

四角形ＦＧＣＥの面積＝ $△$ FBH－ $△$ GBC－ $△$ ECH
$= 48 - 12 - 16 = 20 c m^{2}$

―――＜① を解法２で解いた場合＞―――

四角形FGCEの面積＝ $△$ FGL＋台形FLIE＋ $△$ GCI
$E I = H I - H E = 3 - 2 = 1$
だから、
$= \frac{1}{2} \times 2 \times 3 + \frac{1}{2} \times (1 + 3) \times 4 + \frac{1}{2} \times 6 \times 3$
$= 3 + 8 + 9$
$= 20 c m^{2}$

(3)【中１＆中３】　図で、立体ＯＡＢＣは $△$ ＡＢＣを底面とする正三角すいであり、Ｄは辺ＯＡ上の点で、 $△$ ＤＢＣは正三角形である。

ＯＡ＝ＯＢ＝ＯＣ＝ $6 c m$ 、ＡＢ＝ $4 c m$ のとき、次の①、②の問に答えなさい。

①【中３】　線分ＡＤの長さは何 $c m$ か、求めなさい。

※ この解法は「個別学習のセルモ　日進西小学校前教室」の西尾先生からご提供ただきました。ぜひ西尾先生のブログもご参照くださいませ。

線分ＡＤを含む $△$ ＯＡＢについて考える。問題文で与えられた長さも書き込むと下図のようになる。

$△$ DBCは正三角形だから、AB＝DB＝４cm

すると $△$ OABと $△$ BADが相似なのではないかと思えてくるので確かめる。

$△$ OABと $△$ BADについて、
$△$ OABは二等辺三角形であるから∠OAB＝∠OBA
$△$ BADも二等辺三角形であるから∠BAD＝∠BDA
また共通の角であるから∠OAB＝∠BAD
よって２角がそれぞれ等しいので
$△$ OAB∽ $△$ BAD

以上から、

$O A : A B = B A : A D$
$6 : 4 = 4 : x$
$6 x = 16$
$x = \frac{16}{6}$
$= \frac{8}{3} c m$

②【中３】　立体ＯＤＢＣの体積は正三角すいＯＡＢＣの体積の何倍か、求めなさい。

全問いから、
$O A : D A = 6 : \frac{8}{3} = 18 : 8 = 9 : 4$
よって
三角すいOABCと三角すいDABCの高さの比も $9 : 4$
両者は底面積が共通なので、体積の比も $9 : 4$

立体ODBCの体積＝三角すいOABC－三角すいDABCだから、
三角すいOABCと立体DABCの体積の比は、 $9 : (9 - 4) = 9 : 5$

以上から、立体DABCの体積は正三角すいOABCの
$5 \div 9 = \frac{5}{9}$ 倍

謝辞

解法と解説の作成にあたりましては、

日進市の「個別学習のセルモ　日進西小学校前教室」の西尾先生
大阪市住之江区の「あおい塾」の神田先生

にご協力いただきました。
おかげさまで図形問題の解説にあたっては、よりエレガントな解き方を用意することができました。
この場を借りて、あらためて御礼申し上げます。

あとがき

Ａ日程にくらべると、大問３の図形問題が難化した印象です。

大問２は数学というよりも読解問題の様相が強いです。どの教科も全体的に論理国語の１点に集約していくような方向性は、あまり好ましくありません。
文字列だけで問題文を長くして難易度を上げようとする姿勢は、今後コンピューターを活用していく時代には向けては、あまり相応しいとは言えません。

より多様な情報提示のあり方で問題を作っていくべきというのが、今後の課題と言ったところでしょう。
もしも問題を作成する人たちが、コンピューターで読み書きできる情報が文字列しかない、というのであれば、それは能力上の問題です。
なぜ、こんなにもダラダラと長い問題文になってしまったのか、大いに反省すべきでしょう。

日本から国際競争力のある人材をどんどん輩出するのなら、早くこのボトルネックを解消すべきです。

進学実績

卒塾生（進路が確定するまで在籍していた生徒）が入学した学校の一覧です。
ちなみに合格実績だけであれば更に多岐・多数にわたりますが、当塾の理念に反するので生徒が入学しなかった学校名は公開しておりません。

国公立大学

名古屋大学、千葉大学、滋賀大学、愛知県立大学、鹿児島大学

私立大学

中央大学、南山大学、名城大学、中京大学、中部大学、愛知淑徳大学、椙山女学園大学、愛知大学、愛知学院大学、愛知東邦大学、同朋大学、帝京大学、藤田保健衛生大学、日本福祉大学

公立高校

菊里高校、名東高校、昭和高校、松陰高校、天白高校、名古屋西高校、熱田高校、緑高校、日進西高校、豊明高校、東郷高校、山田高校、鳴海高校、三好高校、惟信高校、日進高校、守山高校、愛知総合工科高校、愛知商業高校、名古屋商業高校、若宮商業高校、名古屋市工芸高校、桜台高校、名南工業高校

私立高校

中京大中京高校、愛工大名電高校、星城高校、東邦高校、桜花学園高校、東海学園高校、名経高蔵高校、栄徳高校、名古屋女子高校、中部第一高校、名古屋大谷高校、至学館高校、聖カピタニオ高校、享栄高校、菊華高校、黎明高校、愛知みずほ高校、豊田大谷高校、杜若高校、大同高校、愛産大工業高校、愛知工業高校、名古屋工業高校、黎明高校、岡崎城西高校、大垣日大高校

（番外編）学年１位または成績優秀者を輩出した高校

天白高校、日進西高校、愛工大名電高校、名古屋大谷高校

※ 成績優秀者・・・成績が学年トップクラスで、なおかつ卒業生代表などに選ばれた生徒

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〒４６８－０００９
名古屋市天白区元植田１－２０２　金光ビル２Ｆ
ＴＥＬ：０５２－８９３－９７５９
教室の様子（360度カメラ）　http://urx.blue/HCgL

2020.10.04

プログラミングに数学は使いますか？どれくらい必要ですか？

塾長です。

今週はテスト対策の準備と指導で忙しかった。
来週からが本番なのですが・・・。

そんな中で、高校３年生が中央大学経済学部に推薦合格しました。
おめでとう！
おかげで疲れが吹っ飛びました！！

けっこう数学を使う分野に進むので、これから数学も勉強していくそうです。
最近は私大文系でも入試に数学を課すところが増えてきました。

さて、そんな数学ですが、プログラミングでは使うのでしょうか？

小学校で習う算数は使う？
中学１年生、２年生、３年生の数学は？
高校のsin, cos, tan は？
使うとしたら、いつ、どんな分野で使うのでしょうか？
数学ができなければプログラマーに成れないのでしょうか？

ということで、解説動画（YouTube）を作りました。

ちなみに、数学を使わないプログラマーの方が多いです。
そうなる理由も解説しています。

ぜひ、ご覧ください。

プログラミングに数学は使いますか？学校で習ったことは役立ちますか？

動画の内容

0:00:20　数学的な思考力は必要というけれど・・・
0:00:38　どの程度の数学までが使われる？
0:00:52　小学校の算数は使いますか？
0:01:20　中１～中２の数学は使いますか？
0:02:09　中３の数学は使いますか？
0:02:25　高校の数学は使いますか？
0:02:46　逆に高等数学はいつ使う？
0:02:53　プログラミングで何をつくる？　２つのタイプ「ＡとＢ」
0:03:03　Ａタイプのプログラミング　→ 数学を使わない
0:04:08　Ｂタイプのプログラミング　→ 数学を使う
0:05:20　【実例】マイクラミングでＡタイプとＢタイプを比較
0:05:50　マイクラミングでのＡタイプ
0:07:55　マイクラミングでのＢタイプ
0:10:24　２つのタイプの比較まとめ
0:11:12　ＡかＢか、どっちが良い（高収入）？
0:13:11　最後のまとめ

マイクラミングとは

動画の中に出てくる「マイクラミング」とは、プログラミング教室のブランド名です。

ジュニアコースからプロコースまであり、小学２年生から大学１年生まで通っています。
動画に出てくる画面は、ジュニアコースからハイコースで使う環境です。

マインクラフトというゲームの世界をスクラッチでプログラミングすることができます。
本来なら高等数学や大学の数学が必要な図形処理を、小学生でも簡単に扱えるように工夫されています。

ご興味がある方は、教室までお問い合わせくださいませ。

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2020.09.25

【テスト対策】範囲の予想と対策プリントを出しました！

塾長です。

植田中学、御幸山中学のみなさん、

２学期中間テストまで、あと３週間を切りました。
そろそろ本気モードで対策しましょう。

教室にはテスト範囲の予想が貼ってあります。

対策プリントの配布も本日までに全員に配り終える予定です。
ドサッと渡していきますので、ちゃんと受け取りましょう。

対策プリントの使い方は次の通りです。

取り組む優先順位

今回「ドサッ」とお配りしたテスト対策プリント。
しかし、その優先順位は最下位です。
その前にやるべきこと、たくさんありますよね。

学校の配布物（教科書、授業ノート、ワーク、プリント類）
塾の標準テキスト
テスト対策プリント

学校のテストは学校の先生がつくります。
ということは、学校から渡されたものが最も大切です。

まずは学校の配布物は「できないところがなくなるまで」繰り返し徹底的にやりこみましょう。
そこまでが「基礎」です。

次々に新しい教材に手を出す人は成績が伸びない

というのは「あるある」です。
気が散っていて効率が悪いです。

上の１や２が仕上がっていないのなら３に手を出してはダメですよ。

逆に１や２が仕上がらない程度の勉強時間は、ちょっと少なすぎます。
もちろん得意、不得意があるので、必ずしも３まで手を出す必要があるというものではありません。

テスト対策の大原則

学校のテストは学校の教材が大切
１度やって弱点が明確になっている教材が大切
できる問題は無視する（作業はしない）

これが大原則です。

優先順位を間違えないように気を付けましょう。

テスト範囲の予想

これは2020年9月18日までに生徒に聞いて回った情報と塾長の勘でつくりました。
対策プリントを作るために、テスト範囲の借り決めをする必要があるからです。

注意事項

最新版やページ単位の情報は、教室の掲示を確認してください。
教室の掲示は随時修正していますが、ブログの方は更新しません。
予想が外れても一切責任は取れませんので悪しからず。

植田中学校

テスト日程　2020年10月15日～16日

中３

	英語	数学	国語	理科	社会
	英語	数学	国語	理科	歴史	公民
開始	Unit2-4	平方根	月の起源を探る	仕事とエネルギー	独裁者の出現	第１章
終了	Unit4-5	二次方程式の利用	故郷	進化	（最後）	第２章「平等権」

中２

	英語	数学	国語	理科	社会
	英語	数学	国語	理科	歴史	地理
開始	Unit2-3	連立方程式	新しい短歌のために	還元反応	太平の世の土台づくり	第２章
終了	Unit4-5	一次関数と方程式	モアイは語る	神経系	元禄文化	九州地方

中１

	英語	数学	国語	理科	社会
	英語	数学	国語	理科	歴史	地理
開始	Unit2-1	文字式	詩の世界	いろいろな物質	日本列島のあけぼの	第１編第２章のみ
終了	Daily Scene 1	比例、座標	蓬莱の玉の枝	蒸留	飛鳥文化	第２節第１章のみ

御幸山中学校

テスト日程　2020年10月14日～16日（中１，２年は14日～15日）

中３

	英語	数学	国語	理科	社会
	英語	数学	国語	理科	歴史	公民
開始	Daily Scene 3	根号を含む計算	握手、俳句の可能性	単元１のはじめ	⑥自主・独立・平和を求めて	第１章のはじめ
終了	Daily Scene 5	y=ax²の変域とグラフ	夏草	単元１のおわり	（最後）	第２章のおわり

中２

	英語	数学	国語	理科	社会
	英語	数学	国語	理科	歴史	地理
開始	Unit2-4	連立方程式の利用	生物が記録する科学	単元２「無脊椎動物」	倭寇	九州地方
終了	Unit4-4	一次関数　全て	扇の的	単元３「電流と回路」	元禄文化	近畿地方

中１

	英語	数学	国語	理科	社会
	英語	数学	国語	理科	歴史	地理
開始	Unit3-1	文字式の計算	ちょっと立ち止まって	いろいろな物質	（最初）	アジア州の最初
終了	Unit6-2	方程式の利用	蓬莱の玉の枝	蒸留	東アジアの中の大和政権	アジア州の中国

今年はテスト範囲の予習が難しい！？

来週には学校から正式なテスト範囲表が配られるでしょう。
ただ、それを待っていては勉強の計画が立ちません。

学校の授業で進んだところ　＋　少し予習

という考え方が基本ですが、そうはいかないところもあります。
毎回、必ず気を付けなければいけない観点は次の通りです。

国語の教科書は飛び飛びに使わる
地理と歴史の足並みが不揃い（遅れた時は地理優先）

そしてさらに、今年は予習がやりにくいです。
一部ですが、教科書がページ通りに進まず、単元が行ったり来た入りしているからです。

これは次の理由が大きいです。

コロナ禍で授業時間が不足気味
来年の教科書改訂を見据え、新しい教科書の順番で指導している教科がある
主体性や予習の推奨が進み、一部の教科で進度の急加速がある

教科書改訂の影響を大きく受けているのが、数学と理科です。
この２教科は学年をまたいで単元の移動や再編があります。

例えば、今年の中学１年生は、植物の光合成や内部構造をスキップしました。
新しい教科書では中学２年生にまとめられるからです。

例えば、中学２年生は学校によって進め方がバラバラです。
同じ教科書なのに、単元１の化学から始めた学校と、単元２の生物から始めた学校があります。

このように教科書が前後するので、学校の先生に

「次はどこに進みますか？」
「どこがテスト範囲になりますか？」

と頻繁に質問するようにしましょう。
学校の先生の中では、すでに進め方が決まっています。

何ページまでテスト範囲に含めるか？

という詳細は、直前まで明言が難しいでしょう。

しかし、

進める順番

は答えられるはずです。
年間の計画でおよそ決まってますから。
もちろん学校にもよりますし、教科にもよります。

どちらにせよ、学校の先生に要確認です。
早く情報を集めようとする行動力を身に着けるのも大切です。

みんな、しっかりね！

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2020.08.27

１＝２が証明されたってホント！？　ウソを見破れるかな？

塾長です。

たまに虚構新聞の記事を見て爆笑しています。
ある虚構新聞のファンから次のアドバイスをいただきました。

科学面の「『２と１は等しい』数学界で論議」という記事が面白いよ。これ教育に使えるんじゃない？

2008年の記事です。
こんな素晴らしい記事を見過ごしていたとは。

１＝２の証明！！　ホント？ウソ？

まず問題となっている「１＝２」の証明を見てみましょう。

問題となった証明

上の記事からの抜粋と補足です。中３以上の知識で読めるでしょう。

因数分解を使いますが、数学の好きな生徒ならば、中学２年生でも何とか読むことはできるでしょう。

$a = b$
両辺に $a$ をかけて
$a^{2} = a b$
両辺から $b^{2}$ を引いて
$a^{2} - b^{2} = a b - b^{2}$
両辺を因数分解して
$(a + b) (a - b) = b (a - b)$
両辺を $(a - b)$ で割って
$a + b = b$
ここで $a = b$ であったから
$2 b = b$
両辺を $b$ で割って
$2 = 1$

むむむぅ・・・確かに結論が「２＝１」となってしまいました。

どうでしょう？

大真面目な質問

この証明は正しいと思いますか？

数学では、たった１つでも反例を言えれば間違いと言えます。
逆に言えば、何も間違えを指摘できなければ「正しい」ことになってしまいます。

もしも上の証明の間違いを言えなければ、みなさん、大変ですよ。

１＝２が正しいとなれば、また小学校から勉強のやり直しです。

それは嫌です。

何とかして証明の間違いを見つけたいところです。

いかがでしょう？

証明のどこが間違いなのか、みなさんは分かりますか？

どうしてこうなった？

計算のルール。たくさんあります。

その１つでも無視して計算してしまうと、このような詭弁が生まれてしまいます。

もちろん冗談としては、なかなか面白い証明です。

やってはいけないルール

それはさておき、

上の証明で無視したルールが１つあります。

それは何でしょうか？

このルールを無視してしまうと「何でもあり」の結論を好きなだけ導くことができます。

そのルールとは、

０で割ってはいけない

です。
このルールに違反してしまった計算のことを、

ゼロ除算

と呼びます。まるで犯罪名のような名前までついています。

教科書で明記されているか？

ゼロ除算

これについて、いつ学校で教わるのでしょうか？

割り算は小学３年生で習います。
しかし小学校では「指導しなくてよい」というスタンスです。
ただし一部の教科書では、国語的な意味で「答えは０」と解釈できる場合を紹介しています。

中学の教科書でも「０で割ることは考えない」としています。
これも、あまり明確に「０で割らないように注意しろよ！」と教えることはないようです。

このルールを明確に意識するのは、高校数学からです。
ゼロ除算を特別に取り上げるページは無いものの、式の証明や場合分けの過程で何度となく教わります。

どこでゼロ除算をしてしまったのか？

さて、話しを戻しましょう。

冒頭の証明のどこでゼロ除算を犯してしまったのでしょうか。

これは証明の式に、具体的な数字を当てはめれば分かりやすいでしょう。
特に次の式以降に着目です。

証明の中で、次の行に注目です。
$(a + b) (a - b) = b (a - b)$
ここで $(a - b) = 0$ ですから、この式は、
$(a + b) \times 0 = b \times 0$
ということです。
ここで両辺を $(a - b)$ で割る、つまり $0$ で割ってしまいました。

このように、０で割ってしまうルール違反をしていました。

なぜ０で割ってはいけないの？

それでは、そもそも０で割ってはいけない理由、なぜでしょうか？

破壊的だから

数学者の厳密な説明はさておき、まずは良くないことが起こる様子を経験しましょう。
上の式で見たようなことを、具体的な数字に置き換えてみれば分かりやすいです。

$(a + b) \times 0 = b \times 0$
この部分をさらに
$100 \times 0 = 5 \times 0$
などと書いてみましょう。
これは右辺も左辺も確かに $0$ となって正しいです。
しかし両辺を $0$ で割ったらどうでしょう。
$100 = 5$
とたんに話がおかしくなります。

このように

「０で割る」

を許してしまうと、33=101 のような詭弁をいくらでも作れてしまいます。
０で割ることに

「意味が定まらない」

ので、それを逆手に取って

「どのような意味にも設定できてしまう」

とできてしまうからです。
これは、かなり破壊的です。
一般に、

$x \times 0 = y \times 0$
を満たすような $x, y$ は「何でもよい（不定）」

です。
よって

「０で割る」

を許してしまうと、上で見たように

何でも＝何でも

という関係をいくらでも作れてしまい、おかしくなります。
数の世界が破壊されてしまいます。

よって、０で割ることを安易に許してはいけません。

そういうルールです！

意味が分からないから

そもそも「０で割る」とは、どういうことでしょうか？

例えば

$100 \div 5$

は、

「１００を５等分にした内の１つ」
または
「１００の中に５がいくつ入るか」

などという意味になります。
試しに後者の意味だとします。

では、

$100 \div 0$

の計算は、どうなるのでしょうか。

「１００の中に０はいくつ入るか？」

なぞなぞなら「２つ」というトンチも許されますが、割り算の答えにはなっていません。
かと言って、答えが分かりません。

「そもそも０の何個分？」

という意味が分かりません。
０は何個集めても０だからです。

計算が終わらないから

そこで１００歩譲って、

$100 \div 5$

から出発して、「割る数」の５を、どんどん小さくして０に近づけようと思います。

$100 \div 5 = 20$
$100 \div 0.5 = 200$
$100 \div 00.5 = 2000$
・・・
$100 \div 0.00000000 \dots 005 = 2000000000 \dots 00$

このように、割る数を０に近づければ近づけるほど、答えは無限に大きくなってしまいます。
これを繰り返していけば、いつか「０の何個分」か答えらえれそうです・・・

・・・しかし、割る数はどこまでも小さくできます。
出てくる答えも、どこまでも大きなります。

この作業は、いくらでも続けられます。
終わりません。
永遠に続きます。

結論が出ないから禁止

そして、いくら続けても、

「０で割る」

の結論が出ません。

宇宙が終わる頃には結論が出るのでしょうか？

それも分かりません。

さらに、良くないことがあります。
割られる数が１００であろうと１であろうと、２であろうと、とにかく

「答えが無限に大きくなり続ける」

ことに変わりがありません。
だからといって、

１００÷０
と
３÷０
が
無限の先で同じ答えになっているのか、あるいは違う答えになっているのか、それも分かりません。

このように「０で割る」という計算は、いくら考えても答えを特定できませんでした。
だから「０で割る」という計算の定義ができないことになります。

「０で割る」

とは

「わからない」

または

「永遠に計算が終わらない」

または

「そもそも計算の定義ができない」

ということになるわけです。

だから、

「０で割るな！」

となったわけです。

プログラミングでも禁止

プログラミングの世界、もっと言えば、コンピューターを使う世界でも、

「０で割ってはいけない！」

というルールが徹底されています。
プログラマーならだれでも

ゼロ除算

という悪魔を知っています。
これが出てきてしまうプログラムを書いてはいけません。

さて、実際にやったらどうなるのでしょうか？

試しに、Pythonというプログラミング環境で

$5 \div 0$

を計算した結果が次の画面です。

ちなみにプログラミングでは「５÷０」のことを「5/0」と書きます。

パイソンで０除算エラー

“ZeroDivisionError: division by zero”　（０で割ったというエラー）

というエラーが表示されて、怒られてしまいました。

近代的なプログラミング環境では、コンピューターに「÷０」を計算させる前に、その式を検出してエラーを出すようになっています。
コンピューター全体が止まってしまったら大変ですからね。

このようにコンピューターの世界でも「０で割る」は禁止です。
ですからプログラマーの世界では「ゼロ除算」と言ったら、それはバグ(*)の１つを指します。

これが本当に計算されてしまうと、最悪の場合、コンピューターが止まってしまいます。

(*) プログラムの不具合のこと

勉強したことを笑いに活かす

今回は虚構新聞の昔の記事から数学のお話をしました。

虚構新聞はフェイクニュースのサイトです。
このようにウィットの利いた面白いニュースをでっち上げるジョークサイトです。

文字通り「虚構」の新聞ですね。
このような分野では有名で、すでに不動の地位とも言えます。

本当のことを知っている人だけが楽しめます。

勉強したことをジョークに活用する。

そんな勉強の応用もあるんですね。
虚構新聞の記者たちの仕事は楽しそうです。

何に価値があるのか、何が仕事になるのか。

やってみないと分からないものです。

キャリア教育のネタにもどうぞ。

ゼロで割ったら答えが０？

最後に少し補足です。

特定の文脈において「０で割った」ときの答えを定義することは可能です。
例えば、

300gのケーキを100gずつ分けました。何人に配れるでしょう？

という文脈があったとします。この計算は、

$300 \div 100 = 3$

ですから、答えは

３人

となります。
つまり、この文脈では「割り算の答え」は「配れる人数」を意味します。
この文脈を前提として、

300gのケーキを0gずつ分けました。何人に配れるでしょう？

を考える場合はどうでしょう。同じように計算式は、

$300 \div 0 = ?$

となりますね。
もちろん式だけ見れば計算に困りますが、文脈から答えを決めることはできます。

答えが分からない → 配れる人が決まらない → 配れない → 配れる人数は０人

このように社会的な意味から答えを導いて、それに合わせて

$300 \div 0 = 0$

と無理やり決めてしまうことができます。
こうして、この文脈の中では、

「０で割った答えは０人」

と決めることができるでしょう。

実際、小学３年生の一部の教科書では、このような考え方を紹介しているコラムがあります。
ただし、あくまでも考え方の１つにすぎません。
こうした教科書の影響かどうか分かりませんが、中には、

「０で割ったら０だよ。」

と覚えてしまっている人もいます。
もちろん、これは早とちりです。
常には成り立たないからです。

これはあくまでも、上のような文脈だけに通用する決め方です。
数式に対して常に言えるものではありません。
つまり、

「ローカルルール」
にすぎません。

このように、０で割ったときの答えを決めるのは「特定の文脈上の都合」です。

それは数学というよりは、国語や社会、あるいは工学のお話しになります。

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2020.08.25

８月最後の週末は教室で第３回愛知全県模試を実施します！

塾長です。

今年はコロナ禍で学校の授業が遅れ気味です。

そのため、中学３年生の愛知全県模試は、できるだけ後ろの日程で受験生てもらうように設定しました。

第３回愛知全県模試　実施のお知らせ

日時：　８月２９日（土）８：４５開場～１４：２５閉場
場所：　ヒーローズ植田一本松校
対象：　高校受験を予定している本科生
持物：　受験票、志望校登録カード、筆記用具、時計、昼食

※ 第３回の受験申込はすでに締め切りました

詳細は、すでに配布した受験案内および時間割表をご覧くださいませ。

当日受験できない生徒への配慮について

学校行事や部活動などの理由により、８月２９日に受験ができない場合は、別の日時で受験していただけます。
受験の日時については、個別に調整済みです。

詳細は、すでに配布した受験案内および時間割表の付箋紙をご覧くださいませ。

志望校登録カードに記載する内申点について

志望校登録カードには、９教科の内申点（通知表の５段階評価）を記入して提出してください。

そこには手元にある最新の成績でご記入いただければ結構です。

１学期の通知表が手元にあれば、それに書かれている評定を記入
通知表がまだ手元にない場合は、中学２年生の３学期の通知表で記入

今年はコロナ禍で通知表の発行がまだの学校が多いと思われます。
どちらでもけっこうです。

補足　模試の日程について

ヒーローズ植田一本松校では、上記の通り8/29に実施します。
すでに実施済みの会場もある中で、当教室は遅めの日程です。

実際、この日程は４月にお伝えした日程よりも１週間ほど遅いです。
日程を後ろにずらした背景は、

コロナ禍で高校を会場とした受験ができなくなった
学校の臨時休校で模試範囲の勉強が遅れていた
学校の夏休み短縮で夏期講習の時間が取れていない

という状況があったからです。
こうした事情から、模擬試験の出題範囲の学習が終わらない生徒が多くなると予想しました。

学習の遅れを少しでも回避するために、模試の受験日をギリギリの８月末の土曜日に設定しました。

夏期講習や８月の授業で少しでも遅れを挽回できればと思います。
あと少しです！

もう、これ以上は日程を後ろに伸ばせません。

当日は遅刻や欠席、忘れ物などが無いよう、くれぐれもよろしくお願いします。

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2020.08.10

この夏、勉強に役立つリンク集

塾長です。

今回は、勉強に便利な情報を共有します。ご家庭での学習にお役立てくださいませ！

算数・英語・数学

小３～高３を広く解説

とある男が授業をしてみた

有名なYouTuberさんです。
学校の授業と同じように解説してくれていて、解りやすいです。
ひとりでマルチにされているので、コンテンツの数は今後に期待です。

英語　フォニックス　小６～中１・英語が苦手な人

フォニックスが身についていれば、９割の英単語は「ひらがな」のように書けます。
フォニックスをマスターするために、次の動画がおすすめです。

【プラスワン英語法】大人のフォニックス(Phonics)

これ、永久保存版です。
重森ちぐささんのYouTubeチャンネルです。
「大人の」とありますが、フォニックスは小中学生にもお勧めできます。

フォニックスとは、文字と発音の対応関係のことです。
日本語で「あいうえお」と聞けば、そのまま平仮名で「あいうえお」と文字を書けます。
これと同じで、フォニックスを覚えれば、英単語の書き取りが楽になります。

英単語が覚えられない
英語が書けない

こういう人は、フォニックスができていないことが多いです。
つづり間違えにより、定期テストの記述問題で減点されまくる場合も同じです。

中３英語　New Horizon　１学期の総復習

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小６算数、中３数学　１学期の総復習

上と同じページです。義務教育の最終学年が対象です。

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高校数学　記述問題

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高校数学　数３　積分

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2019.12.28

中学生や高校生が混乱する関係代名詞をはじめから丁寧に解説

塾長です。

中３英語の最後の砦と言えば「関係代名詞」。名前からして難しそうです。まさに「英文法のラスボス」的な存在感です。

ということで今回は中学３年生～大学受験生を対象に、関係代名詞を攻略します。

関係代名詞を攻略するまでの道のり

その道のりは決して安易ではありません。英語の語順をちゃんと理解した真の勇者でなければ関係代名詞の攻略ができないからです。

まず、スライム攻略のレベルが「主語」「述語」そして「修飾語」の理解です。日本語の文法としても理解しておく必要があります。

つぎに「１語の修飾語」を攻略します。これは日本語の語順と大差ありません。スライムの仲間レベルです。

つぎに「２語以上の修飾語」を攻略します。これは中ボスのレベルです。何種類かあります。前置詞を使う水系、不定詞の炎系、現在分詞の土系、過去分詞の電気系など、それぞれに攻略が必要です。

そして最後がラスボスの「関係代名詞」です。この攻略の前に賢者の祠に寄りましょう。そこで「２語以上の修飾語」で得た経験値を使って「後置修飾」という上位スキルを獲得しましょう。このスキルがあれば、頭がスッキリしてMPの消費を抑えられます。

とまぁ、教科書どおりの順序で攻略すれば、こんな感じです。しかし、それはめんどうなので今回は全体像を眺めながら説明します。マップやルーラを使うイメージですね。

主語、述語、修飾語
英文全体の語順
前置修飾（１語の修飾語）
後置修飾（２語以上の修飾語）
関係代名詞

このような流れで説明していきます。ゲーム的な脚色は、もうしないです。
なお、解りやすさのために、肯定文（否定や疑問でない形の文）だけについて説明します。

（復習）主語、述語、修飾語

小学３年生から習う日本語の文法と言えば、主語、述語、そして修飾語。

あれ、いきなり何で国語？

と思うかもしれませんが、何を学ぶにも、これが基礎だからです。
もちろん、これが分かっている人は次の項目へ飛んでださい。

しかし、あなどってはいけません！
基礎だからこそ重要！！

国語や英語に限らず、勉強が苦手な人は、これが分かっていない場合が過半数です。

もっと言えば、大学受験生でも、例えば英語のマーク模試で２００点中４０点未満しか取れないようであれば、主語、述語、修飾語が分かっていない可能性が高いでしょう。

ということで復習します。

主語と述語

英語でも日本語でも、まず主語と述語が最も重要です。文の意味のほとんどを決めます。

述語には２種類あるので、小学校では主語＋述語の覚え方を２パターン教わりました。ここでは仮に「熟語Ａ」「熟語Ｂ」と呼ぶことにします。具体的には次の２通りを見てください。熟語は赤色で示しています。

述語Ａのパターン

主語（誰は・何は）　＋　述語（何だ、どんなだ）

私は　学生です。
I am a student.

あなたは　元気です。
You are fine.

熟語Aの文は「主語＝述語」の関係になっています。

私＝学生
I ＝ a student

あなた＝元気
You ＝ fine

熟語Aの英文では、動詞の役割が ”＝”（イコール）になることを覚えておきましょう。

述語Ｂのパターン

主語（誰が・何が）　＋　述語（どうする）

太郎くんが　走ります。
Taro runs.

雨が　降ります。
It rains.

熟語Bの文では「主語＝述語」の関係になりません。動詞自身が述語になります。

英語でも日本語でも、たいていは主語の後ろに述語が来ます。
※ただし例文「雨が降ります。」のように日本語と英語で主語の取り方が異なるものもあります。

そして英作文では、熟語Ａと熟語Ｂの違いが分からないと困ることになります。

そこで問題です。

述語Ａと熟語Ｂの違いは何で決まるのでしょうか？

英語の述語は動詞で決まる！

細かいことは置いておくとして、だいたい英語の８０％については、次のように考えればＯＫです。

熟語Ａ：　be動詞 を使う文のとき（be動詞が ”＝” の意味になる）
熟語Ｂ：　一般動詞 を使う文のとき（一般動詞が熟語になる）

上で見て来た例文を眺めて、そうなっていることを実感してください。

もちろん例外もたくさんあります。
しかし最初はざっくりと理解する方がストレスが少ないです。大きな目線で「英語ってこんな感じの語順なんだ」と全体像をとらえた方が見通しが良いです。とりあえず今の時点では細かいことは置いておきましょう。

be動詞と一般動詞

念のためにbe動詞と一般動詞の復習をしておきます。

というのは、学校の先生の中には文法の説明を一切しない方がいらっしゃるからです。これは英語の教育方針によるでしょう。英語の理想的な教育は「１日じゅう英語漬け」です。それならば確かに文法の説明は重要ではありません。しかし現実は９教科＋部活＋趣味のバランスを取りながら、限られた時間の中で英語を学習します。現実的に考えれば、文法を学んて公式的に覚えた方が近道だというのが塾長の考え方です。なので説明します。

be動詞　：　am, are, is, was, were, そして原形の be
一般動詞：　上記以外の動詞

イコール動詞！？

ちなみに、be動詞みたいな一般動詞もあります。つまり主語と述語の間のイコール部分になるような一般動詞があります。
肯定文の時に、be動詞と一般動詞を置き換えても文の意味があまり変わらないのが、その特徴です。例えば次の例文の一般動詞 look がそれです。

You look happy.
You are happy.

この２つの文は、一般動詞の look とbe動詞の are を入れ替えても、意味が大きく変わりません。

このような一般動詞では、be動詞と同じように熟語は述語Ａになります。そして熟語Ａの文の特徴は「主語＝述語」でした。つまり動詞の意味が「イコール」なのです。
そのため、be動詞やSVC文型の一般動詞を１つにまとめて、「イコール動詞」と呼ぶ先生もいらっしゃるようです。これは上手いネ―ミングですね。

be動詞が “＝” の意味にならない場合

逆にbe動詞がイコール動詞ではない場合もあります。次の例文を見てみましょう。

Five cats are under the table.
There is a planetarium in my city.

この例文ではbe動詞の意味が「ある、いる（存在する）」という意味で使われています。イコールの意味では訳すことができません。

このように be動詞が「ある、いる」の意味で使われる時は、熟語Ｂのパターンになります。

この様に、一般動詞の８０％は熟語Ｂですが、中にはイコール動詞もあります。逆に、be動詞も８０％はイコール動詞として使われていますが、ときどき一般動詞のように熟語Ｂとして使われることもあります。

※高校英語では英語の語順を５文型で教わります。熟語Ａの文をSVC、熟語Ｂの文をSV、SVO、SVOO、SVOCなどと教わります。ここでは５文型の説明は長くなるので省略します。

余談：命令文には主語がない

「何語だろうが主語と述語から考える。」と言いましたが、命令文には主語がありません。
実はプログラミング言語にも主語がありません。プログラミングはコンピューターに与える命令文の集まりだからです。つまり、英語でも日本語でもプログラミング言語でも、命令文には主語がありません。

修飾語！

主語と述語以外のほとんどが修飾語にあたります。

だれに、何を、どこで、いつ、どんなふうに、どれだけ

という意味の言葉たちです。ここから修飾語はピング色で表示します。

修飾語について、ポイントは次です。

修飾語の語順

日本語：　修飾語の語順が自由！（文のどこに置いても通じてしまう）
英語　：　修飾語の語順が決まっている！（語順を間違えると通じない）

さぁ、出てきました。修飾語の語順。これが日本語と英語の最大の違いです。

主語の次が述語。主語の次が動詞。ここまでは英語も日本語もだいたい一緒の語順です。

ところが修飾語の語順が日本語と英語では全く違うのです。ですから、英語の語順をマスターしたければ、修飾語の語順をマスターすればよい、ということになります。

英語の語順　Step１　文全体の語順

８０％の英文は次の語順になっています。ここでも詳細は置いておき、ざっくりと把握しましょう。

主語　述語　[だれに]　[何を]　[どこで]　[いつ]

He was sick in bed yesterday.
I study English here.
You gave me a chocolate yesterday.

主語と述語は必須です。
問題は、その次に何がどういう順番で来るか？
それはズバリ、

[だれに]、[何を]、[どこで]、[いつ]

これら４つをこの順で並べれば、だいたいはOKです！
ちなみにカッコ [　] で囲んであるのは、使う場合と使わない場合があるからです。
「使うならこの順番で」という意味です。

〇　主語　述語　だれに
〇　主語　述語　いつ
〇　主語　述語　だれに　何を

など、色々な組み合わせで使えますが、どのような組み合わせでも、上の順番を守るのがポイントです。
逆に、こういうのはダメです。

×　主語　何を　述語
×　主語　述語　いつ　何を
×　主語　述語　何を　だれに

この語順の間にその他の修飾語を挿入して考えれば、長い文や複雑な文だって作れます。
ですから、とにかく英文では

主語　述語　[だれに]　[何を]　[どこで]　[いつ]

という語順が超基本だと覚えましょう。

ここから修飾語はピング色で、被修飾語にはアンダーラインをつけて表示します。

英語の語順　Step２　前置修飾

参考書によっては「冠詞（a, the）＋形容詞＋名詞」という語順を説明しているものが多いです。

〇：　a yellow box
×：　yellow a box

この例では被修飾語が box です。修飾語はその直前に置きます。このことを一般的に言うと次のようになります。

修飾語が１語のときは被修飾語の前

主語を１語で修飾：　The standing man looked at me.
述語Ａを１語で修飾：　I was sometimes sick.
述語Ｂを１語で修飾：　They always study English.
[だれに]を１語で修飾：　He gave the tall man a card.
[何を]を１語で修飾：　I got a white letter.

英語の語順　Step３　後置修飾

さて、ここからが今日の本題です。

今日のラスボスは関係代名詞なので、ここからは被修飾語が名詞のときに限って説明します。関係代名詞は名詞を修飾するものだからです。ちなみに名詞以外を修飾する場合（副詞）についても説明しだすと、長くなって整理がつきません。ここでは省きます。

なお、中学３年生で教科書が NEW HORIZON 3 （東京書籍）の生徒は、教科書 P.94 「まとめと練習２　後置修飾」を見てみましょう。１ページの図にまとめられています。（2019年12月現在）

名詞とは

名詞とは、物事の呼び名や呼び方を表す単語のことです。主語、述語A、[だれに]、[何を] などの言葉になります。ちなみに名詞は述語Ｂにはなりません。述語Ｂの正体は一般動詞（心や体の動きを表す単語）だからです。

英語はとっても名詞を大切にする言語です。そのため名詞を修飾する文法がいくつかあります。それぞれがダンジョンの中ボスレベルです。ですから名詞を修飾する方法を良く知っておくと語順の理解が早くなります。

それではさっそく、英語の基本原則の１つを言います。

修飾語が２語以上のときは被修飾語の後ろ

長い修飾語は後回し、というのが英語の考え方です。修飾語を後ろに置くから「後置修飾」と呼びます。日本語とは逆ですね。

修飾語が１語のとき　⇒　前置修飾

日本語の語順：　修飾語　被修飾語　それは黄色いペンです。
英語の語順　：　修飾語　被修飾語　It is a yellow pen.

修飾語が２語以上のとき　⇒　英語は後置修飾

日本語の語順：　修飾語　被修飾語　それは母が買ったペンです。
英語の語順　：　被修飾語　修飾語　It is a pen my mother bought.

そして後置修飾の方法は５種類もあって、その５番目がラスボスの関係代名詞です。それでは５種類の後置修飾 (1) ～ (5) の１つ１つを順に見ていきましょう。

２語以上の修飾語　いろいろ

(1) 前置詞＋名詞で修飾語を作るとき

主語を２語以上で修飾：　Everyone in the country likes it.
述語Ａを２語以上で修飾：　I was a man of few words.　「私は口数の少ない男だった。」
[だれに]を２語以上で修飾：　He gave the man from Japan a card.
[何を]を２語以上で修飾：　I got a letter in a white bag.

(2) 不定詞（to＋動詞）で２語以上の修飾語を作るとき

主語を不定詞で修飾：　The matter to study carefully came to me.　「注意して調査すべき問題が舞い込んだ」
述語Ａを不定詞で修飾：　That was the chance to have then.
[だれに]を不定詞で修飾：　He wants you to take care of your health.　「あなたに健康を気遣って欲しい」
[何を]を不定詞で修飾：　I have many homework to do today.

(3) 現在分詞（動詞＋ing）で２語以上の修飾語を作るとき

主語を動名詞で修飾：　The man standing over there looked at me.
述語Ａを動名詞で修飾：　Tom is the man living by the hospital.
[だれに]を動名詞で修飾：　He watched a man swimming in the river.
[何を]を動名詞で修飾：　I got a letter saying hello.

(4) 過去分詞で２語以上の修飾語を作るとき

主語を過去分詞で修飾：　The boy scolded by his mother looked very sad.
述語Ａを過去分詞で修飾：　This is the book written by the great man.
[だれに]を過去分詞で修飾：　He named the cat helped by the boy “Happy”.
[何を]を過去分詞で修飾：　I kicked up the ball thrown by my friend.

(5) 関係代名詞（節）で２語以上の修飾語を作るとき

主語を文で修飾：　The boy who was scolded by his mother looked very sad.
述語Ａを文で修飾：　This is the book that the great man wrote.
[だれに]を文で修飾：　He named the cat that the boy helped “Happy”.
[何を]を文で修飾：　I kicked up the ball which was thrown by my friend.

関係代名詞の細かい説明は次に続きます。

英語の語順　Step４　関係代名詞！

後置修飾の５番目が関係代名詞だ、というふうに頭が整理できてしまえば、あとは細かいことのチェックです。

その前に文法用語を追加します。

関係代名詞と先行詞

この例文を見ながら読んでください。

This is the book that the great man wrote.

関係代名詞とは

関係代名詞とは、上の例文の “that” のことです。名詞を文で修飾する時に、名詞と文をつなげる役割をします。関係代名詞には他に who や which もあります。高校生はなると種類が増えますが、中学生は which, who, that の使い方を覚えればOKです。これで英検３級まで大丈夫です。使い分けは次の通りです。

ちなみに、疑問文の which, who や指示語の that とは全く別物です。訳すときも「どちら」「だれ」「あれ」などは全く出てきません。別物として認識しましょう。

先行詞とは

先行詞とは、上の例文の “book” のことです。被修飾語の中で、関係代名詞に修飾される名詞のことです。

関係代名詞の使い分け

関係代名詞には which, who, that の３種類があります。これらは先行詞の意味で使い分けます。

先行詞が人なら who

The boy who was scolded by his mother looked very sad.
母親に叱られたその少年はとても悲しそうだった。

先行詞が物なら which

This is the book which the great man wrote.
これが偉大な人が書いた、その本である。

どちらでも that

先行詞が人でも物でも使える便利な関係代名詞が that です。
例えば動物は一般にモノ扱いですが、最近では動物愛護の考えで人のように扱う人も増えてきました。例えばメス猫をさす代名詞は it ですが、she を使う人も多いです。このように人か物か扱いに迷う時は that が便利です。

He named the cat that the boy helped “Happy”.
彼はその少年に助けられた猫をハッピーと名付けた。

そしてこの先行詞が「何の役割を演じているか」によって関係代名詞の種類が大きく２つに分かれます。その２つが「目的格」の関係代名詞と、「主格」の関係代名詞です。それぞれ説明します。

目的格

先行詞が、その後につづく関係代名詞の文の中で「だれに」「なにを」の役割になっているとき、その関係代名詞の種類を「目的格の関係代名詞」と呼びます。

「なんのこっちゃ？」

となると思いますので、とりあえず次の文を見てください。

I will give you a pen which I bought yesterday.

上の例文をよく見ると後半の関係代名詞の文の中では bought の後の「ペンを」にあたる言葉 it が見当たりません。先行詞の pen がその役を演じているからです。

I will give you a pen which I bought it yesterday.

このように先行詞 pen が１人２役を演じています。
１つ目の役割は前半の文の I will give you a pen の中の「ペンを」の意味です。
もう１つの役割は、関係代名詞の文 which I bought yesterday の中で省略されている「ペンを」の役割です。
このように「目的格の関係代名詞」は、その先行詞が関係代名詞の文の中で「なにを」「だれに」の役割も演じています。

そして目的格の関係代名詞 which, that は省略可能です。

I will give you a pen which I bought yesterday.
I will give you a pen I bought yesterday.

省略しても「名詞を修飾する文」が挿入されたと分かるからです。なぜ分かるかと言えば、冒頭で説明した通り、英語はいつも

主語　述語　[だれに]　[何を]　[どこで]　[いつ]

という語順に決まっているからです。ですから、それ以外の語順で他の言葉が来たら「あ、説明が挿入された　＝　修飾語のかたまり」と分かるのです。語順が決まっているからこそ分かる、ということですね。いくつか例を出しておきます。

The ball which I hit it went into the house and broke the window of it.
私が打ったボールはその家に入っていき、その窓を割った。

I remember the man that you met ~~him~~ yesterday.
私は君が昨日会った人を覚えているよ。

主格

先行詞が、その後につづく関係代名詞の文の中で「だれが」「なには」の役割になっているとき、その関係代名詞の種類を「主格の関係代名詞」と呼びます。

これも例文で確認した方が速いです。

I have friends who help me with my homework.

上の例文をよく見ると後半の関係代名詞の文の中では主語がありません。先行詞の friends がその役を演じているからです。

I have friends who ~~they~~ help me with my homework.

このように先行詞 friends が１人２役を演じています。
１つ目の役割は前半の文の I have friends の中の「友達を」の意味です。
もう１つの役割は、関係代名詞の文 who help me with my homework の中で省略されている「友達が」の役割です。
このように「主格の関係代名詞」は、その先行詞が関係代名詞の文の中で「だれが」「なには」の役割も演じています。

そして主格の関係代名詞 who, which, that は省略できません。なぜ省略できないかは、省略してみれば分かります。

I have friends help me with my homework.

これでは I have friend. と言いたいのか、Friends help me my homework. と言いたいのか、いったいどちらなのかよくわからない文になってしまいました。
主格の関係代名詞を省略してしまうと、２つの文の関係が分からなくなってしまいます。どちらの文が主役で、どちらの文が脇役（修飾語）なのかが分からなくなります。そして「１つの文に動詞は１つ」という文法にも違反してしまし、意味がぐちゃぐちゃになってしまいます。

中学生は whom を習わないので that

ここで目的格の関係代名詞について１つ注意です。

目的格の関係代名詞には、who は使えません。文法的には whom を使うべきなのですが、whom は中学校では教えられないため、万能の that を使うように指導されています。

私は君が昨日会った人を覚えているよ。

〇　I remember the man that you met yesterday.
△　I remember the man whom you met yesterday.
△　I remember the man who you met yesterday.

しかし、最近は who でも使えます。英語は生きた言語です。私たちが習った時代とは使い方が変わっているのですね。日本語も使い方が変わるように英語も変わります。最近では who もOKです。

定期テストではどうでしょうか？

それは学校の先生次第です。年配の先生だと who では×にされます。それに抗議しても「授業ではそうに教えていない。聴いてなかったのか？」と言われたら勝てません。内申には「授業態度」が入っているからです。無難に that を使っておきましょう。

特殊な表現は that

これは高校英語の範囲ですが、中学校の先生でも教える方がいたので、一応、説明しておきます。

関係代名詞の文は先行詞を修飾します。修飾するということは、先行詞の追加説明をするということです。そして追加説明をするということは、先行詞を限定する、ということです。
つまり関係代名詞のおかげで、先行詞の意味が、より限定され、意味が詳しく特定されるわけです。

ところが、関係代名詞で修飾される前から、先行詞の意味が限定されてしまっている時があります。

先行詞に、つぎの修飾語が最初からくっついている時です。

all, every, any, no, everything, anything, nothing,
the only, the very, the same,
序数（ the first, the second, the third, … ）,
最上級（ the most, the least, … ）

先行詞を強く限定するような言葉がある時は、関係代名詞を that にするのが普通です。

You are the last Jedi that can control “force” in the space.
この宇宙であなたがフォースを操れる最後のジェダイだ。

英語の語順　Step5　例外の修飾

最後に、例外を書いておきます。

数や量、程度を表す言葉

数量を表す言葉は、名詞の前に置くのが普通です。名詞を２語以上で修飾するときでも、名詞の前に来てしまう例外です。

a lot of, hundreds of, a few, a little, fifty five, almost all, very tall, … etc

などです。

Thousands of people moved the movie.
何千もの人々がその映画に感動した。

nothing と anything は１語でも後ろから修飾

これは中２の不定詞で一緒に習いますね。nothing, anything は修飾語が１語だろうと２語以上だろうと、とにかく修飾語は後ろに置かなければいけません。

〇　Do you have anything to do today?
〇　I want something to drink.
〇　I feel something terrible.
×　I feel terrible something.

普通の形容詞と不定詞の両方で修飾する場合は、次の順番です。

nothing [普通の形容詞] [不定詞]
anything [普通の形容詞] [不定詞]

〇　I want something cold to drink.
×　I want something to drink cold.

おわりに

中学生の英語で、語順が混乱するタイミングは何度かやってきます。

中１なら、一般動詞が登場した時と、現在進行形が登場した時です。
中２なら、動名詞や不定詞が登場した時と、比較級が登場した時です。

そして中学３年生になると、英語の語順が一気に複雑になります。

受け身、現在完了、It ～ for ～ to 構文や so ～ that 構文、後置修飾、関係代名詞と続くからです。

関係代名詞は中学英語の最後の砦になります。

英語との日本語の比較を厳密にすることが、英文法の理解の近道です。
文法を教えることに否定的な人も多いようですが、それは教え方です。

私はむしろ、国文法で助詞を丸暗記させたり、形容動詞と名詞＋だの見分け方などを教える方が反対です。
そんな重箱の隅をつつかせるよりも、日本語と英語の違いを文法的に比較する方が、はるかに実りが多いと思っています。

品詞や語順の違いがどうして生まれたのか？

それが、ひいては文化の違いを理解するにも至ります。

中学２年生になったら、英単語は意味と発音だけでなく、品詞にも注意すると良いでしょう。
日本語の訳に惑わされるよりも、品詞を確認した方が、単語の意味がすんなり解ることさえあります。

新しい英単語が出てきたら、ぜひとも

発音、意味、そして「品詞」を確認しましょう。

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2018.07.28

あなたは中学何年生レベル？　数学のまちがい探し！

夏休み、中学生がよく間違える数学の「あるある」を載せておきます。
（ちなみに英語版はこちらです）
下の計算式は全てどこかが間違っています。
さあ、皆さんは直ぐに分かりますか？

問題　まちがいを指摘して直しましょう。

中１

　 $12 - 36 \div 3 = - 8$
　 $(- 2) \times (- 3)^{2} = - 12$
　 $\frac{1}{5} (3 x - 2) - \frac{1}{3} (x + 1 =$ $= \frac{3}{15} (3 x - 2) - \frac{5}{15} (x + 1)$ $= \frac{9 x - 6 - 5 x + 5}{15}$ $= \frac{4 x - 1}{15}$
　 $\frac{x - 1}{5} = 2$ 　 $\leftrightarrow$ 　 $x - 1 = 2$ 　 $\leftrightarrow$ 　 $x = 2 + 1$ 　 $\leftrightarrow$ 　 $x = 3$ 　よって解は３
「ある数xを2倍して4を足した数は、xを3倍して4を引いた数より20小さかった。」から方程式を立てると $2 x + 4 = 3 x - 4 + 20$ となる。

中２

　 $\frac{x - 3 y}{2} - \frac{5 x - 9}{6}$ を計算すると $\frac{x - 3 y}{2} - \frac{5 x - 9}{6}$ $= (3 x - 9 y) - (5 x - 9 y)$ $= 3 x - 9 y - 5 x + 9 y$ $= - 2 x$ となる。
「2つの奇数の和は偶数になることを証明せよ。」を「nを整数とすると2つの奇数の和は(2n+1)+(2n+1)\)\(=4n+2=2(2n+1)となる。2n+1は整数だから、これは偶数である。」とした。
「等式 a=3b+c を b について解け。」を解いて　 $a = 3 b + c$ 　 $\leftrightarrow$ 　 $\frac{1}{3} a = b + c$ 　 $\leftrightarrow$ 　 $b = \frac{1}{3} a - c$ 　とした。
「A町から公園を経由して2.5km離れたB町まで行くのに、A町から公園まで時速4kmで、公園からB町まで時速3kmで歩くと、全体で40分かかりました。休憩はしなかったとして、A町から公園までの道のりと、公園からB町までの道のりを求めなさい。」について次のように式を立てた。
「A町から公園までの道のりをx [km]、公園からB町までの道のりを y [km] とすると、　 $x + y = 2.5$ 　および　 $\frac{x}{4} + \frac{y}{3}$ $= 40$ 　である。」
「一次関数について、xが1から5まで変化した時、yは12から4まで変化した。この関数の変化の割合を求めよ。」について、xの増加量=5-1=4　yの増加量=12-4=8　だから、　 $変化の割合 = \frac{8}{4} = 2$ 　とした。

中３

「２の平方根」は $\sqrt{2}$ です。
　 $\sqrt{(- 5)^{2}}$ $= - 5$ 　である。
　 $(x + \frac{1}{3}) (x + \frac{2}{3})$ 　を展開すると　 $x^{2} + \frac{2}{9}$ 　である。
　 $a^{2} b - b$ 　を因数分解すると　 $a^{2} b - b$ $= b (a^{2} - 1)$ 　である。
「縦20m、横27mの長方形の畑に、幅が一定の道を縦と横に１本ずつつくり、残った畑の面積が450㎡になるようにしたい。道幅を何メートルにすべきか。」について次のように立式して道幅を求めた。
「道幅をｘ[m]とすると、 $(20 - x) (27 - x)$ $= 450$ 　であるから、これを解いて、　 $x^{2} - 47 x + 540 = 450$ 　 $\leftrightarrow$ 　 $x^{2} - 47 x + 90 = 0$ 　 $\leftrightarrow$ 　 $(x - 2) (x - 45) = 0$ 　よって　x=2, 45　だから、求める道幅は2ｍまたは45ｍである。」

全て解けるまで、頭をひねって考えてみてください。
下の学年の問題も、ぜひ解いてみましょう。

2018.07.16

火星大接近！　夏休みの自由研究におすすめ

「危険な暑さ」とまで言われて寝苦しい名古屋の夜。
南の空を仰げば、怪しく光る一番星が目に留まります。

火星です。

ダントツに明るいので、すぐに見つかります。
この火星について、今、大変なことが起きています。

2018.07.02

そのテスト結果に未来はありますか！？

中学校の期末テストが終わりました。
今週はテストや成績表の返却になりますね。
「終わった」ではなくて、１学期の振り返りをちゃんとしますからね。

一方、高校生は期末テストが今週まで続いているでしょう。

先週は卒業生が遊びに来て、自習していきました。
高校１年生です。
通い慣れた教室だから居心地がいいみたい。

話を聞いてみると、成績がクラスで１番なのだとか。

それで勉強の様子を少しのぞいてみました。

【１】次の(1)から(10)までの問に答えなさい。

【２】次の(1)から(3)までの問に答えなさい。

【３】次の(1)から(3)までの問に答えなさい。

謝辞

あとがき

進学実績

国公立大学

私立大学

公立高校

私立高校

（番外編）学年１位または成績優秀者を輩出した高校

プログラミングに数学は使いますか？学校で習ったことは役立ちますか？

動画の内容

マイクラミングとは

取り組む優先順位

テスト対策の大原則

テスト範囲の予想

注意事項

植田中学校

中３

中２

中１

御幸山中学校

中３

中２

中１

今年はテスト範囲の予習が難しい！？

１＝２の証明！！ ホント？ウソ？

問題となった証明

大真面目な質問

どうしてこうなった？

やってはいけないルール

教科書で明記されているか？

どこでゼロ除算をしてしまったのか？

なぜ０で割ってはいけないの？

破壊的だから

意味が分からないから

計算が終わらないから

結論が出ないから禁止

プログラミングでも禁止

勉強したことを笑いに活かす

ゼロで割ったら答えが０？

第３回愛知全県模試 実施のお知らせ

当日受験できない生徒への配慮について

志望校登録カードに記載する内申点について

補足 模試の日程について

算数・英語・数学

小３～高３を広く解説

英語 フォニックス 小６～中１・英語が苦手な人

中３英語 New Horizon １学期の総復習

小６算数、中３数学 １学期の総復習

高校数学 記述問題

高校数学 数３ 積分

英文法・語法の定番「Next Stage」の使い方

受験生の勉強の仕方

プログラミング

あとがき

関係代名詞を攻略するまでの道のり

（復習）主語、述語、修飾語

主語と述語

述語Ａのパターン

述語Ｂのパターン

英語の述語は動詞で決まる！

be動詞と一般動詞

イコール動詞！？

be動詞が “＝” の意味にならない場合

余談：命令文には主語がない

修飾語！

修飾語の語順

英語の語順 Step１ 文全体の語順

主語 述語 [だれに] [何を] [どこで] [いつ]

英語の語順 Step２ 前置修飾

修飾語が１語のときは被修飾語の前

英語の語順 Step３ 後置修飾

名詞とは

修飾語が２語以上のときは被修飾語の後ろ

２語以上の修飾語 いろいろ

(1) 前置詞＋名詞で修飾語を作るとき

(2) 不定詞（to＋動詞）で２語以上の修飾語を作るとき

(3) 現在分詞（動詞＋ing）で２語以上の修飾語を作るとき

１＝２の証明！！　ホント？ウソ？

第３回愛知全県模試　実施のお知らせ

補足　模試の日程について

英語　フォニックス　小６～中１・英語が苦手な人

中３英語　New Horizon　１学期の総復習

小６算数、中３数学　１学期の総復習

高校数学　記述問題

高校数学　数３　積分

英語の語順　Step１　文全体の語順

主語　述語　[だれに]　[何を]　[どこで]　[いつ]

英語の語順　Step２　前置修飾

英語の語順　Step３　後置修飾

２語以上の修飾語　いろいろ

英語の語順　Step４　関係代名詞！

英語の語順　Step5　例外の修飾

問題　まちがいを指摘して直しましょう。